高中北师大版 (2019)2.2 复数的乘法与除法第1课时学案

  2.2　复数的乘法与除法

*2.3　复数乘法几何意义初探

第1课时　复数乘法与除法的简单运算

1. 复数的乘法

(1)复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

(2)复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

(3)复数的指数幂的运算性质

对复数z，z1，z2和正整数m，n，有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝z·z.

(4)虚数单位i乘方的周期性

对于任意自然数n，有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.

(5)共轭复数的性质：互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝||2＝|z|2＝a2＋b2.

2．复数的除法

(1)复数的除法：

对任意的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数z2＝c＋di(c，d∈R)，规定复数的除法：＝z1·.即除以一个复数等于乘这个复数的倒数．因此＝＝(a＋bi)＝－i.

(2)复数除法的运算：

在实际计算时，通常把分子和分母同乘分母c＋di的共轭复数c－di，化简后就得到上面的结果：＝＝－i.

由此可见，在进行复数除法运算时，实际上是将分母“实数化”．

思考：1.复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相似？

提示：相似，但是运算的结果要把i2写成－1.

2．类比根式除法的分母有理化，比如＝，你能写出复数的除法法则吗？

提示：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则＝＝＋i.

1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为(　　)

A．6－4i　　　　　 B．－6－4i

C．6＋4i D．－6＋4i

D　[(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.]

2．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　　)

A．－i B．i

C．－1 D．1

A　[z＝＝－i.]

3．设复数z＝1＋i，则z2－2z＝________.

－3　[ ∵z＝1＋i，∴z2－2z＝z(z－2)＝(1＋i)(1＋i－2)＝(1＋i)(－1＋i)＝－3.]

【例1】　计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.

[解]　(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；

(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.

1．两个复数代数形式乘法的运算步骤

(1)首先按多项式的乘法展开；

(2)再将i2换成－1；

(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．

2．常用公式

(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)；

(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；

(3)(1±i)2＝±2i.

1．(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　　)

A．2－13i　　　　　　 B．13＋2i

C．13－13i D．－13－2i

(2)复数(1－i)2(2－3i)的值为(　　)

A．6－4i B．－6－4i

C．6＋4i D．－6＋4i

(1)D　(2)B　[(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.

(2)(1－i)2(2－3i)＝(－2i)(2－3i)＝－6－4i.]

【例2】　(1)已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是(　　)

A．M　　　　　　 B．N

C．P D．Q

(2)设复数z＝1＋2i，则＝(　　)

A．2i B．－2i

C．2 D．－2

(3)设复数z满足＝i，则|z|等于(　　)

A．1 B．

C． D．2

(1)D　(2)C　(3)A　[(1)由图可知z＝3＋i，所以复数＝＝＝＝2－i，表示的点是Q(2，－1)．故选D．

(2)＝＝＝＝2.故选C．

(3)由＝i，得z＝＝＝＝i，

|z|＝|i|＝1.]

两个复数代数形式的除法运算步骤

1首先将除式写为分式；

2再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；

3然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.

2．(1) ＝(　　)

A．1＋2i B．1－2i

C．2＋i D．2－i

(2)已知i为虚数单位，则＝(　　)

A． B．

C． D．

(1)D　(2)D　[(1)＝＝＝2－i.

(2)＝＝.]

[探究问题]

1. 复数z＝－2＋i在复平面内对应的点在第几象限？

提示：因为复数z＝－2＋i在复平面内对应的点为(－2,1)，它在第二象限．

2．若复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a，b应满足什么条件？

提示：a>0，b<0.

【例3】　(1)已知i是虚数单位，设复数z1＝1＋i，z2＝1＋2i，则在复平面内对应的点在(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1) B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)

[思路点拨]　(1)→

→

(2)→→

(1)D　(2)B　[(1)由题可得，＝＝＝－i，对应在复平面上的点的坐标为，在第四象限．

(2)因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，又此点在第二象限，所以解得a＜－1.]

1．把例3(1)中的复数“”换为“”，答案是哪个？

[解]　＝＝－i，则复数z对应的点为，

在第四象限，故选D．

2．把例3(2)中的复数“(1－i)(a＋i)”换为“”，其余条件不变， 求实数a的取值范围．

[解]　因为＝＝－i，

由题意可得 ，解得a<－.

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b)＝(a，b)．

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解法更加直观．

1．复数代数形式的乘除运算

(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．

(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．

2．复数问题实数化思想．

复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两个共轭复数的和与积是实数．  (　　)

(2)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0． (　　)

(3)两个复数互为共轭复数是它们的积为实数的必要条件． (　　)

[提示]　(1)正确．

(2)错误．反例：z1＝1，z2＝i，满足z＋z＝0，但z1＝z2＝0不成立．

(3)错误．

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

2．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝(　　)

A．－2i　　　　　　 B．2i

C．－2 D．2

A　[∵zi＝1＋i，∴z＝＝＋1＝1－i. ∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.]

3. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

D　[＝＝＋i，其共轭复数为－i，∴复数的共轭复数对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D．]

4．计算：(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)．

[解]　(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.