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考点13 统计与概率-备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）（解析版）
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这是一份考点13 统计与概率-备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）（解析版），共39页。
备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）
考点13统计与概率
抽样
一、 选择题
1．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学高三其他模拟（理））总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为（ ）
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A．08 B．07 C．02 D．01
【答案】B
【分析】根据题意，依次可得65，72，08，02，63，14，07，02，…，结合编号规则即可知符合条件的第四个个体编号.
【详解】
从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，数字依次为：65，72，08，02，63，14，07，02，…，而符合条件的数字有08，02，14，07，02，…，故第4个个体编号为07.故选：B
2．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））某高二年级有文科学生500人，理科学生1500人，为了解学生对数学的喜欢程度，现用分层抽样的方法从该年级抽取一个容量为60的样本，则样本中文科生的人数是（ ）
A．15 B．18 C．20 D．25
【答案】A
【分析】按照分层抽样定义进行抽取即可.
【详解】
∵高二年级共有2000人，现用分层抽样的方法从该年级抽取一个容量为60的样本，
∴每个个体被抽到的概率为，
则高二年级有文科学生500人，那么样本中文科生有.
故选：A
3．（2021·河北邯郸市·高三二模）某商场有三层楼，最初规划一层为生活用品区，二层为服装区，三层为餐饮区，招商工作结束后，共有100家商家入驻，各楼层的商铺种类如下表所示，若从所有商铺中随机抽取一家，该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为（ ）
生活用品店
服装店
餐饮店
一层
25
7
3
二层
4
27
4
三层
6
1
23
A．0.75 B．0.6 C．0.4 D．0.25
【答案】D
【分析】本题可根据表中数据得出有25家与最初规划不一致，即可求出与最初规划不一致的概率.
【详解】
结合表中数据易知，
100家商家中，有家与最初规划一致，有25家与最初规划不一致，
则不一致的概率，
故选：D.
4．（2021·内蒙古锡林郭勒盟·高三二模（文））青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题.已知某校有小学生3600人，有初中生2400人，为了解该校学生的近视情况，用分层抽样的方法从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查，则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是（ ）
A．24 B．48 C．72 D．96
【答案】A
【分析】根据分成抽样的定义进行计算即可.
【详解】
由题意可知小学生应抽取的人数是人，
中学生应抽取的人数是人，
则小学生应抽取的人数与中学生的人数的差是人.
故选：A.
5．（2021·全国高三月考（文））“互联网+”时代全民阅读的内涵已多元化，在线读书成为一种生活方式．某高校为了解本校学生阅读情况，拟采用分层抽样方法从该校四个年级中抽取一个容量为360的样本进行调查，大一与大二学生占全校一半，大三学生与大四学生之比为3:2，则大四学生应抽取的学生为（ ）
A．72 B．100 C．108 D．120
【答案】A
【分析】根据分层抽样的计算方法即可求出结果．
【详解】
依题意大三学生与大四学生之比为3:2，大四学生为全校学生的，则大四学生应抽取的学生为，
故选：A．
二、 解答题
6．（2021·江西萍乡市·高三二模（文））某中学高三共男生800人，女生1200人.现学校某兴趣小组为研究学生日均消费水平是否与性别有关，采用分层抽样的方式从高三年级抽取男女生若干人.记录其日均消费，得到如图所示男生日均消费的茎叶图和女生日均消费的频率分布直方图.将所抽取女生的日均消费分为以下五组：，规定日均消费不超过25元的人为“节俭之星”.
（1）请完成下面的列联表；
“节俭之星”
非“节俭之星”
总计
男生
女生
总计
根据以上的列联表，能否有90%的把握认为学生是否为“节俭之星”与性别有关？
（2）现已知学校某小组有6名“节俭之星”，其中男生2人，女生4人.现从中选取2人在学校做勤俭节约宣讲活动报告，求选取的2人中至少有一名男生的概率.
附：，其中.
【答案】（1）列联表答案见解析，有90%把握认为学生是否为“节俭之星”与性别有关；（2）.
【分析】（1）先由茎叶图求出抽取的男生人数，再利用分层抽样的方法求出所抽取的女生人数，然后频率分布直方图和茎叶图求出所以抽取的男女生中的“节俭之星”和非“节俭之星”人数，再利用公式计算，通过临界值表得出结论；
（2）利用列举法列出所有的情况，再利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】
（1）由茎叶图可知此次抽样男生共20人，由于采用分层抽样的方式，抽取女生人数为30人.依题意：男“节俭之星”共7人，女“节俭之星”共18人，填表如下：
“节俭之星”
非“节俭之星”
总计
男生
7
13
20
女生
18
12
30
总计
25
25
50
从而
故有90%把握认为学生是否为“节俭之星”与性别有关.
（2）记2名男生分别为A1，A2，记4名女生为B1，B2，B3，B4，则从这6名“节俭之星”选取2名的所有可能有：(A1，A2)(A1，B1)(A1，B2)(A1，B3)(A1，B4)
(A2，B1)(A2，B2)(A2，B3)(A2，B4)
(B1，B2)(B1，B3)(B1，B4)
(B2，B3)(B2，B4)
(B3，B4)
共15种，其中至少有1名男生的情况有9种，因此，所求概率为
7．（2021·全国（理））在新的高考改革形式下，全国某些省市年入学的高一学生都进行了选科，为了解学生的选科情况，某中学对已经选了(语文、数学、外语)+物理的学生如何选择另外两门学科进行了调整，另外两科有种组合：①化学+生物，②生物+地理，③化学+地理，④生物+政治，⑤化学+政治，⑥政治+地理.假设学生选择每种组合是等可能的.
（1）每名学生若选全理(即化学+生物)或全文(即政治+地理)记分，若文理皆有(其余种组合)记分，且每名学生如何选科是相互独立的，现有甲、乙、丙名学生，记总得分为，求的分布列及数学期望；
（2）如图所示的条形图显示了该校名学生另外两门学科选择情况的统计结果.教学班要求每班人数不低于人，且不超过人，若低于人，则需要加入选择其他组合的学生，编成混合班，但混合班要求学生选择的另外两门学科中有一门共同学科，同时尽最大限度减小混合班个数，也不出现含个组合的混合班，试通过条形图，以频率估计概率，预测全校名学生的组班情况，请给出一个较合理的编班方案，指明最少需要组成几个混合班，是什么样的组合.
【答案】（1）分布列见解析，；（2）答案见解析.
【分析】（1）由题设知，记分的概率为，因而记分的概率为，确定的可能取值并求出概率，写出其分布列，进而求期望；
（2）根据分层抽样原理，估算出全校各组合的学生人数，由已知条件，通过调整班级人数最小化混合班数量.
【详解】
（1）选全理(即化学+生物)或全文(即政治+地理)的概率为， 即记分的概率为，因而记分的概率为，
易知的可能取值为、、、，且，，，，
∴的分布列为：
∴；
（2）分情况进行讨论：
组合①：人中选择①的有人，其频率为，预测全校名学生选择①的人数为，独立成一个班，剩下人，
组合②：人中选择②的有人，其频率为，预测全校名学生选择②的人数为，独立成八个50人的班，剩下人，
组合③：人中选择③的有人，其频率为，预测全校名学生选择③的人数为，独立成十个班，
组合④：人中选择④的有人，其频率为，预测全校名学生选择④的人数为，独立成二个班，至少剩下人，
组合⑤：人中选择⑤的有人，其频率为，预测全校名学生选择⑤的人数为，独立成一个班，至少剩下人，
组合⑥：人中选择⑥的有人，其频率为，预测全校名学生选择⑥的人数为，独立成一个班，
①
⑤
②
④
化学+生物
化学+政治
生物+地理
生物+政治
人
人
人
人
减小混合班个数，把①⑤中独立班的人数调整为47到49人，剩下的学生组合成一个混合班，把②④剩下的学生组合成一个混合班(②组成的独立成八个班中每班减少人).
统计图表
一、 选择题
1．（2021·全国高三其他模拟（文））如图是我国2016年第1季度至2020年第2季度重点城市分季度土地供应统计图，针对这些季度的数据，下列说法错误的是（ ）
A．各季度供应规划建筑面积的极差超过15000万平方米
B．各季度供应规划建筑面积的平均数超过15000万平方米
C．2019年第4季度与2018年第4季度相比，供应规划建筑面积上涨幅度高于10%
D．2020年第1季度与2019年第1季度相比，供应规划建筑面积下降幅度高于10%
【答案】D
【分析】利用题中条形图和折线图中的数据信息，对四个选项逐一分析判断即可.
【详解】
解：对于A，供应规划建筑面积最大的是2019年Q4，约为30000万平方米，
最小的是2020年Q1，约为10000万平方米，
故各季度供应规划建筑面积的极差约为2000万平方米，故选项A正确；
对于B，2016年平均略低于15000万平方米，
2017年和2020年平均约为15000万平方米，
2018和2019年平均远高于15000万平方米，
所以总平均应该高于15000万平方米，故选项B正确；
对于C，2019年Q4同比增长约15%，上涨幅度超过10%，故选项C正确；
对于D，2020Q1同比增长约﹣8%，下降幅度低于10%，故选项D错误.
故选：D.
2．（2021·天津市南开区南大奥宇培训学校高三其他模拟）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则抽取的高中生中近视人数为（ ）．
A．20 B．25 C．30 D．40
【答案】A
【分析】根据图中的信息分别得到中小学生人数以及近视率，再根据分层抽样的定义和方法，求得结果.
【详解】
所有学生数为3500+4500+2000=10000，
高中生人数为2000×2%=40
分层抽样抽取的比例为2%，高中生抽取的学生数为40，
抽取的高中生近视人数为40×50%=20，
故选：A
3．（2021·浑源县第七中学校高三其他模拟（文））如图为我国2020年2月至10月的同城快递量与异地快递量的月统计图：
根据统计图，下列结论正确的是（ ）
A．异地快递量逐月递增
B．同城快递量，9月份少于10月份
C．同城和异地的月快递量达到峰值的月份相同
D．同城和异地的快递量的月增长率达到最大的月份相同
【答案】D
【分析】对于A，由异地快递量6，7月份的快递量可以判断；对于B由同城快递量，9、10月份快递量可以判断，根据折线图和柱状图中的信息可判断C,D.
【详解】
对于A，异地快递量6月份为613 818.6万件，大于7月份的572 812.9万件，所以错误；
对于B，同城快递量9月份为113 215.1万件，多于10月份的97 454.2万件，所以错误;
对于C，由题图可以看出，同城的月快递量达到峰值为6月份，
异地的月快递量达到峰值为10月份，所以错误;
对于D.由题图可以看出，同城快递量的月増长率达到最大的为3月份，
异地快递量的月增长率达到最大的为3月份，所以正确
故选:D
4．（2021·全国高三其他模拟（理））基尼系数是国际上用来综合衡量居民内部收入分配差异状况的一个重要指标，它的一种简便易行的计算方法是根据中位数对平均数的占比来估计基尼系数（换算表如下表所示）．假设某地从事自媒体的人员仅有4人，年收入分别为万元，万元，万元，万元，则这人的年收入的基尼系数为（ ）
中位数占比一基尼系数换算表
中位数占比
基尼系数
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算出中位数与平均数的比值，结合表格中的数据可得出结果.
【详解】
人的平均年收入为万，中位数为万，则中位数对平均数的占比为，由表可知对应的基尼系数为．
故选：D.
5．（2021·全国高三其他模拟（理））为达成“碳达峰､碳中和”的目标，我们需坚持绿色低碳可持续发展道路，可再生能源将会有一个快速发展的阶段.太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式.下面的图表是近年来中国光伏市场发展情况表，则下列结论中正确的是（ ）
A．2013~2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减
B．2013~2020年，年光伏发电量与年份成负相关
C．2013~2020年，年新增装机规模中，分布式的平均值大于集中式的平均值
D．2013~2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关
【答案】D
【分析】根据条形图中的数据逐一分析即可得出结果.
【详解】
A，2013~2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减，
前几年递增，后面递减，故A错误；
B，2013~2020年，年光伏发电量与年份成正相关，故B错误；
C，由图表可以看出，每一年装机规模，集中式都比分布式大，
因此分布式的平均值小于集中式的平均值，故C错误；
D，根据图表可知，2013~2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重
随年份逐年增加，故每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关，故D正确.
故选：D
二、 解答题
6．（2021·海南高三其他模拟）企业在商业活动中有依法纳税的基本义务，不依法纳税叫做逃税，是一种违法行为．某地区有2万家企业，政府部门抽取部分企业统计其去年的收入，得到下面的频率分布表．根据当地政策综合测算，企业应缴的税额约为收入的5%，而去年该地区企业实际缴税的总额为291亿元．
收入（千万元）
频率
0.3
0.5
0.12
0.06
0.02
（1）估计该地区去年收入大于等于4千万元的企业数量；
（2）估计该地区企业去年的平均收入，并以此估计该地区逃税的企业数量；
（3）根据统计，该地区企业逃税被查出来的概率为0.3，被查出逃税的企业除了要补缴税款以外，还会被处以应缴税额倍的罚款，从企业逃税的获益期望考虑，至少定为多少，才能对逃税行为起到惩罚作用？
注：每组数据以区间中点值为代表，假设逃税的企业缴税额为0，未逃税的企业都足额缴税．
【答案】（1）4000；（2）平均收入的估计值为3（千万元）；逃税的企业数量为600；（3）至少定为3．
【分析】
（1）先根据表格计算收入大于等于4千万元的频率，再计算企业数量；（2）首先计算平均收入的估计值，再计算平均缴税额，再根据实际缴税总额，计算缴税企业的数量，即可得逃税的企业数量；（3）首先求企业逃税的获利收益的分布列，再求期望，令期望小于0，即可求得的最小值.
【详解】
（1）去年收入大于等于4千万元的频率为，
所以估计该地区去年收入大于等于4千万元的企业数量为．
（2）该地区企业去年的平均收入的估计值为
（千万元）．
平均缴税额为（千万元）（亿元），
所以未逃税的企业数量为，
因此，逃税的企业数量为．
（3）设企业应缴税额为，企业逃税的获益为，
若该企业逃税未被查出，则；
若该企业逃税被查出来，则．
由条件知，，
所以，
要对逃税行为起到惩罚作用，则需，解得．
所以至少定为3，才能对逃税行为起到惩罚作用．
7．（2021·全国高三月考（文））某中学现有学生人，为了解学生数学学习情况，对学生进行了数学测频率试，得分分布在之间，按，，，，分组，得到的频率分布直方图如图所示，且已知.
（1）求，的值；
（2）估计该中学数学测试的平均分(同组数据以这组数据的中间值作代表)；
（3）估计该中学数学分数在的人数.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）由频率分布直方图联立方程，求出答案；
（2）由频率分布直方图，直接求平均分；
（3）分别求出该中学数学分数在和的频率和人数进一步求出答案.
【详解】
（1）由频率分布直方图可得，
解得.
（2）由频率分布直方图可得，
估计该中学数学测试的平均分为
.
（3）因为该中学数学分数在的频率是，
所以估计该中学数学分数在的人数是；
同理，因为该中学数学分数在的频率是，
所以估计该中学数学分数在的人数是.
所以估计该中学数学分数在的人数为.
用样本估计总体
一、选择题
1．（2021·辽宁高三其他模拟）某公司为提高职工政治素养，对全体职工进行了一次时事政治测试，随机抽取了100名职工的成绩，并将其制成如图所示的频率分布直方图，以样本估计总体，则下列结论中正确的是（ ）
A．该公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的80%
B．该公司职工测试成绩的中位数约为75分
C．该公司职工测试成绩的平均值约为68分
D．该公司职工测试成绩的众数约为60分
【答案】C
【分析】由频率分布直方图，分别求出该公司职工的测试成绩不低于60分的频率､中位数､平均值､众数，能判断正确选项.
【详解】
解：由频率分布直方图，得：
对于A，该公司职工的测试成绩不低于60分的频率为：(0.02+0.015)×20=0.70，
∴该公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的70%，故A错误；
对于B，测试成绩在[20，60)的频率为(0.005+0.01)×20=0.3，
测试成绩在[60，80)的频率为0.02×20=0.4，
∴该公司职工测试成绩的中位数约为：分，故B错误；
对于C，该公司职工测试成绩的平均值约为：
分，故C正确；
对于D，该公司职工测试成绩的众数约为：分，故D错误.
故选：C.
2．（2021·定远县育才学校高三其他模拟（文））2021年开始，某省将试行“”的普通高考新模式，即除物理语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助政治学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（ ）
A．甲的物理成绩领先年级平均分最多
B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分
C．甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史
D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果
【答案】C
【分析】根据雷达图，判断甲各科成绩与年级平均分的高低，以及各科成绩的高低，进而可确定理想的选科组合，即可判断各选项的正误.
【详解】
A：由图知：甲的物理成绩领先年级平均分1.5分左右，比化学、地理要高，正确；
B：其中有政治、历史比年级平均分低，正确；
C：甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、物理或生物，错误；
D：由C知：物理、化学、地理对于甲是比较理想的一种选科结果，正确；
故选：C.
3．（2021·全国高考真题（文））为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C
【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.
【详解】
因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.
故选：C.
4．（2021·上海市青浦高级中学高三三模）有17名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前8名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道17名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】C
【分析】根据中位数的性质，结合题设按成绩排序17选8，即可知还需明确的成绩数据信息.
【详解】
由题设，17名同学参加百米竞赛，要取前8名参加决赛，则成绩从高到低排列，确定17名同学成绩的中位数，即第9名的成绩便可判断自己是否能进入决赛.
故选：C.
5．（2021·湖北武汉市·华中师大一附中高三其他模拟（文））为庆祝中国共产党成立100周年，A､B､C､D四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分(均为整数)情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知A､B､C､D四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（ ）
A．A组中位数为2，极差为8 B．B组平均数为2，众数为2
C．C组平均数为1，方差大于0 D．D组平均数为2，方差为3
【答案】D
【分析】利用统计学知识分别分析判断每个选项.
【详解】
对，因为中位数为2，极差为8，故最大值大于7，故错误；
对，如失分数据分别为，则满足平均数为2，众数为2，但不满足每名同学失分都不超过7分，故B错误；
对，如失分数据分别为，则满足平均数为1，方差大于0，但不满足每名同学失分都不超过7分，故C错误；
对，利用反证法，假设有一同学失分超过7分，则方差大于，与题设矛盾，故每名同学失分都不超过7分．故D正确．
故选：D
三、 解答题
6．（2021·全国高三其他模拟（文））某精准扶贫帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，决定在该村兴办一个年产量为1000万块的瓷砖厂，以吸纳富余劳动力，提高村民收入.已知瓷砖的质量以某质量指标值t(单位：分，t∈[0，100])为衡量标准，为估算其经济效益，该瓷砖厂进行了试产，并从中随机抽取了100块瓷砖，进行了统计，其统计结果如表所示：
质量指标值t
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80]
[80，90)
[90，100]
频数
2
13
21
25
24
11
4
试利用样本分布估计总体分布的思想解决下列问题(注：每组数据取区间的中点值).
（1）在一天内抽检瓷砖，若出现了瓷砖的质量指标值t在区间内，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，其中近似为样本平均数，s近似为样本的标准差，并已求得s≈14.若某天抽检到的瓷砖有1块的t值为20分，则从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（2）已知每块瓷砖的质量指标值t与等级及纯利润y(单位：元)的关系如表所示：
质量指标值t
[0，40)
[40，60)
[60，80)
[80，90)
[90，100]
产品等级
次品
三级
二级
一级
特级
纯利润(元/块)
﹣10
1
3
5
10
假定该瓷砖厂所生产的瓷砖都能销售出去，且瓷砖厂的总投资为3000万元(含引进生产线､兴建厂房等一切费用在内)，问：该厂能否在一年之内通过生产并销售瓷砖收回投资？试说明理由.
【答案】（1）应对当天的生产过程进行检查；（2）该瓷砖厂不能在一年之内通过生产并销售瓷砖收回投资，理由见解析.
【分析】
（1）由平均数计算公式求得，从而可得﹣3s，判断20是否在区间[0，﹣3s)内，即可得出结论；
（2）列表可得瓷砖的质量指标值t与对应频率，由平均数公式可求得样本中每块瓷砖的平均利润，利用样本平均数估计总体平均数，计算可得该瓷砖厂的年盈利，与总投资3000作比较，即可得出结论.
【详解】
解：（1）根据表中数据，
可得=×(35×2+45×13+55×21+65×25+75×24+85×11+95×4)=65.5，
又s≈14，
所以﹣3s≈65.5﹣3×14=23.5，
而20<23.5，即抽检到的这块瓷砖的t值在区间[0，﹣3s)内，
故应对当天的生产过程进行检查.
（2）由题意可知，瓷砖的质量指标值t与对应频率如下表所示：
质量指标值t
[0，40)
[40，60)
[60，80)
[80，90)
[90，100]
产品等级
次品
三级
二级
一级
特级
纯利润(元/块)
﹣10
1
3
5
10
频率
0.02
0.34
0.49
0.11
0.04
故样本中每块瓷砖的平均利润为=﹣10×0.02+1×0.34+3×0.49+5×0.11+10×0.04=2.56(元)，
利用样本平均数估计总体平均数，可得该瓷砖厂的年盈利大约为2.56×1000=2560(万元)，
而2560万元<3000万元，
故该瓷砖厂不能在一年之内通过生产并销售瓷砖收回投资.
7．（2021·贵州省思南中学高三月考（理））电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．附表：
参考公式
（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及期望
【答案】（1）填表见解析；没有；（2）分布列见解析；期望为．
【分析】
（1）根据直方图求得“体育迷”的频率，求得其人数，进而列出列联表中的其余数据；计算得到的值，与相应临界值比较即可做出结论；
（2）由抽到“体育迷”的频率为，得到计算后列表得到概率，由二项分布期望值公式计算即得.
【详解】
（1）由频率分布直方图可知，直方图求得“体育迷”的频率，在抽取的人中，“体育迷”有人，从而列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
将列联表中的数据代入公式计算，得．
因为，
所以没有的把握认为“体育迷”与性别有关．
（2）由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为．
由题意，从而的分布列为：
.
随机事件和样本空间
一、选择题
1．（2021·全国高三专题练习）为了了解参加学校体育节的1200名学生的身高情况，从中抽取40名运动员进行测量.下列说法正确的是（ ）
A．总体是1200名学生 B．个体是每一名运动员
C．40名学生的身高是一个个体 D．样本容量是40
【答案】D
【分析】根据题意可得出总体、个体、样本和样本容量.
【详解】
根据统计的相关概念并结合题意可得，总体是1200名学生的身高，个体是每一名运动员的身高，样本是抽取的40名学生的身高，样本容量是40，故ABC错误，D正确.
故选：D.
2．（2021·广西河池市·高三期末（文））高校毕业生就业关乎千家万户.在年月日新疆自治区政府新闻办召开的疫情防控工作新闻发布会上,自治区人力资源和社会保障厅党组副书记、厅长热合满江·达吾提介绍，在当前疫情防控形势下﹐我区以离校未就业高校毕业生为重点﹐优化就业服务，调整工作方式方法，加大线上服务力度，助力未就业高校毕业生早就业快就业.据自治区人社厅统计，截至月日，全区近万名高校毕业生实现就业.其中区属普通高校毕业生万人，实现就业人,就业率；内地高校新疆籍毕业生返疆报到登记人,实现就业人，就业率约，与去年同期基本持平.则的值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据就业率大约相等，列出比利式计算即可.
【详解】
由题意有，可得.
故选：A
3．（2020·嫩江市高级中学高三月考（理））下列说法正确的是（ ）
A．为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民，对其该天的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间是总体容量
B．频率分布直方图的纵坐标是频率
C．汽车的重量和汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程成负相关
D．系统抽样由于可能要剔除一些数据，所以总体中每个个体抽到的机会可能不相等
【答案】C
【分析】直接利用总体的容量和样本容量，频率分布直方图，正相关和负相关，系统抽样的及定义的应用即可得出结果.
【详解】
对于A：总体容量为500，故A错误；
对于B：频率分布直方图的纵坐标为频率比组距，故B错误；
对于C：汽车的重量和汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程成负相关，汽车越重，行驶的路程越近，故C正确；
对于D：系统抽样由于可能要剔除一些数据，所以总体中每个个体抽到的机会相等，故D错误.
故选：C.
4．（2020·全国高三专题练习）某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有47名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业服务满意的百分比大约为（ ）
A．85% B．75% C．63.5% D．67.5%
【答案】D
【分析】由问卷设计方式可知，回答第一个问题的人数有40人，其中有20人的手机号是奇数，回答第二个问题的人数为40人，其中27人回答了“是”，由此可以估计本小区对物业服务满意的百分比.
【详解】
要调查80名居民,在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，第一个问题可能被询问40次,在被询问的40人中有20人手机号是奇数,而有47人回答了“是”，估计有27个人回答是否满意物业的服务时回答了“是”,
在40人中有27个人满意服务, 估计本小区对物业服务满意的百分比，
故选: D
5．（2020·全国高三其他模拟（文））造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ）
A．69人 B．84人 C．108人 D．115人
【答案】D
【分析】先求得名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此利用比例，求得名学生中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.
【详解】
在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有人，设对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有人，则，解得人.
故选：D
三、 解答题
6．（2020·四川泸州市·高三期末（文）） 是指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物．我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2015年全年每天的监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)
（1）求中位数．
（2）以这15天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．
【答案】（1）45 （2）天
【分析】
(1)总数据个数为，从小到大排列第个数即为中位数；
(2)先根据茎叶图确定出空气质量达到一级或二级的天数所占比例，由此估计出一年中空气质量达到一级或二级的平均天数.
【详解】
（1）由茎叶图可知：从小到大排列，第个数是，所以中位数是；
（2）由茎叶图可知：15天的日均值中空气质量达到一级或二级的有：
，共天，所占比例为，
用样本估计总体可知：一年中空气质量达到一级或二级的天数有(天).
7．（2020·重庆巴蜀中学高三月考（文））凤梨穗龙眼原产厦门，是厦门市的名果，栽培历史已有多年.龙眼干的级别按直径的大小分为四个等级，其中直径在区间为特级品，在的为一级品，在的为二级品，在的为三级品，某商家为了解某农场一批龙眼干的质量情况，随机抽取了个龙眼干作为样本（直径分布在区间），统计得到这些龙眼干的直径的频数分布表如下：
频数
1
29
7
用分层抽样的方法从样本的一级品和特级品中抽取个，其中一级品有个.
（1）求、的值，并估计这些龙眼干中特级品的比例；
（2）已知样本中的个龙眼干约克，该农场有千克龙眼干待出售，商家提出两种收购方案：
方案A：以元/千克收购；
方案B：以级别分装收购，每袋个，特级品元/袋、一级品元/袋、二级品元/袋、三级品元/袋.用样本的频率分布估计总体分布，哪个方案农场的收益更高？并说明理由.
【答案】（1），，这些龙眼干中特级品的比例为（2）见解析
【分析】
（1）根据样本容量以及分层抽样的性质，列出方程组求解得出、的值，再估计这些龙眼干中特级品的比例；
（2）农场选择方案获得的收入为元，设农场选择方案获得的收入为元，依题意先计算500千克龙眼干共可以分成多少袋，再利用样本估计总体，分别明确特级品，一级品，二级品，三级品各多少袋，再计算得出，即可得出结论.
【详解】
（1），解得
所抽取的100个龙果干中特级品的频率为
这些龙眼干中特级品的比例为
（2）农场选择方案获得的收入为元
设农场选择方案获得的收入为元，则依题意得500千克龙眼干共可以1000袋
用样本的频率分布估计总体分布，则特级品有袋，一级品有袋，二级品有袋，三级品有袋
元
，农场应选择方案
互斥事件和独立事件
一、选择题
1．（2020·全国高三专题练习（文））从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少有一个红球
C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D．至少有一个黑球与都是红球
【答案】C
【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，逐项判断.
【详解】
A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，故错误；
B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，故错误；
C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，故正确
D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，
这两个事件是对立事件，故错误；
故选：C
2．（2020·全国高三专题练习（文））甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，甲不输即为甲赢或和棋，即可得答案.
【详解】
由题意得：甲不输的概率为
故选：A．
3．（2020·全国高三专题练习（文））设A与B是互斥事件，A，B的对立事件分别记为，，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥 B．与互斥
C． D．
【答案】C
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义，互斥事件的概率公式判断．
【详解】
根据互斥事件的定义可知，A与，与都有可能同时发生，所以A与互斥，与互斥是不正确的；P(A+B)=P(A)+P(B)正确；与既不一定互斥，也不一定对立，所以D错误.
故选：C．
4．（2020·全国高三专题练习（文））根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为型，型，型，型.现有一血液为型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知，能为型病人输血的有型和型，将对应的频率相加可得结果.
【详解】
由题意可知，能为型病人输血的有型和型，
因此，在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为.
故选：D.
5．（2021·河南焦作市·高三其他模拟（文））人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人能给哪些血型的人输血，是有严格规定的，输血法则可归结为4条：①X→X；②O→X；X→AB；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(其中X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者).已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照规则，若受血者为A型血，则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为（ ）
A．0.27 B．0.31 C．0.42 D．0.69
【答案】B
【分析】利用条件分析出不能为A型血供血者的血型即可得解.
【详解】
当受血者为A型血时，供血者可以为A型或O型，即B，AB两种血型不能为供血者，
我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，
所以一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为：P=24%+7%=31%=0.31.
故选：B
二、解答题
6．（2020·全国高三其他模拟（理））随着我国人民生活条件持续改善，国民身体素质明显增强，人均预期寿命不断延长，人民生产生活中驾车出行的需求持续增长，因此许多人呼吁放宽学驾年龄2020年10月22日，公安部在新闻发布会上宣布，取消申请小型汽车、小型自动挡汽车、轻便摩托车驾驶证70周岁的年龄上限，为了了解70周岁以上人员对考取小型汽车驾照的态度，某研究单位从一个大型社区70周岁以上的人员中随机抽取了360人进行调研，整理数据，得到如下表格：
男性人数
女性人数
持“积极响应”态度
180
60
持“不积极响应”态度
60
60
(1)按照性别及对考取小型汽车驾照的态度，采用分层抽样的方法从参与调研的人员中抽取36人进行深入调研．
①求抽取的男性中持“积极响应”态度和女性中持“不积极响应”态度的人数；
②从抽取的持“不积极响应”态度的人员中随机抽取2人，记抽到的男性人数为，求的分布列和数学期望．
(2)以样本的频率估计概率，从该大型社区70周岁以上的人员中随机抽取4人，求抽取的4人中至少有2人持“积极响应”态度的概率．
【答案】(1)①男性中持“积极响应”态度的人数为18，女性中持“不积极响应"态度的人数为6；②分布列见解析，1；(2).
【分析】
(1)①由分层抽样的抽样比求解即可；②由持“不积极响应”态度的人数及其中男性的人数，写出的所有可能取值，进而求得．
(2)先求出随机抽取1人，持“积极响应”态度的概率，然后设抽取的4人中，持“积极响应”态度的人数为随机变量，分析出Y服从二项分布求解即得．
【详解】
(1)①由题意知分层抽样的抽样比为，
故抽取的男性中持“积极响应”态度的人数为18，女性中持“不积极响应"态度的人数为6；
②抽取的持“不积极响应”态度的人数为12，其中男性的人数为6，
故的所有可能取值为0，1，2，
，，，
所以的分布列为：
0
1
2
；
(2)由题意可知，从该大型社区70周岁以上的人员中随机抽取1人，此人持“积极响应”态度的概率为．
设抽取的4人中，持“积极响应”态度的人数为，则，
故，，
故，
故所求概率为．
7．（2021·福建厦门市·高三二模）足球比赛中规定，若双方在进行了90分钟激战和加时赛仍然无法分出胜负，则采取点球大战的方式决定胜负，点球大战规则如下：两队应各派5名队员，双方轮流踢，如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次时可能射中的球数，则不需再踢，若5轮之后双方进球数相同，则继续点球，直到出现某一轮结束时，一方踢进且另一方未踢进时比赛结束，现有甲乙两支球队进行点球大战，每支球队每次点球进球的概率均为，每轮点球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）最少进行几轮比赛能分出胜负？并求相应概率：
（2）求至少进行5轮比赛才能分出胜负的概率.
【答案】（1）最少三轮能定胜负，三场能定胜负的概率为；（2）.
【分析】
（1）一方进球3次，另一方还未进球，根据每次点球进球的概率即可获解；
（2）由（1），先分析四轮结束时的情况，再由对立事件的概率公式即可求解.
【详解】
（1）一方进球3次，另一方还未进球时即可分出胜负，故最少三轮能定胜负.
当三轮能定胜负时，甲进3球，乙不进球：或乙进3球，甲不进球，
所以三场能定胜负的概率为.
（2）记第四轮结束时，甲，乙进球数分别记为X，Y
若第四轮结束时，甲胜出有以下情况(按照甲的进球数分类)；
①甲进2球，乙进0球，其概率，
②甲进3球，乙进0球或1球，其概率
，
③甲进4球，乙进1球或2球，其概率
，
所以第四轮结束时，甲获胜的概率为，
所以第四轮结束时，能定胜负的概率为，
所以至少5轮比赛才能分出胜负的概率为.
备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）
考点13统计与概率
抽样
一、 选择题
1．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学高三其他模拟（理））总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为（ ）
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A．08 B．07 C．02 D．01
【答案】B
【分析】根据题意，依次可得65，72，08，02，63，14，07，02，…，结合编号规则即可知符合条件的第四个个体编号.
【详解】
从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，数字依次为：65，72，08，02，63，14，07，02，…，而符合条件的数字有08，02，14，07，02，…，故第4个个体编号为07.故选：B
2．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））某高二年级有文科学生500人，理科学生1500人，为了解学生对数学的喜欢程度，现用分层抽样的方法从该年级抽取一个容量为60的样本，则样本中文科生的人数是（ ）
A．15 B．18 C．20 D．25
【答案】A
【分析】按照分层抽样定义进行抽取即可.
【详解】
∵高二年级共有2000人，现用分层抽样的方法从该年级抽取一个容量为60的样本，
∴每个个体被抽到的概率为，
则高二年级有文科学生500人，那么样本中文科生有.
故选：A
3．（2021·河北邯郸市·高三二模）某商场有三层楼，最初规划一层为生活用品区，二层为服装区，三层为餐饮区，招商工作结束后，共有100家商家入驻，各楼层的商铺种类如下表所示，若从所有商铺中随机抽取一家，该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为（ ）
生活用品店
服装店
餐饮店
一层
25
7
3
二层
4
27
4
三层
6
1
23
A．0.75 B．0.6 C．0.4 D．0.25
【答案】D
【分析】本题可根据表中数据得出有25家与最初规划不一致，即可求出与最初规划不一致的概率.
【详解】
结合表中数据易知，
100家商家中，有家与最初规划一致，有25家与最初规划不一致，
则不一致的概率，
故选：D.
4．（2021·内蒙古锡林郭勒盟·高三二模（文））青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题.已知某校有小学生3600人，有初中生2400人，为了解该校学生的近视情况，用分层抽样的方法从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查，则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是（ ）
A．24 B．48 C．72 D．96
【答案】A
【分析】根据分成抽样的定义进行计算即可.
【详解】
由题意可知小学生应抽取的人数是人，
中学生应抽取的人数是人，
则小学生应抽取的人数与中学生的人数的差是人.
故选：A.
5．（2021·全国高三月考（文））“互联网+”时代全民阅读的内涵已多元化，在线读书成为一种生活方式．某高校为了解本校学生阅读情况，拟采用分层抽样方法从该校四个年级中抽取一个容量为360的样本进行调查，大一与大二学生占全校一半，大三学生与大四学生之比为3:2，则大四学生应抽取的学生为（ ）
A．72 B．100 C．108 D．120
【答案】A
【分析】根据分层抽样的计算方法即可求出结果．
【详解】
依题意大三学生与大四学生之比为3:2，大四学生为全校学生的，则大四学生应抽取的学生为，
故选：A．
二、 解答题
6．（2021·江西萍乡市·高三二模（文））某中学高三共男生800人，女生1200人.现学校某兴趣小组为研究学生日均消费水平是否与性别有关，采用分层抽样的方式从高三年级抽取男女生若干人.记录其日均消费，得到如图所示男生日均消费的茎叶图和女生日均消费的频率分布直方图.将所抽取女生的日均消费分为以下五组：，规定日均消费不超过25元的人为“节俭之星”.
（1）请完成下面的列联表；
“节俭之星”
非“节俭之星”
总计
男生
女生
总计
根据以上的列联表，能否有90%的把握认为学生是否为“节俭之星”与性别有关？
（2）现已知学校某小组有6名“节俭之星”，其中男生2人，女生4人.现从中选取2人在学校做勤俭节约宣讲活动报告，求选取的2人中至少有一名男生的概率.
附：，其中.
【答案】（1）列联表答案见解析，有90%把握认为学生是否为“节俭之星”与性别有关；（2）.
【分析】（1）先由茎叶图求出抽取的男生人数，再利用分层抽样的方法求出所抽取的女生人数，然后频率分布直方图和茎叶图求出所以抽取的男女生中的“节俭之星”和非“节俭之星”人数，再利用公式计算，通过临界值表得出结论；
（2）利用列举法列出所有的情况，再利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】
（1）由茎叶图可知此次抽样男生共20人，由于采用分层抽样的方式，抽取女生人数为30人.依题意：男“节俭之星”共7人，女“节俭之星”共18人，填表如下：
“节俭之星”
非“节俭之星”
总计
男生
7
13
20
女生
18
12
30
总计
25
25
50
从而
故有90%把握认为学生是否为“节俭之星”与性别有关.
（2）记2名男生分别为A1，A2，记4名女生为B1，B2，B3，B4，则从这6名“节俭之星”选取2名的所有可能有：(A1，A2)(A1，B1)(A1，B2)(A1，B3)(A1，B4)
(A2，B1)(A2，B2)(A2，B3)(A2，B4)
(B1，B2)(B1，B3)(B1，B4)
(B2，B3)(B2，B4)
(B3，B4)
共15种，其中至少有1名男生的情况有9种，因此，所求概率为
7．（2021·全国（理））在新的高考改革形式下，全国某些省市年入学的高一学生都进行了选科，为了解学生的选科情况，某中学对已经选了(语文、数学、外语)+物理的学生如何选择另外两门学科进行了调整，另外两科有种组合：①化学+生物，②生物+地理，③化学+地理，④生物+政治，⑤化学+政治，⑥政治+地理.假设学生选择每种组合是等可能的.
（1）每名学生若选全理(即化学+生物)或全文(即政治+地理)记分，若文理皆有(其余种组合)记分，且每名学生如何选科是相互独立的，现有甲、乙、丙名学生，记总得分为，求的分布列及数学期望；
（2）如图所示的条形图显示了该校名学生另外两门学科选择情况的统计结果.教学班要求每班人数不低于人，且不超过人，若低于人，则需要加入选择其他组合的学生，编成混合班，但混合班要求学生选择的另外两门学科中有一门共同学科，同时尽最大限度减小混合班个数，也不出现含个组合的混合班，试通过条形图，以频率估计概率，预测全校名学生的组班情况，请给出一个较合理的编班方案，指明最少需要组成几个混合班，是什么样的组合.
【答案】（1）分布列见解析，；（2）答案见解析.
【分析】（1）由题设知，记分的概率为，因而记分的概率为，确定的可能取值并求出概率，写出其分布列，进而求期望；
（2）根据分层抽样原理，估算出全校各组合的学生人数，由已知条件，通过调整班级人数最小化混合班数量.
【详解】
（1）选全理(即化学+生物)或全文(即政治+地理)的概率为， 即记分的概率为，因而记分的概率为，
易知的可能取值为、、、，且，，，，
∴的分布列为：
∴；
（2）分情况进行讨论：
组合①：人中选择①的有人，其频率为，预测全校名学生选择①的人数为，独立成一个班，剩下人，
组合②：人中选择②的有人，其频率为，预测全校名学生选择②的人数为，独立成八个50人的班，剩下人，
组合③：人中选择③的有人，其频率为，预测全校名学生选择③的人数为，独立成十个班，
组合④：人中选择④的有人，其频率为，预测全校名学生选择④的人数为，独立成二个班，至少剩下人，
组合⑤：人中选择⑤的有人，其频率为，预测全校名学生选择⑤的人数为，独立成一个班，至少剩下人，
组合⑥：人中选择⑥的有人，其频率为，预测全校名学生选择⑥的人数为，独立成一个班，
①
⑤
②
④
化学+生物
化学+政治
生物+地理
生物+政治
人
人
人
人
减小混合班个数，把①⑤中独立班的人数调整为47到49人，剩下的学生组合成一个混合班，把②④剩下的学生组合成一个混合班(②组成的独立成八个班中每班减少人).
统计图表
一、 选择题
1．（2021·全国高三其他模拟（文））如图是我国2016年第1季度至2020年第2季度重点城市分季度土地供应统计图，针对这些季度的数据，下列说法错误的是（ ）
A．各季度供应规划建筑面积的极差超过15000万平方米
B．各季度供应规划建筑面积的平均数超过15000万平方米
C．2019年第4季度与2018年第4季度相比，供应规划建筑面积上涨幅度高于10%
D．2020年第1季度与2019年第1季度相比，供应规划建筑面积下降幅度高于10%
【答案】D
【分析】利用题中条形图和折线图中的数据信息，对四个选项逐一分析判断即可.
【详解】
解：对于A，供应规划建筑面积最大的是2019年Q4，约为30000万平方米，
最小的是2020年Q1，约为10000万平方米，
故各季度供应规划建筑面积的极差约为2000万平方米，故选项A正确；
对于B，2016年平均略低于15000万平方米，
2017年和2020年平均约为15000万平方米，
2018和2019年平均远高于15000万平方米，
所以总平均应该高于15000万平方米，故选项B正确；
对于C，2019年Q4同比增长约15%，上涨幅度超过10%，故选项C正确；
对于D，2020Q1同比增长约﹣8%，下降幅度低于10%，故选项D错误.
故选：D.
2．（2021·天津市南开区南大奥宇培训学校高三其他模拟）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则抽取的高中生中近视人数为（ ）．
A．20 B．25 C．30 D．40
【答案】A
【分析】根据图中的信息分别得到中小学生人数以及近视率，再根据分层抽样的定义和方法，求得结果.
【详解】
所有学生数为3500+4500+2000=10000，
高中生人数为2000×2%=40
分层抽样抽取的比例为2%，高中生抽取的学生数为40，
抽取的高中生近视人数为40×50%=20，
故选：A
3．（2021·浑源县第七中学校高三其他模拟（文））如图为我国2020年2月至10月的同城快递量与异地快递量的月统计图：
根据统计图，下列结论正确的是（ ）
A．异地快递量逐月递增
B．同城快递量，9月份少于10月份
C．同城和异地的月快递量达到峰值的月份相同
D．同城和异地的快递量的月增长率达到最大的月份相同
【答案】D
【分析】对于A，由异地快递量6，7月份的快递量可以判断；对于B由同城快递量，9、10月份快递量可以判断，根据折线图和柱状图中的信息可判断C,D.
【详解】
对于A，异地快递量6月份为613 818.6万件，大于7月份的572 812.9万件，所以错误；
对于B，同城快递量9月份为113 215.1万件，多于10月份的97 454.2万件，所以错误;
对于C，由题图可以看出，同城的月快递量达到峰值为6月份，
异地的月快递量达到峰值为10月份，所以错误;
对于D.由题图可以看出，同城快递量的月増长率达到最大的为3月份，
异地快递量的月增长率达到最大的为3月份，所以正确
故选:D
4．（2021·全国高三其他模拟（理））基尼系数是国际上用来综合衡量居民内部收入分配差异状况的一个重要指标，它的一种简便易行的计算方法是根据中位数对平均数的占比来估计基尼系数（换算表如下表所示）．假设某地从事自媒体的人员仅有4人，年收入分别为万元，万元，万元，万元，则这人的年收入的基尼系数为（ ）
中位数占比一基尼系数换算表
中位数占比
基尼系数
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算出中位数与平均数的比值，结合表格中的数据可得出结果.
【详解】
人的平均年收入为万，中位数为万，则中位数对平均数的占比为，由表可知对应的基尼系数为．
故选：D.
5．（2021·全国高三其他模拟（理））为达成“碳达峰､碳中和”的目标，我们需坚持绿色低碳可持续发展道路，可再生能源将会有一个快速发展的阶段.太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式.下面的图表是近年来中国光伏市场发展情况表，则下列结论中正确的是（ ）
A．2013~2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减
B．2013~2020年，年光伏发电量与年份成负相关
C．2013~2020年，年新增装机规模中，分布式的平均值大于集中式的平均值
D．2013~2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关
【答案】D
【分析】根据条形图中的数据逐一分析即可得出结果.
【详解】
A，2013~2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减，
前几年递增，后面递减，故A错误；
B，2013~2020年，年光伏发电量与年份成正相关，故B错误；
C，由图表可以看出，每一年装机规模，集中式都比分布式大，
因此分布式的平均值小于集中式的平均值，故C错误；
D，根据图表可知，2013~2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重
随年份逐年增加，故每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关，故D正确.
故选：D
二、 解答题
6．（2021·海南高三其他模拟）企业在商业活动中有依法纳税的基本义务，不依法纳税叫做逃税，是一种违法行为．某地区有2万家企业，政府部门抽取部分企业统计其去年的收入，得到下面的频率分布表．根据当地政策综合测算，企业应缴的税额约为收入的5%，而去年该地区企业实际缴税的总额为291亿元．
收入（千万元）
频率
0.3
0.5
0.12
0.06
0.02
（1）估计该地区去年收入大于等于4千万元的企业数量；
（2）估计该地区企业去年的平均收入，并以此估计该地区逃税的企业数量；
（3）根据统计，该地区企业逃税被查出来的概率为0.3，被查出逃税的企业除了要补缴税款以外，还会被处以应缴税额倍的罚款，从企业逃税的获益期望考虑，至少定为多少，才能对逃税行为起到惩罚作用？
注：每组数据以区间中点值为代表，假设逃税的企业缴税额为0，未逃税的企业都足额缴税．
【答案】（1）4000；（2）平均收入的估计值为3（千万元）；逃税的企业数量为600；（3）至少定为3．
【分析】
（1）先根据表格计算收入大于等于4千万元的频率，再计算企业数量；（2）首先计算平均收入的估计值，再计算平均缴税额，再根据实际缴税总额，计算缴税企业的数量，即可得逃税的企业数量；（3）首先求企业逃税的获利收益的分布列，再求期望，令期望小于0，即可求得的最小值.
【详解】
（1）去年收入大于等于4千万元的频率为，
所以估计该地区去年收入大于等于4千万元的企业数量为．
（2）该地区企业去年的平均收入的估计值为
（千万元）．
平均缴税额为（千万元）（亿元），
所以未逃税的企业数量为，
因此，逃税的企业数量为．
（3）设企业应缴税额为，企业逃税的获益为，
若该企业逃税未被查出，则；
若该企业逃税被查出来，则．
由条件知，，
所以，
要对逃税行为起到惩罚作用，则需，解得．
所以至少定为3，才能对逃税行为起到惩罚作用．
7．（2021·全国高三月考（文））某中学现有学生人，为了解学生数学学习情况，对学生进行了数学测频率试，得分分布在之间，按，，，，分组，得到的频率分布直方图如图所示，且已知.
（1）求，的值；
（2）估计该中学数学测试的平均分(同组数据以这组数据的中间值作代表)；
（3）估计该中学数学分数在的人数.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）由频率分布直方图联立方程，求出答案；
（2）由频率分布直方图，直接求平均分；
（3）分别求出该中学数学分数在和的频率和人数进一步求出答案.
【详解】
（1）由频率分布直方图可得，
解得.
（2）由频率分布直方图可得，
估计该中学数学测试的平均分为
.
（3）因为该中学数学分数在的频率是，
所以估计该中学数学分数在的人数是；
同理，因为该中学数学分数在的频率是，
所以估计该中学数学分数在的人数是.
所以估计该中学数学分数在的人数为.
用样本估计总体
一、选择题
1．（2021·辽宁高三其他模拟）某公司为提高职工政治素养，对全体职工进行了一次时事政治测试，随机抽取了100名职工的成绩，并将其制成如图所示的频率分布直方图，以样本估计总体，则下列结论中正确的是（ ）
A．该公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的80%
B．该公司职工测试成绩的中位数约为75分
C．该公司职工测试成绩的平均值约为68分
D．该公司职工测试成绩的众数约为60分
【答案】C
【分析】由频率分布直方图，分别求出该公司职工的测试成绩不低于60分的频率､中位数､平均值､众数，能判断正确选项.
【详解】
解：由频率分布直方图，得：
对于A，该公司职工的测试成绩不低于60分的频率为：(0.02+0.015)×20=0.70，
∴该公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的70%，故A错误；
对于B，测试成绩在[20，60)的频率为(0.005+0.01)×20=0.3，
测试成绩在[60，80)的频率为0.02×20=0.4，
∴该公司职工测试成绩的中位数约为：分，故B错误；
对于C，该公司职工测试成绩的平均值约为：
分，故C正确；
对于D，该公司职工测试成绩的众数约为：分，故D错误.
故选：C.
2．（2021·定远县育才学校高三其他模拟（文））2021年开始，某省将试行“”的普通高考新模式，即除物理语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助政治学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（ ）
A．甲的物理成绩领先年级平均分最多
B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分
C．甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史
D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果
【答案】C
【分析】根据雷达图，判断甲各科成绩与年级平均分的高低，以及各科成绩的高低，进而可确定理想的选科组合，即可判断各选项的正误.
【详解】
A：由图知：甲的物理成绩领先年级平均分1.5分左右，比化学、地理要高，正确；
B：其中有政治、历史比年级平均分低，正确；
C：甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、物理或生物，错误；
D：由C知：物理、化学、地理对于甲是比较理想的一种选科结果，正确；
故选：C.
3．（2021·全国高考真题（文））为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C
【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.
【详解】
因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.
故选：C.
4．（2021·上海市青浦高级中学高三三模）有17名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前8名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道17名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】C
【分析】根据中位数的性质，结合题设按成绩排序17选8，即可知还需明确的成绩数据信息.
【详解】
由题设，17名同学参加百米竞赛，要取前8名参加决赛，则成绩从高到低排列，确定17名同学成绩的中位数，即第9名的成绩便可判断自己是否能进入决赛.
故选：C.
5．（2021·湖北武汉市·华中师大一附中高三其他模拟（文））为庆祝中国共产党成立100周年，A､B､C､D四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分(均为整数)情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知A､B､C､D四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（ ）
A．A组中位数为2，极差为8 B．B组平均数为2，众数为2
C．C组平均数为1，方差大于0 D．D组平均数为2，方差为3
【答案】D
【分析】利用统计学知识分别分析判断每个选项.
【详解】
对，因为中位数为2，极差为8，故最大值大于7，故错误；
对，如失分数据分别为，则满足平均数为2，众数为2，但不满足每名同学失分都不超过7分，故B错误；
对，如失分数据分别为，则满足平均数为1，方差大于0，但不满足每名同学失分都不超过7分，故C错误；
对，利用反证法，假设有一同学失分超过7分，则方差大于，与题设矛盾，故每名同学失分都不超过7分．故D正确．
故选：D
三、 解答题
6．（2021·全国高三其他模拟（文））某精准扶贫帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，决定在该村兴办一个年产量为1000万块的瓷砖厂，以吸纳富余劳动力，提高村民收入.已知瓷砖的质量以某质量指标值t(单位：分，t∈[0，100])为衡量标准，为估算其经济效益，该瓷砖厂进行了试产，并从中随机抽取了100块瓷砖，进行了统计，其统计结果如表所示：
质量指标值t
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80]
[80，90)
[90，100]
频数
2
13
21
25
24
11
4
试利用样本分布估计总体分布的思想解决下列问题(注：每组数据取区间的中点值).
（1）在一天内抽检瓷砖，若出现了瓷砖的质量指标值t在区间内，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，其中近似为样本平均数，s近似为样本的标准差，并已求得s≈14.若某天抽检到的瓷砖有1块的t值为20分，则从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（2）已知每块瓷砖的质量指标值t与等级及纯利润y(单位：元)的关系如表所示：
质量指标值t
[0，40)
[40，60)
[60，80)
[80，90)
[90，100]
产品等级
次品
三级
二级
一级
特级
纯利润(元/块)
﹣10
1
3
5
10
假定该瓷砖厂所生产的瓷砖都能销售出去，且瓷砖厂的总投资为3000万元(含引进生产线､兴建厂房等一切费用在内)，问：该厂能否在一年之内通过生产并销售瓷砖收回投资？试说明理由.
【答案】（1）应对当天的生产过程进行检查；（2）该瓷砖厂不能在一年之内通过生产并销售瓷砖收回投资，理由见解析.
【分析】
（1）由平均数计算公式求得，从而可得﹣3s，判断20是否在区间[0，﹣3s)内，即可得出结论；
（2）列表可得瓷砖的质量指标值t与对应频率，由平均数公式可求得样本中每块瓷砖的平均利润，利用样本平均数估计总体平均数，计算可得该瓷砖厂的年盈利，与总投资3000作比较，即可得出结论.
【详解】
解：（1）根据表中数据，
可得=×(35×2+45×13+55×21+65×25+75×24+85×11+95×4)=65.5，
又s≈14，
所以﹣3s≈65.5﹣3×14=23.5，
而20<23.5，即抽检到的这块瓷砖的t值在区间[0，﹣3s)内，
故应对当天的生产过程进行检查.
（2）由题意可知，瓷砖的质量指标值t与对应频率如下表所示：
质量指标值t
[0，40)
[40，60)
[60，80)
[80，90)
[90，100]
产品等级
次品
三级
二级
一级
特级
纯利润(元/块)
﹣10
1
3
5
10
频率
0.02
0.34
0.49
0.11
0.04
故样本中每块瓷砖的平均利润为=﹣10×0.02+1×0.34+3×0.49+5×0.11+10×0.04=2.56(元)，
利用样本平均数估计总体平均数，可得该瓷砖厂的年盈利大约为2.56×1000=2560(万元)，
而2560万元<3000万元，
故该瓷砖厂不能在一年之内通过生产并销售瓷砖收回投资.
7．（2021·贵州省思南中学高三月考（理））电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．附表：
参考公式
（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及期望
【答案】（1）填表见解析；没有；（2）分布列见解析；期望为．
【分析】
（1）根据直方图求得“体育迷”的频率，求得其人数，进而列出列联表中的其余数据；计算得到的值，与相应临界值比较即可做出结论；
（2）由抽到“体育迷”的频率为，得到计算后列表得到概率，由二项分布期望值公式计算即得.
【详解】
（1）由频率分布直方图可知，直方图求得“体育迷”的频率，在抽取的人中，“体育迷”有人，从而列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
将列联表中的数据代入公式计算，得．
因为，
所以没有的把握认为“体育迷”与性别有关．
（2）由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为．
由题意，从而的分布列为：
.
随机事件和样本空间
一、选择题
1．（2021·全国高三专题练习）为了了解参加学校体育节的1200名学生的身高情况，从中抽取40名运动员进行测量.下列说法正确的是（ ）
A．总体是1200名学生 B．个体是每一名运动员
C．40名学生的身高是一个个体 D．样本容量是40
【答案】D
【分析】根据题意可得出总体、个体、样本和样本容量.
【详解】
根据统计的相关概念并结合题意可得，总体是1200名学生的身高，个体是每一名运动员的身高，样本是抽取的40名学生的身高，样本容量是40，故ABC错误，D正确.
故选：D.
2．（2021·广西河池市·高三期末（文））高校毕业生就业关乎千家万户.在年月日新疆自治区政府新闻办召开的疫情防控工作新闻发布会上,自治区人力资源和社会保障厅党组副书记、厅长热合满江·达吾提介绍，在当前疫情防控形势下﹐我区以离校未就业高校毕业生为重点﹐优化就业服务，调整工作方式方法，加大线上服务力度，助力未就业高校毕业生早就业快就业.据自治区人社厅统计，截至月日，全区近万名高校毕业生实现就业.其中区属普通高校毕业生万人，实现就业人,就业率；内地高校新疆籍毕业生返疆报到登记人,实现就业人，就业率约，与去年同期基本持平.则的值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据就业率大约相等，列出比利式计算即可.
【详解】
由题意有，可得.
故选：A
3．（2020·嫩江市高级中学高三月考（理））下列说法正确的是（ ）
A．为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民，对其该天的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间是总体容量
B．频率分布直方图的纵坐标是频率
C．汽车的重量和汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程成负相关
D．系统抽样由于可能要剔除一些数据，所以总体中每个个体抽到的机会可能不相等
【答案】C
【分析】直接利用总体的容量和样本容量，频率分布直方图，正相关和负相关，系统抽样的及定义的应用即可得出结果.
【详解】
对于A：总体容量为500，故A错误；
对于B：频率分布直方图的纵坐标为频率比组距，故B错误；
对于C：汽车的重量和汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程成负相关，汽车越重，行驶的路程越近，故C正确；
对于D：系统抽样由于可能要剔除一些数据，所以总体中每个个体抽到的机会相等，故D错误.
故选：C.
4．（2020·全国高三专题练习）某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有47名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业服务满意的百分比大约为（ ）
A．85% B．75% C．63.5% D．67.5%
【答案】D
【分析】由问卷设计方式可知，回答第一个问题的人数有40人，其中有20人的手机号是奇数，回答第二个问题的人数为40人，其中27人回答了“是”，由此可以估计本小区对物业服务满意的百分比.
【详解】
要调查80名居民,在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，第一个问题可能被询问40次,在被询问的40人中有20人手机号是奇数,而有47人回答了“是”，估计有27个人回答是否满意物业的服务时回答了“是”,
在40人中有27个人满意服务, 估计本小区对物业服务满意的百分比，
故选: D
5．（2020·全国高三其他模拟（文））造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ）
A．69人 B．84人 C．108人 D．115人
【答案】D
【分析】先求得名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此利用比例，求得名学生中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.
【详解】
在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有人，设对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有人，则，解得人.
故选：D
三、 解答题
6．（2020·四川泸州市·高三期末（文）） 是指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物．我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2015年全年每天的监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)
（1）求中位数．
（2）以这15天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．
【答案】（1）45 （2）天
【分析】
(1)总数据个数为，从小到大排列第个数即为中位数；
(2)先根据茎叶图确定出空气质量达到一级或二级的天数所占比例，由此估计出一年中空气质量达到一级或二级的平均天数.
【详解】
（1）由茎叶图可知：从小到大排列，第个数是，所以中位数是；
（2）由茎叶图可知：15天的日均值中空气质量达到一级或二级的有：
，共天，所占比例为，
用样本估计总体可知：一年中空气质量达到一级或二级的天数有(天).
7．（2020·重庆巴蜀中学高三月考（文））凤梨穗龙眼原产厦门，是厦门市的名果，栽培历史已有多年.龙眼干的级别按直径的大小分为四个等级，其中直径在区间为特级品，在的为一级品，在的为二级品，在的为三级品，某商家为了解某农场一批龙眼干的质量情况，随机抽取了个龙眼干作为样本（直径分布在区间），统计得到这些龙眼干的直径的频数分布表如下：
频数
1
29
7
用分层抽样的方法从样本的一级品和特级品中抽取个，其中一级品有个.
（1）求、的值，并估计这些龙眼干中特级品的比例；
（2）已知样本中的个龙眼干约克，该农场有千克龙眼干待出售，商家提出两种收购方案：
方案A：以元/千克收购；
方案B：以级别分装收购，每袋个，特级品元/袋、一级品元/袋、二级品元/袋、三级品元/袋.用样本的频率分布估计总体分布，哪个方案农场的收益更高？并说明理由.
【答案】（1），，这些龙眼干中特级品的比例为（2）见解析
【分析】
（1）根据样本容量以及分层抽样的性质，列出方程组求解得出、的值，再估计这些龙眼干中特级品的比例；
（2）农场选择方案获得的收入为元，设农场选择方案获得的收入为元，依题意先计算500千克龙眼干共可以分成多少袋，再利用样本估计总体，分别明确特级品，一级品，二级品，三级品各多少袋，再计算得出，即可得出结论.
【详解】
（1），解得
所抽取的100个龙果干中特级品的频率为
这些龙眼干中特级品的比例为
（2）农场选择方案获得的收入为元
设农场选择方案获得的收入为元，则依题意得500千克龙眼干共可以1000袋
用样本的频率分布估计总体分布，则特级品有袋，一级品有袋，二级品有袋，三级品有袋
元
，农场应选择方案
互斥事件和独立事件
一、选择题
1．（2020·全国高三专题练习（文））从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少有一个红球
C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D．至少有一个黑球与都是红球
【答案】C
【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，逐项判断.
【详解】
A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，故错误；
B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，故错误；
C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，故正确
D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，
这两个事件是对立事件，故错误；
故选：C
2．（2020·全国高三专题练习（文））甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，甲不输即为甲赢或和棋，即可得答案.
【详解】
由题意得：甲不输的概率为
故选：A．
3．（2020·全国高三专题练习（文））设A与B是互斥事件，A，B的对立事件分别记为，，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥 B．与互斥
C． D．
【答案】C
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义，互斥事件的概率公式判断．
【详解】
根据互斥事件的定义可知，A与，与都有可能同时发生，所以A与互斥，与互斥是不正确的；P(A+B)=P(A)+P(B)正确；与既不一定互斥，也不一定对立，所以D错误.
故选：C．
4．（2020·全国高三专题练习（文））根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为型，型，型，型.现有一血液为型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知，能为型病人输血的有型和型，将对应的频率相加可得结果.
【详解】
由题意可知，能为型病人输血的有型和型，
因此，在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为.
故选：D.
5．（2021·河南焦作市·高三其他模拟（文））人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人能给哪些血型的人输血，是有严格规定的，输血法则可归结为4条：①X→X；②O→X；X→AB；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(其中X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者).已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照规则，若受血者为A型血，则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为（ ）
A．0.27 B．0.31 C．0.42 D．0.69
【答案】B
【分析】利用条件分析出不能为A型血供血者的血型即可得解.
【详解】
当受血者为A型血时，供血者可以为A型或O型，即B，AB两种血型不能为供血者，
我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，
所以一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为：P=24%+7%=31%=0.31.
故选：B
二、解答题
6．（2020·全国高三其他模拟（理））随着我国人民生活条件持续改善，国民身体素质明显增强，人均预期寿命不断延长，人民生产生活中驾车出行的需求持续增长，因此许多人呼吁放宽学驾年龄2020年10月22日，公安部在新闻发布会上宣布，取消申请小型汽车、小型自动挡汽车、轻便摩托车驾驶证70周岁的年龄上限，为了了解70周岁以上人员对考取小型汽车驾照的态度，某研究单位从一个大型社区70周岁以上的人员中随机抽取了360人进行调研，整理数据，得到如下表格：
男性人数
女性人数
持“积极响应”态度
180
60
持“不积极响应”态度
60
60
(1)按照性别及对考取小型汽车驾照的态度，采用分层抽样的方法从参与调研的人员中抽取36人进行深入调研．
①求抽取的男性中持“积极响应”态度和女性中持“不积极响应”态度的人数；
②从抽取的持“不积极响应”态度的人员中随机抽取2人，记抽到的男性人数为，求的分布列和数学期望．
(2)以样本的频率估计概率，从该大型社区70周岁以上的人员中随机抽取4人，求抽取的4人中至少有2人持“积极响应”态度的概率．
【答案】(1)①男性中持“积极响应”态度的人数为18，女性中持“不积极响应"态度的人数为6；②分布列见解析，1；(2).
【分析】
(1)①由分层抽样的抽样比求解即可；②由持“不积极响应”态度的人数及其中男性的人数，写出的所有可能取值，进而求得．
(2)先求出随机抽取1人，持“积极响应”态度的概率，然后设抽取的4人中，持“积极响应”态度的人数为随机变量，分析出Y服从二项分布求解即得．
【详解】
(1)①由题意知分层抽样的抽样比为，
故抽取的男性中持“积极响应”态度的人数为18，女性中持“不积极响应"态度的人数为6；
②抽取的持“不积极响应”态度的人数为12，其中男性的人数为6，
故的所有可能取值为0，1，2，
，，，
所以的分布列为：
0
1
2
；
(2)由题意可知，从该大型社区70周岁以上的人员中随机抽取1人，此人持“积极响应”态度的概率为．
设抽取的4人中，持“积极响应”态度的人数为，则，
故，，
故，
故所求概率为．
7．（2021·福建厦门市·高三二模）足球比赛中规定，若双方在进行了90分钟激战和加时赛仍然无法分出胜负，则采取点球大战的方式决定胜负，点球大战规则如下：两队应各派5名队员，双方轮流踢，如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次时可能射中的球数，则不需再踢，若5轮之后双方进球数相同，则继续点球，直到出现某一轮结束时，一方踢进且另一方未踢进时比赛结束，现有甲乙两支球队进行点球大战，每支球队每次点球进球的概率均为，每轮点球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）最少进行几轮比赛能分出胜负？并求相应概率：
（2）求至少进行5轮比赛才能分出胜负的概率.
【答案】（1）最少三轮能定胜负，三场能定胜负的概率为；（2）.
【分析】
（1）一方进球3次，另一方还未进球，根据每次点球进球的概率即可获解；
（2）由（1），先分析四轮结束时的情况，再由对立事件的概率公式即可求解.
【详解】
（1）一方进球3次，另一方还未进球时即可分出胜负，故最少三轮能定胜负.
当三轮能定胜负时，甲进3球，乙不进球：或乙进3球，甲不进球，
所以三场能定胜负的概率为.
（2）记第四轮结束时，甲，乙进球数分别记为X，Y
若第四轮结束时，甲胜出有以下情况(按照甲的进球数分类)；
①甲进2球，乙进0球，其概率，
②甲进3球，乙进0球或1球，其概率
，
③甲进4球，乙进1球或2球，其概率
，
所以第四轮结束时，甲获胜的概率为，
所以第四轮结束时，能定胜负的概率为，
所以至少5轮比赛才能分出胜负的概率为.
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