高中3 带电粒子在匀强磁场中的运动学案

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第3节 带电粒子在匀强磁场中的运动
1、通过理论分析，知道带电粒子沿着与磁场垂直的方向射入匀强磁场做匀速圆周运动；
2、知道带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力；
3、回推导带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径和周期；
4、通过理论分析，知道带电粒子沿着与磁场平行的方向射入匀强磁场，做匀速直线运动；沿着与磁场成角度的方向进入匀强磁场，轨迹为螺旋线；
5、了解洛伦兹力演示仪的工作原理，通过洛伦兹力演示仪观察电子在匀强磁场中的运动轨迹。
重点：带电粒子在匀强磁场中的受力分析及运动径迹
难点：粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动及运动径迹
一、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．探究一：（小组讨论）带电粒子在磁场中的运动
已知带电粒子质量为m，电荷量为q，速度大小为v，磁感应强度为B，以下列不同方式进入磁场将做什么运动？（不计重力）
（1）v∥B进入磁场
由洛伦兹力的公式F＝qvBsinθ得，当v∥B时，θ=90°则F＝0。故物体做 _______ 运动。
（2）v⊥B进入磁场
①洛伦兹力方向：由左手定则可知，洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向，所以洛伦兹力洛伦兹力永不做功，不改变速度的大小。因此为匀速率运动。
②洛伦兹力大小：由洛伦兹力的公式可知当v⊥B时，F＝qvB。由于粒子速度的大小不变，粒子在匀强磁场中所受洛伦兹力的大小也不改变，洛伦兹力对粒子起到了向心力的作用。因此带电粒子做匀速圆周运动。
2．探究二：实验验证：用洛伦兹力演示仪观察运动电子在磁场中的运动
（1）实验仪器及构造
①电子枪：射出电子；
②加速电场：改变电子束的出射速度：
③励磁线圈：在两线圈之间产生平行于两线圈中心连线的匀强磁场。
（2）实验现象
二、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
1．半径
v⊥B进入磁场，电荷做匀速圆周运动，其匀速圆周运动的向心力由__________提供，
则：，得：。
2．周期
由圆周运动的周期
得：
周期跟轨道半径和运动速度__________。
3．角速度 SKIPIF 1 < 0 。
可以看出：
当电子束出射速度不变，磁感应强度变大时，半径变小；当磁感应强度不变，电子束出射速度变大时，半径变大。带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期和角速度跟轨道半径和运动速度无关。
三、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
1. 基本思路：（1）确定圆心 （2）确定半径（3）确定周期或运动时间
（1）确定圆心
带电粒子做匀速圆周运动，其轨迹为一个圆。圆心一定在与速度方向垂直的直线上，也一定在圆的弦的中垂线上。通常有两种确定方法．
eq \\ac(○,1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处速度的垂线，其交点即为圆心，如图(a)；
eq \\ac(○,2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线，中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图(b)。
（2）确定半径
eq \\ac(○,1)物理方法：半径r＝eq \f(mv,qB)
eq \\ac(○,2)几何方法：一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定。
（3）确定周期或运动时间T＝eq \f(2πm,qB)
首先利用周期公式T＝eq \f(2πm,qB)，求出运动周期T，然后求出粒子运动的圆弧所对应的圆心角θ，即可求解运动时间t. 具体有两种计算方法：
eq \\ac(○,1)由圆心角求：t＝eq \f(θ,2π)T；
eq \\ac(○,2)由弧长求：t＝eq \f(s,v)= SKIPIF 1 < 0 。
可见粒子转过的圆心角越大，所用时间越长．确定带电粒子运动圆弧所对圆心角的两个重要结论
①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫做偏向角，偏向角等于圆弧 SKIPIF 1 < 0 对应的圆心角α，即α＝φ，如图所示．
②圆弧 SKIPIF 1 < 0 所对圆心角α等于弦PM与切线的夹角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如图所示．
2. 几种常见的磁场边界
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)。
(2)平行边界(存在临界条件，如图所示)。
(3)圆形边界(进出磁场具有对称性。沿径向射入必沿径向射出，如图所示)。
1、两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行．一速度方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子(不计重力)，从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的( )
A．轨道半径减小，角速度增大
B．轨道半径减小，角速度减小
C．轨道半径增大，角速度增大
D．轨道半径增大，角速度减小
2、如图甲所示有界匀强磁场Ⅰ的宽度与图乙所示圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一不计重力的粒子从左边界的M点以一定初速度水平向右垂直射入磁场Ⅰ，从右边界射出时速度方向偏转了θ角；该粒子以同样的初速度沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了2θ角。已知磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小分别为B1、B2，则B1与B2的比值为( )
A.2cs θ B.sin θ C.cs θ D.tan θ
3、如图所示，直线MN上方为磁感应强度为B的足够大的匀强磁场，一电子(质量为m、电荷量为e)以v的速度从点O与MN成30°角的方向射入磁场中，求：
(1)电子从磁场中射出时距O点多远？
(2)电子在磁场中运动的时间是多少？
1.如图所示，ab是一弯管，其中心线是半径为R的一段圆弧，将它置于一给定的匀强磁场中，磁场的方向垂直于圆弧所在平面，并指向纸里．有一束粒子对准a端射入弯管，粒子有不同的速度，不同的质量，但都是一价正离子．则( )
A．只有速度大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
B．只有质量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
C．只有mv乘积大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
D．只有能量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
2.两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。若不计粒子的重力，则下列说法正确的是( )
A.a粒子带正电，b粒子带负电
B.a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C.b粒子的动能较大
D.b粒子在磁场中运动时间较长
3. 半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)从A点以速度v垂直于磁场方向射入磁场中，并从B点射出．∠AOB＝120°，如图所示，则该带电粒子在磁场中运动的时间为( )
A．2πr/3v0 B．2eq \r(3)πr/3v0 C．πr/3v0 D.eq \r(3)πr/3v0
4.(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
A．使粒子的速度veq \f(5Bql,4m)
C．使粒子的速度v>eq \f(Bql,m) D．使粒子的速度eq \f(Bql,4m)5．如图所示，在真空中宽为d的区域内有匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m、带电量为q、速率为v0的电子从边界CD外侧垂直射入磁场，入射方向与CD边夹角为θ，为了使电子能从磁场的另一边界EF射出，v0满足的条件是什么？(不计重力作用)
参考答案：
小试牛刀：
1.答案:D
解析：分析轨道半径：带电粒子从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的速度v大小不变，磁感应强度B减小，由公式r＝eq \f(mv,qB)可知，轨道半径增大．分析角速度：由公式T＝eq \f(2πm,qB)可知，粒子在磁场中运动的周期增大，根据 SKIPIF 1 < 0 知角速度减小．选项D正确．
2.答案：C
解析 设有界磁场Ⅰ宽度为d，则粒子在磁场Ⅰ和磁场Ⅱ中的运动轨迹分别如图甲、乙所示，由洛伦兹力提供向心力知Bqv＝meq \f(v2,r)，得B＝eq \f(mv,rq)，由几何关系知d＝r1sin θ，d＝r2tan θ，联立得eq \f(B1,B2)＝cs θ，选项C正确。
3、解析：设电子在匀强磁场中运动半径为R，射出时与O点距离为d，运动轨迹如图所示．
(1)据牛顿第二定律知： Bev＝meq \f(v2,R)
由几何关系可得： d＝2Rsin 30°
解得：d＝eq \f(mv,Be)．
(2)电子在磁场中转过的角度为θ＝60°＝eq \f(π,3)，又周期T＝eq \f(2πm,Be)
因此运动时间：t＝eq \f(θT,2π)＝eq \f(\f(π,3),2π)·eq \f(2πm,Be)＝eq \f(πm,3Be)．
当堂检测：
1.选C 解析：由r＝eq \f(mv,qB)得，当r、q、B相同时，mv乘积大小相同，但m不一定相同，v也不一定相同，故 选项A、B、D错，C对．
2.选C 解析：由左手定则可知，a粒子带负电，b粒子带正电，选项A错误；由qvB＝meq \f(v2,r)得r＝eq \f(mv,qB)，故运动的轨迹半径越大，对应的速率越大，所以b粒子的速率较大，在磁场中所受洛伦兹力较大，选项B错误；由Ek＝eq \f(1,2)mv2可得b粒子的动能较大，选项C正确；由T＝eq \f(2πm,qB)知两者的周期相同，b粒子运动的轨迹对应的圆心角小于a粒子运动的轨迹对应的圆心角，所以b粒子在磁场中运动时间较短，选项D错误。
3.选D【解析】 从弧所对圆心角θ＝60°，知t＝eq \f(1,6)T＝πm/3qB.但题中已知条件不够，没有此选项，另想办法找规律表示t.由匀速圆周运动t＝/v0，从图示分析有R＝eq \r(3)r，则：＝Rθ＝eq \r(3)r×eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),3)πr，则t＝/v0＝eq \r(3)πr/3v0.
4.选AB 解析：如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有
req \\al(2,1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r1－\f(l,2)))eq \s\up12(2)＋l2
又r1＝eq \f(mv1,Bq)，
所以v1＝eq \f(5Bql,4m)
粒子刚好打在极板左边缘时，
有r2＝eq \f(l,4)＝eq \f(mv2,Bq)，v2＝eq \f(Bql,4m)
综合上述分析可知，选项A、B正确．
5.解析：当入射速率很小时，电子在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速度越大，轨道半径越大，当轨道与右边界相切时，电子恰好不能从磁场另一边界射出，如图所示，由几何知识可得：r＋rcsθ＝d
又ev0B＝eq \f(mveq \\al(2,0),r)，解得v0＝eq \f(Bed,m（1＋cs θ）)
所以为了使电子能从磁场的另一边界EF射出，电子的速度v0＞eq \f(Bed,m（1＋cs θ）)．
不加磁场
电子束径迹为_________
加匀强磁场，且B⊥v
电子束径迹为__________
保持v大小不变，改变B的大小
B变大，半径变_____；B变小，半径变_____
保持B不变，改变出射v的大小
v变大，半径变_____；v变小，半径变_____；
带电粒子斜射入匀强磁场
_____运动