初中数学人教版八年级上册13.1 轴对称综合与测试随堂练习题

2021——2022学年度人教版八年级数学上册 第十三章轴对称 13.1轴对称 同步练习

一、选择题

1．C、D是线段的垂直平分线上的两点，平分，则下列说法不一定正确的是（    ）．

A． B． C．垂直平分 D．

2．如图，在ABC中，直线ED是线段BC的垂直平分线，直线ED分别交BC、AB于点D、点E，已知BD=3，ABC的周长为20，则AEC的周长为（    ）

A．14 B．20 C．16 D．12

3．如图，△ABC和△关于直线对称，下列结论中正确的有（　　）

①△ABC≌△ ②③直线垂直平分 ④直线BC和的交点不一定在直线上．

A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④

4．如图，在△ABC中，AB=AC，AB=6，BC=3，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则△CBE的周长为（    ）

A．12 B．6 C．9 D．15

5．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（     ）

A．48° B．54° C．64° D．78°

6．如图，∠AOB＝45°，点E、F分别在射线OA、OB上，EF＝8，S△OEF＝24，点P是直线EF上的一个动点，点P关于OA的对称的点为P1，点P关于OB的对称点为P2，当点P在直线EF上运动时，的最小值为（　　）

A．8 B．16 C．18 D．36

7．如图，ABC中，∠A=105º，通过如图所示的尺规作图得到交点P，若∠ACP=30º，则∠PBC=（    ）

A．15º B．18º C．20º D．25º

8．如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=3，ABC的周长为21，则ABD的周长为（    ）

A．14 B．15 C．16 D．17

9．如图，在四边形ABCD中，ABDC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为（　　）

A．2 B．5 C．8 D．11

10．如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于交的延长线于于F，现有下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中正确的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

11．△ABC中，∠A=55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，点C落在△ABC内，如图，若∠CDA=20°，则∠CEB=________．

12．在平面直角坐标系中，已知点，点，若点同时满足下列条件：①点到，两点的距离相等；②点到的两边距离相等．则点的坐标为______．

13．如图，点P关于OA、OB的对称点分别是P1、P2，P1、P2分别交OA、OB于点C、D，，则△PCD的周长是_______．

14．如图，OA，OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD＝5cm，MC＝7cm，CD＝10cm，一只小蚂蚁从点M出发，爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径的长度为_____．

15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，点O是AB边的中点，点P是射线AC上的一个动点，BQ∥CA交PO的延长线于点Q，OM⊥PQ交BC边于点M．当CP＝1时，BM的长为_____．

三、解答题

16．先化简，再求值：当点与点关于轴对称时，求的值.

17．如图，邮递员小王的家在两条公路和相交成的角（）的内部处，小王每天都要到开往方向的车上取下快件，然后再送到开往方向的车上，这样他就可以回家了，为使小王每天接送快件时的行程最短，请帮助他找出在公路和上的等车地点．（画草图，保留作图痕迹）

18．已知：如图∠BAC的角平分线AD与BC的垂直平分线DN交与点D，DE⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为E，F．

（1）求证：BE=CF．

（2）若△ABD的面积为10cm2，△ACD的面积为6cm2，求△CDF的面积．

19．（阅读与理解）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法，例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？

（分析）把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C’处，即AC＝AC’，据以上操作，易证明△ACD≌△AC’D，所以∠AC’D＝∠C，又因为∠AC’D＞∠B，所以∠C＞∠B．

（感悟与应用）

（1）如图（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图（2），在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，CD＝CB．求证：∠B＋∠D＝180°．

20．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．

（1）求证：∠DEF＝∠DFE；

（2）求证：AD垂直平分EF．

21．如图，在中，边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于，与相交于点，的周长为．

（1）求的长；

（2）分别连结、、，若的周长为，求的长．

22．我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？如图1．在中，如果，那么．

小明证明如下：将沿的角平分线翻折（如图2），因为，所以点落在的延长线上的点处．于是，由，，可得．这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大即“大边对大角”．从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3．在中，如果，那么．小明的思路是：沿的垂直平分线翻折．问题：

（1）上述证明中为什么．

（2）请写出“大角对大边”的证明过程．

（3）利用上述结论回答下面问题，并说明原因．

①在中，已知，那么，，有怎样的大小关系？

②直角三角形的哪一边最长？

23．综合与探究

在数学综合实践课上，老师让同学用两张全等的等腰三角形纸片进行拼摆，并探究摆放后所构成的图形之间的关系．如图1，△ABC≌△DEF，AB＝AC，DE＝DF．

[探究一]

（1）勤奋小组的同学把这两张纸片按如图2的方式摆放，点A与点D重合，连接BE和CF．他们发现BE与CF之间存在着一定的数量关系，这个关系是　   　．

[探究二]（2）创新小组的同学在勤奋小组的启发下，把这两张纸片按如图3的方式摆放，点F，A，D，C在同一直线上，连接BF和CE，他们发现了BF和CE之间的数量和位置关系，请写出这些关系并说明理由；

[探究三]（3）从A，B两题中任选一题作答．解答时用尺规作△DEF，不写作法，保留作图痕迹．

A．如图4，利用△ABC纸片拼摆出一种与图2和图3都不相同的图形，并根据图形写出一个数学结论．

B．如图4，利用△ABC纸片拼摆出一种与图2和图3都不相同的图形，并根据图形提出一个数学问题并解答．

【参考答案】

1．D  2．A  3．B  4．C  5．B  6．C  7．A  8．B  9．C  10．C

11．80°

12．

13．20cm

14．10cm

15．2.5或1

16．解：由题意有：

原式

当时，原式

17．解：如图所示，分别作点关于射线所在直线的对称点，点关于射线所在直线的对称点，连接，分别交射线、于点、，连接、．

根据轴对称的性质可得、，此时的周长最小，则处、处分别为小王在公路和上的的等车地点．

18．（1）证明：连接、，

如图所示：

的垂直平分线过点，

，

点是的角平分线上的点，，，

，

在和中，

，

，

；

（2）解：在和中，

，

，

由（1）知，

由图可知：（cm2），

（cm2）．

19．（1）解：AC+AD=BC，

理由如下：如图，把AC沿∠ACB的角平分线CD翻折，点A落在BC上的点A′处，连接A′D，

∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠A=90°-∠B=60°，

由折叠的性质可知，CA′=CA，A′D=AD，∠CA′D=∠A=60°，

∵∠B=30°，

∴∠A′DB=∠CA′D-∠B=30°，

∴∠A′DB=∠B，

∴A′D=A′B，

∴AD=A′B，

∴BC=CA′+A′B=AC+AD；

（2）证明：如图，

将AD沿AC翻折，使D落在AB上的D′处，连接CD′，

则△ADC≌△AD′C，

∴CD=CD′=BC，∠D=∠AD′C，

∴∠B=∠BD′C，

∵∠BD′C+∠AD′C=180°，

∴∠B+∠D=180°．

20．（1）∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

∴∠DEF＝∠DFE；

（2）根据已知条件可得∠AED＝∠AFD＝90°，

在Rt△AED和Rt△AFD中，，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），

∴∠ADE＝∠ADF；

在△DEO和△DFO中，

，

∴，

∴，，

∵∠EOD+∠FOD＝180°，

∴∠EOD=∠FOD＝90°，

∴AD垂直平分EF．

21．解：（1）∵是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，

∴，

∵的周长为，

∴，

∴，

∴；

（2）如图，连结、、，

∵是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，

∴，

∴，

∵的周长为16cm，，

∴，

∴，

∴．

22．（1）如图2：如果，将沿的角平分线翻折，

则有

在的延长线上

(三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角)

，即大边对大角；

（2）如果，如图：所对的边为，所对的边为

作边的垂直平分线，将沿直线翻折

则点与点重合,，

，

CE在三角形内部，

（三角形两边之和大于第三边）

（等量代换）

即

（3）①

②由（2）可知：“大角对大边”

直角三角形的三个角中，直角最大

直角所对的边是斜边

直角三角形最长的边为斜边

23．解：（1）如图2，BE＝CF，理由如下：

∵△ABC≌△DEF，

∴∠BAC＝∠EDF，

∴∠BAC+∠CAE＝∠EDF+∠EAF，即∠BAE＝∠CDF，

在△BAE和△CDF中

∴△BAE≌△CDF（SAS），

∴BE＝CF；

故答案为BE＝CF；

（2）如图3，BF＝CE，BF∥CE，理由如下：

∵△ABC≌△DEF，

∴∠BAC＝∠EDF，AC＝DF，AB＝DE，

∴∠BAF＝∠EDC，AF＝DC

在△ABF和△DEC中

∴△ABF≌△DEC（SAS），

∴BF＝CE，∠AFB＝∠DCE，

∴BF∥CE；

（3）A、如图：把这两张纸片按如图方式摆放，AC与DF重合，

根据题意可知：∠DAE=∠ADB

∴AE∥BC；

B、如图：

把这两张纸片按如图方式摆放，BC与EF重合，请写出AD和BC的位置关系并注明；

解答：AD垂直平分BC，

证明：∵AB＝AC，DE＝DF．

∴AD垂直平分BC．