北师大版第二章 实数综合与测试练习

八年级北师大版上册第二章实数检测（A卷）

第I卷（选择题）

一、单选题（每题4分）

1．估计的值在（    ）

A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间

2．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．使有意义的x的取值范围是（　　）

A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3

4．下列二次根式中，最简二次根式是（    ）

A． B． C． D．

5．下列说法不正确的是（    ）

A．负数没有平方根 B．负数没有立方根

C．一个数的算术平方根不会是负数 D．不存在最小的无理数

6．已知，那么的值为（　　）

A．-1 B．1 C． D．

7．下列计算中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

8．如图，在数轴上，点O对应数字O，点A对应数字2，过点A作AB垂直于数轴，且AB=4，连接OB，绕点O顺时针旋转OB，使点B落在数轴上的点C处，则点C所表示的数介于（　　）

A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间

9．已知，则x，，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

10．若，则的值等于(    )

A． B． C． D．或

第II卷（非选择题）

二、填空题（每题4分）

11．的平方根是____.

12．一个正数的平方根分别是和，则__．

13．已知、为两个连续的整数，且，则=________．

14．已知≈1.859，≈5.879，则≈________.

15．已知的小数部分是a，的整数部分是b，则________.

16．观察下列各式：

①；②；③

根据你发现的规律填空：________；_________(n≥2，n为自然数).

三、解答题

17（8分）．计算：（1）；

（2）.

18（8分）．求x的值：

（1）；（2）.

19（8分）．某冶炼厂将27个大小相同的立方体钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方体钢锭，量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为80cm，16cm和40cm，求原来每个立方体钢锭的棱长.（保留一位小数）

20（8分）．已知，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根.

21（8分）．若都是实数，且，求 x＋3y的立方根．

22（10分）．某中学要在操场的一块长方形土地上进行绿化，已知这块长方形土地的长为5m，宽为4m.

(1)求该长方形土地的面积(精确到0.1 m2)；

(2)如果绿化该长方形土地每平方米的造价为180元，那么绿化该长方形土地所需资金约为多少元？

23（10分）．已知满足．

（1）求的值．

（2）以为边能否构成三角形，如果能，求出三角形的周长；如果不能，请说明理由．

24（12分）．如图所示，数轴上有A、B、C三点，且AB=3BC，若B为原点，A点表示数为6．

（1）求C点表示的数；

（2）若数轴上有一动点P，以每秒1个单位的速度从点C向点A匀速运动，设运动时间为t秒，请用含t的代数式表示PB的长；

（3）在（2）的条件下，点P运动的同时有一动点Q从点A以每秒2个单位的速度向点C匀速运动，当P、Q两点相距2个单位长度时，求t的值．

25（14分）．阅读下列材料，然后回答问题.

在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简.

（一）

（二）

（三）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化.还可以用以下方法化简.

.（四）

（1）请用不同的方法化简：

（2）化简：.

参考答案

1．A

【分析】

根据无理数的估算即可得．

【详解】

解：，

，即，

故选：A．

【点睛】

本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．

2．D

【分析】

根据算术平方根、平方根的定义分别判断．

【详解】

解：A、，故错误；

B、，故错误；

C、，故错误；

D、，故正确；

故选D．

【点睛】

本题考查了算术平方根、平方根，解题的关键是掌握各自的定义．

3．C

【详解】

分析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．

详解：∵式子有意义，

∴x-3≥0，

解得x≥3．

故选C．

点睛：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．

4．A

【分析】

根据最简二次根式的定义进行判断．

【详解】

解：A、是最简二次根式；

B、，不是最简二次根式；

C、，不是最简二次根式；

D、，不是最简二次根式；

故选A．

【点睛】

本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

5．B

【解析】

【分析】

根据平方根和立方根的定义进行判断即可．

【详解】

解：A. 负数没有平方根，正确；   

B. 负数没有立方根，错误；

C. 一个数的算术平方根不会是负数，正确；

D. 不存在最小的无理数，正确；

故选：B.

【点睛】

本题考查平方根的概念，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

6．A

【分析】

根据算术平方根和绝对值的非负性，确定a、b的值，再代入代数式求值即可.

【详解】

解：由题意得：a+2=0，b-1=0，即a=-2，b=1

所以，

故答案为A.

【点睛】

本题主要考查了非负数的性质，利用非负数的性质确定待定的字母的值是解答的关键

7．C

【分析】

根据二次根式的加减法对A进行判断；

根据二次根式的乘法法则对B进行判断；

根据平方差公式对C进行判断；

根据完全平方公式对D进行判断．

【详解】

A、2与3不是同类二次根式，不能合并，所以A选项错误；

B、原式＝，所以B选项错误；

C、原式＝9−12＝−3，所以C选项正确；

D、原式＝2a＋2＋b，所以D选项错误．

故选C．

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．

8．B

【解析】

分析：计算出的长度，进行估算即可.

详解：

即

故选B.

点睛：考查了无理数的估算以及数轴上的点和实数之间的对应关系，夹逼法是估算的一般方法，也是常见的方法.

9．C

【分析】

首先根据x的取值范围，取一个特殊的数，然后求出各式的值，比较后即可得出结果.

【详解】

本题直接比较大小比较困难，可以采用特殊值法求解，取，

则，，.

因为，

所以

.故选C.

【点睛】

本题主要考查实数的大小比较，关键是取一个特殊的数.

10．A

【解析】

∵，

∴，

∴原式=.

故选A.

11．±

【分析】

首先计算的值为，再计算的平方根即可得解.

【详解】

∵=，=±，

∴的平方根是±.

故答案为±.

【点睛】

本题考查了正数的算术平方根以及平方根的相关知识，在计算时不应忽略=.

12．2．

【分析】

根据正数的两个平方根互为相反数可得关于x的方程，解方程即可得．

【详解】

根据题意可得：x+1+x﹣5=0，

解得：x=2，

故答案为2．

【点睛】

本题主要考查了平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．

13．11

【分析】

根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案．

【详解】

∵a＜＜b，a、b为两个连续的整数，
∴，
∴a＝5，b＝6，
∴a＋b＝11.
故答案为11.

【点睛】

本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数是解题的关键.

14．587.9

【解析】

因为,≈5.879,

所以,故答案为:.

点睛:本题主要考查二次根式乘法法则的逆用,解决本题的关键是对二次根式法则得逆向运用.

15．

【解析】

【分析】

求出2＜＜3，根据的范围求出5+和5-的范围，求出a、b的值，代入求出即可．

【详解】

∵，

∴，

∴；

∵，

∴，

∴，

∵，

∴．

故答案为：

【点睛】

本题考查了估算无理数的性质和二次根式的加减的应用，解此题的关键是求出a、b的值．

16．        

【解析】

【分析】

根据算式的结果写出即可.

【详解】

根据所给算式的结果可得：

； (n≥2，n为自然数).

故答案为 ；.

【点睛】

本题考查了算术平方根，观察出分数的分子分母与整数的关系是解题的关键．

17．（1）  （2）  

【解析】

【分析】

根据二次根式的运算法则进行计算，先算乘除，再算加减.

【详解】

解：（1）原式＝

＝ 

＝.

（2）原式＝

 ＝.

【点睛】

本题考核知识点：二次根式混合运算.解题关键点：掌握二次根式的运算法则.

18．（1）；（2）

【分析】

（1）根据平方根概念计算求解；

（2）先由－729的立方根是－9，得，再解方程即可.

【详解】

解：（1）由，得，∴；

（2）由，得，即，解得.

【点睛】

本题考查了平方根和立方根的概念，掌握概念是求解的关键.

19．原来每个立方体钢锭的棱长约是12.4cm.

【解析】

【分析】

设原来每个立方体钢锭的棱长是xcm，根据冶炼前27个立方体的体积=冶炼后长方体的体积列出方程，解方程即可.

【详解】

解：设原来每个立方体钢锭的棱长是xcm，根据题意，得，解得.

答：原来每个立方体钢锭的棱长约是12.4cm.

【点睛】

本题考查了立方根的应用，关键是弄清题意，列出方程，熟练掌握立方根的概念.

20．的平方根是.

【解析】

【分析】

结合平方根的定义以及估算无理数大小的方法得出a，b，c的值，进而得出答案．

【详解】

解：由题意，得，解得.

，解得.

因为，所以.

所以，所以的平方根是.

【点睛】

本题考查估算无理数的大小，正确得出a，b，c的值是解题关键．

21．3

【分析】

首先根据二次根式的非负性可以求出x的值，再将其代入已知等式即可求出y的值，从而求出x+3y的值，再对其开立方根即可求解．

【详解】

由题意可知，

解得：x=3，
则y=8，x+3y=27，

故x+3y的立方根是3．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，立方根及平方根的知识，属于基础题，掌握各个知识点是关键. 二次根式有意义的条件：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．

22．(1) 244.9m2；(2)绿化该长方形土地所需资金约为44082元．

【解析】

【分析】

（1）根据这块长方形土地的长a=5m，宽b=4m，直接得出面积即可；
（2）利用绿化该长方形土地每平方米的造价为180元，即可求出该长方形土地所需资金．

【详解】

(1)该长方形土地的面积为5×4=100≈244.9(m2)．

(2)因为绿化该长方形土地每平方米的造价为180元，

所以180×244.9=44082(元)．

答：绿化该长方形土地所需资金约为44082元．

【点睛】

此题主要考查了二次根式的计算以及应用，根据二次根式乘法运算法则得出是解题关键．

23．（1）a=2，b=3，c=4；（2）能，9

【分析】

（1）根据非负数的性质列式求解即可得到a、b、c的值；

（2）利用三角形的三边关系判断能够组成三角形，然后根据三角形的周长公式列式进行计算即可得解．

【详解】

解：（1）根据题意得：a-2=0，b-3=0，c-4=0，

解得：a=2，b=3，c=4；

（2）∵2+3>4，

即a+b＞c，

∴能构成三角形，

∴C△ABC=2+3+4=9．

【点睛】

本题考查了绝对值，算术平方根和平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．

24．（1）﹣2（2）若0＜t＜2时，PB的长为：2﹣t；若t＞2时，PB的长为：t﹣2（3）s

【分析】

（1）根据AB=3BC，若B为原点，A点表示数为6，即可求出C点表示的数；

（2）设运动时间为t秒，分0＜t＜2时，t＞2时，两种情况分别求得PB的长；

（3）首先求出AC的长度，根据P从点C向点A匀速运动，Q点A向点C匀速运动，求出t的值.

【详解】

（1）∵AB=3BC，A点表示数为6，若B为原点，

∴C点表示的数为﹣2．

（2）设运动时间为t秒，

若0＜t＜2时，PB的长为：2﹣t

若t＞2时，PB的长为：t﹣2

（3）AC=AB+BC=6+2=8

∵动点P从点C向点A匀速运动，动点Q点A向点C匀速运动

∴（8+2）÷（2+1）=s

∴t的值为s．

【点睛】

本题主要考查了数轴的应用，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系．

25．（1）；（2）1.

【解析】

【分析】

（1）方法一：分子分母同时乘以有理化因式，即可化简；

方法二：把分子2写成5-3，然后利用平方差公式分解，即可化简；

（2）根据上面的例子即可进行化简．

【详解】

（1）方法一：

.

方法二：.

（2），

，

，

，

=1.

【点睛】

本题主要考查了二次根式的化简求值，正确读题，理解已知条件是解题的关键.