北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试课时训练

这是一份北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试课时训练，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级北师大版上册第一章勾股定理检测（B卷）
第I卷（选择题）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则该三角形为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2．(本题4分)如图，在中，，，，点到的距离是（ ）

A． B． C． D．
3．(本题4分)在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC+BC=14cm，AB=10cm，则Rt△ABC的面积是(　　)
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
4．(本题4分)如图，在中，，BD平分，交AC于点D，且，，则点D到BC的距离是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
5．(本题4分)已知的三边长分别为，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
6．(本题4分)将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．(本题4分)如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（ ）

A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
8．(本题4分)如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC
重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )

A．3 B．4
C．5 D．6
9．(本题4分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC=3，AB=5，则CE的长为（　　）

A． B． C． D．
10．(本题4分)如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

第II卷（非选择题）

二、填空题(共24分)
11．(本题4分)已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
12．(本题4分)如图，某宾馆在重新装修后.准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯.知这种地毯每平方米售价20元，主楼梯宽2米.则购买地毯至少需要________.元

13．(本题4分)若直角三角形的两边长为 a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|=0，则该直角三角形的斜边长为_______．
14．(本题4分)如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A、B、C、D的面积之和为16cm2，最大的正方形边长为_____cm．


15．(本题4分)如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．

16．(本题4分)如图，在长方形中，cm，cm，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为________.


三、解答题(共86分)
17．(本题8分)如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝24，AD＝BC＝50，E是AD上一点，且AE∶DE＝9∶16，判断△BEC的形状．



18．(本题8分)有一只喜鹊在一棵高3米的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树24米，高为14米的一棵大树上，且巢离大树顶部为1米，这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声，立刻赶过去，如果它的飞行速度为每秒5米，那么它至少几秒能赶回巢中？


19．(本题10分)如图，有一个直角三角形纸片，两直角边cm， cm，现将直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？



20．(本题10分)如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B处与河岸的距离AC，BD分别为500m和300m，且C，D两处的距离为600m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水，再赶回家，那么牧童最少要走多少米？



21．(本题10分)如图，四边形ABCD的三条边AB，BC，CD和BD都为5cm，动点P从点A出发沿A→B→D以2cm/s的速度运动到点D，动点Q从点D出发沿D→C→B→A以2.8cm/s的速度运动到点A.若两点同时开始运动运动5s时，P，Q相距3cm.试确定两点运动5s时，问ΔAPQ的形状.


22．(本题12分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法如图，火柴盒的一个侧面ABCD（是一个长方形）倒下到AB′C′D′的位置连接AC，AC′，CC′ ，设AB=a ，BC=b，AC=c.

（1）试用a，b有关的代数式表示梯形BCC′D′的面积；
（2）试用a，b，c有关的代数式分别表示ΔABC，ΔAD′C′，ΔAC′C的面积；
（3）由（1）和（2）的结论证明勾股定理：a2+b2=c2.




23．(本题14分)一驾2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物0.7米，如果梯子的顶部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多远（其中梯子从AB位置滑到CD位置）？




24．(本题14分)我们古代数学中有这样一道数学题:有一棵枯树直立在地上,树高2丈,粗3尺,有一根藤条从树根处缠绕而上,缠绕7周到达树顶,(如图所示),则这根藤条有多长?(注:枯树可以看成圆柱.树粗3尺,指的是:圆柱底面周长为3尺,1丈=10尺)






















详细答案解析
第I卷（选择题）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则该三角形为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2．(本题4分)如图，在中，，，，点到的距离是（ ）

A． B． C． D．
3．(本题4分)在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC+BC=14cm，AB=10cm，则Rt△ABC的面积是(　　)
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
4．(本题4分)如图，在中，，BD平分，交AC于点D，且，，则点D到BC的距离是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
5．(本题4分)已知的三边长分别为，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
6．(本题4分)将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．(本题4分)如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（ ）

A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
8．(本题4分)如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC
重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )

A．3 B．4
C．5 D．6
9．(本题4分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC=3，AB=5，则CE的长为（　　）

A． B． C． D．
10．(本题4分)如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

第II卷（非选择题）

二、填空题(共24分)
11．(本题4分)已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
12．(本题4分)如图，某宾馆在重新装修后.准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯.知这种地毯每平方米售价20元，主楼梯宽2米.则购买地毯至少需要________.元

13．(本题4分)若直角三角形的两边长为 a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|=0，则该直角三角形的斜边长为_______．
14．(本题4分)如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A、B、C、D的面积之和为16cm2，最大的正方形边长为_____cm．

15．(本题4分)如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．

16．(本题4分)如图，在长方形中，cm，cm，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为________.


三、解答题(共86分)
17．(本题8分)如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝24，AD＝BC＝50，E是AD上一点，且AE∶DE＝9∶16，判断△BEC的形状．



18．(本题8分)有一只喜鹊在一棵高3米的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树24米，高为14米的一棵大树上，且巢离大树顶部为1米，这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声，立刻赶过去，如果它的飞行速度为每秒5米，那么它至少几秒能赶回巢中？



19．(本题10分)如图，有一个直角三角形纸片，两直角边cm， cm，现将直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？



20．(本题10分)如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B处与河岸的距离AC，BD分别为500m和300m，且C，D两处的距离为600m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水，再赶回家，那么牧童最少要走多少米？



21．(本题10分)如图，四边形ABCD的三条边AB，BC，CD和BD都为5cm，动点P从点A出发沿A→B→D以2cm/s的速度运动到点D，动点Q从点D出发沿D→C→B→A以2.8cm/s的速度运动到点A.若两点同时开始运动运动5s时，P，Q相距3cm.试确定两点运动5s时，问ΔAPQ的形状.


22．(本题12分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法如图，火柴盒的一个侧面ABCD（是一个长方形）倒下到AB′C′D′的位置连接AC，AC′，CC′ ，设AB=a ，BC=b，AC=c.

（1）试用a，b有关的代数式表示梯形BCC′D′的面积；
（2）试用a，b，c有关的代数式分别表示ΔABC，ΔAD′C′，ΔAC′C的面积；
（3）由（1）和（2）的结论证明勾股定理：a2+b2=c2.


23．(本题14分)一驾2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物0.7米，如果梯子的顶部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多远（其中梯子从AB位置滑到CD位置）？



24．(本题14分)我们古代数学中有这样一道数学题:有一棵枯树直立在地上,树高2丈,粗3尺,有一根藤条从树根处缠绕而上,缠绕7周到达树顶,(如图所示),则这根藤条有多长?(注:枯树可以看成圆柱.树粗3尺,指的是:圆柱底面周长为3尺,1丈=10尺)


参考答案
1．B
【分析】
根据勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】
解：∵在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
故选B．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
2．A
【分析】
根据勾股定理求出AB，再根据三角形面积关系求CD.
【详解】
在中，，，，
所以AB=
因为AC∙BC=AB∙CD
所以CD=
故选A
【点睛】
考核知识点：勾股定理的运用.利用面积关系求斜边上的高是关键.
3．A
【分析】
根据勾股定理得到AC2+BC2=AB2=100，根据完全平方公式求出2AC•BC=96，得到 AC•BC=24，得到答案．
【详解】
∵∠C=90°，
∴AC2+BC2=AB2=100，
∵AC+BC=14，
∴（AC+BC）2=196，
即AC2+BC2+2AC•BC=196，
∴2AC•BC=96，
∴AC•BC=24，即Rt△ABC的面积是24cm2，
故选：A．
【点睛】
此题考查勾股定理的应用，解题关键在于掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
4．A
【解析】
【分析】
首先根据勾股定理求得AD的长，再根据角平分线的性质定理即可求得结果.
【详解】
解：∵，，，
∴.
∵BD平分，
∴点D到BC距离.故选：A
【点睛】
本题考查了勾股定理和角平分线上的点到角两边距离相等的性质，读懂题意，明确所求，正确计算是解题的关键.
5．C
【分析】
根据非负数的性质可得关于a、b、c的等式，继而可得a、b、c三边的数量关系，进而可判断出△ABC的形状．
【详解】
∵，
（a-b）2≥0，|a2+b2-c2|≥0，
∴a-b=0且a2+b2-c2=0，
∴a=b且a2+b2=c2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定以及非负数的性质，熟练掌握非负数的性质以及勾股定理的逆定理等知识是解题的关键.
6．C
【解析】
【分析】
观察图形，找出图中的直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【详解】
首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是12cm，则在杯外的最大长度是24-12=12；
再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是（如图）AC=
=13，则在杯外的最小长度是24-13=11cm．
所以h的取值范围是11≤h≤12．

故选C
【点睛】
考核知识点：勾股定理运用.把问题转化为直角三角形模型是关键.
7．C
【分析】
这种求最短的一般都是空间想象，把圆柱体展开成平面的矩形.这个矩形长为底面周长,宽为圆柱体的高.两点之间直线最短.所以展开后画图连接AB，然后根据勾股定理，即可得解.
【详解】

底面圆周长为cm，底面半圆弧长为6cm，
展开图如图所示，连接AB，
∵BC=8cm，AC=6cm，
∴
故选C．
【点睛】
此题主要考查勾股定理的运用，解题关键是把空间图展开.
8．D
【详解】
试题分析：先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8﹣3=5，
在Rt△CEF中，CF===4，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，
故选D．
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
9．A
【分析】
根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【详解】
过点F作FG⊥AB于点G，

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴，∵FC=FG，∴，解得：FC=，即CE的长为．故选A．
【点睛】
本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．
10．C
【分析】
先求出每边的平方，得出AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．
【详解】

理由是：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，
设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AB2=12+22=5,AC2=22+42=20,AD2=12+32=10,BC2=52=25,CD2=12+32=10,BD2=12+22=5，
∴AB2+AC2=BC2,AD2+CD2=AC2,BD2+AB2=AD2，
∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形，
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理.
11．5或
【详解】
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：；
∴第三边的长为：或5．
考点：1．勾股定理；2．分类思想的应用．
12．
【分析】
根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，求出地毯的长度，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
【详解】
因为所有台阶竖直面和的长为3米，
由勾股定理，得所有台阶水平面和的长为4米，
所以地毯的长度为（米） ，
地毯的面积为（米），
所以购买地毯至少需要（元）.
【点睛】
本题考查了平移的性质，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
13．5或4
【分析】
根据绝对值和偶次幂具有非负性可得a-3=0，b-4=0，进而可得a、b的值，按b=4为直角边和斜边分类讨论，然后再利用勾股定理计算出该直角三角形的斜边长即可．
【详解】
解：∵（a-3）2+|b-4|=0，
∴a-3=0，b-4=0，
∴a=3，b=4，
∴当a，b为直角边时，
∴该直角三角形的斜边长为：=5，
∵43
∴4也可能为斜边．
故答案为5或4．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理和非负数的性质，关键是掌握绝对值和偶次幂具有非负性，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
14．4
【分析】
根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积即16．
【详解】
由勾股定理得，A、B的面积之和等于E的面积，A、B、C、D的面积之和等于E、F的面积之和，
∴E、F的面积之和等于最大的正方形G的面积，
∴最大的正方形G的面积为A、B、C、D的面积之和=16cm2，
∴最大的正方形边长为4cm，
故答案为4．

【点睛】
考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．15.
【分析】
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【详解】
沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，

∵AE=A′E，A′P=AP，
∴AP+PC=A′P+PC=A′C，
∵CQ=×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C==15cm，
故答案为15．
16．6
【分析】
由折叠的性质可知AE与BE间的关系，根据勾股定理求出AE长可得面积.
【详解】
解：由题意可知.因为cm，所以cm.在中，根据勾股定理可知，，所以，所以cm，所以的面积为（）.
故答案为6
【点睛】
本题考查了勾股定理，由折叠性质得出直角边与斜边的关系是解题的关键.
17．△BEC是直角三角形．
【分析】
根据AD＝50,AE:DE＝9:16,可得AE＝18,DE＝32,在Rt△ABE中,由勾股定理,得BE2＝AB2＋AE2＝242＋182＝900,在Rt△CDE中,由勾股定理,得CE2＝DE2＋CD2＝322＋242＝1600,在△BCE中,由于BE2＋CE2＝900＋1600＝2500＝502＝BC2,可根据勾股定理逆定理判定
△BEC是直角三角形．
【详解】
因为AD＝50,AE:DE＝9:16,
所以AE＝18,DE＝32.
在Rt△ABE中,由勾股定理,得BE2＝AB2＋AE2＝242＋182＝900,
在Rt△CDE中,由勾股定理,得CE2＝DE2＋CD2＝322＋242＝1600,
在△BCE中,因为BE2＋CE2＝900＋1600＝2500＝502＝BC2,
所以△BEC是直角三角形．
【点睛】
本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理,解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理.
18．它至少5.2秒能赶回巢中.
【分析】
过点作于点.求出AF,EF,再根据勾股定理求出AE，从而求出时间.
【详解】
解：如图所示，米，米，米，米.

过点作于点.
在中，米，
米，
所以.
所以喜鹊离巢的距离米.
喜鹊赶回巢所需的时间为（秒）.即它至少5.2秒能赶回巢中.
【点睛】
考核知识点：勾股定理和逆定理运用.构造直角三角形是解题关键.
19．CD的长为3cm.
【分析】
首先由勾股定理求得AB=10，然后由翻折的性质求得BE=4，设DC=x，则BD=8-x，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：
由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE，∠DEA=∠C．
∴BE=AB-AE=10-6=4，∠DEB=90°．
设DC=x，则BD=8-x．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+ED2=BD2，即42+x2=（8-x）2．
解得：x=3．
∴CD=3．
【点睛】
本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用，利用翻折的性质和勾股定理表示出△DBE的三边长是解题的关键．
20．牧童最少要走1000m.
【解析】
【分析】
延长BD至，使，连接，的长即为牧童所走最短距离，再构造直角三角形用勾股定理求解即可.
【详解】
解：如图所示，延长BD至，使，连接，的长即为牧童所走最短距离，作交DB延长线于.
在中，，，
∴，
∴m.
∴牧童最少要走1000m.

【点睛】
本题考查的是轴对称之最短路线问题，解题的关键是根据题意作出图形，构造出直角三角形利用勾股定理求解.
21．两点运动5s时，ΔAPQ是直角三角形.
【解析】
【分析】
首先确定5秒时P、Q的位置，此时P与D重合，Q在AB边上，且BQ=4厘米，然后根据勾股定理的逆定理判定△BPQ为直角三角形，且∠BQP=90°，再由邻补角定义得到∠AQP=90°，从而得出△APQ为直角三角形．
【详解】
5s时，动点P运动的路程为2×5=10cm，即点P运动到D点（点P与点D重合），
动点Q运动的路程为2.8×5=14cm
因为DC=BC=BA=5cm，所以点Q在BA上，且BQ=14−10=4cm.
在ΔBPQ中，因为BP=5cm，BQ=4cm，PQ=3cm，
所以BQ2+PQ2=42+32=25=BP2，
所以ΔBPQ是直角三角形，且∠BQP=90° ，
所以∠AQP=180°−90°=90°，
所以两点运动5s时，ΔAPQ是直角三角形.

【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，行程问题中路程、速度、时间的关系，邻补角定义，难度适中．利用数形结合思想确定5秒时P、Q的位置是解题的关键．
22．（1）12a2+b2+ab；（2）SΔABC=SΔAD′C′=12ab，SΔAC′C=12c2；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据梯形面积公式表示梯形BCC′D′的面积；
（2）根据三角形面积公式分别表示△ABC、△AD′C′、△AC′C的面积；
（3）根据S梯形BCC′D′=SRt△CC'A+2SRt△ABC，列出方程并整理可证．
【详解】
（1）由题意， 可得梯形BCC′D′的面积为12a+b⋅a+b=12a2+b2+ab
（2）由题意易知∠CAD=∠C′AD′，∠CAC′=∠CAD+∠B′AC′，∠B′AC′+∠C′AD′=90°
所以∠CAC′=90°，ΔAC′C为直角三角形，
所以SΔAC′C=12c2，
又因为C′D′=CD=AB，AD′=AD=BC，
所以SΔABC=SΔAD′C′=12ab.
（3）由题中图形可知S梯形BCC′D′=SΔAC′C+SΔABC+SΔAD′C′，
所以12a+ba+b=12c2+2×12ab，
所以12a2+b2+ab=12c2+ab，
所以a2+b2=c2
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，需注意：组成的图形的面积有两种表示方法：大的面积的表示方法和各个组成部分的面积的和．
23．0.8米
【解析】
【分析】
要求梯子的底部滑出多远，就要求梯子原先顶部的高度AO，且△AOB，△COD均为直角三角形，可以运用勾股定理求解．
【详解】
解：在直角三角形AOB中，
根据勾股定理AB2=AO2+OB2，可以求得：
OA==2.4米，
现梯子的顶部滑下0.4米，即OC=2.4﹣0.4=2米，
且CD=AB=2.5米，
所以在直角三角形COD中DO2=CD2﹣CO2，
即DO==1.5米，
所以梯子的底部向外滑出的距离为1.5米﹣0.7米=0.8米．
答：梯子的底部向外滑出的距离为0.8米．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的实际应用，找出题目中隐含的直角三角形是解题的关键．
24．这根藤条有29尺.
【解析】
【分析】
由于树可以近似看作圆柱，藤条绕树缠绕，我们可以按如图所示的方法，转化为平面图形利用勾股定理来解决．
【详解】
如图所示，在RtΔABC中，

由勾股定理得AB2=BC2+AC2，
因为BC=20，AC=3×7=21，
所以AB2=202+212=841，
所以AB=29，
所以这根藤条有29尺.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，能够把实际问题抽象成数学问题是解题的关键.