还剩28页未读，
继续阅读
数学八年级上册第一章 勾股定理综合与测试练习题
展开
这是一份数学八年级上册第一章 勾股定理综合与测试练习题，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北师大八年级上册 第一章勾股定理（A卷）
第I卷（选择题）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6
2．(本题4分)由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=3，b=4，c=5 D．a=4，b=5，c=6
3．(本题4分)直角三角形的两直角边分别为5，12，则斜边上的高为（ ）
A．6 B．8 C． D．
4．(本题4分)直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（ ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
5．(本题4分)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为和，则小正方形的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．(本题4分)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为（ ）
A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．无法计算
7．(本题4分)《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．(本题4分)如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为（ ）
A． B． C．4 D．5
9．(本题4分)已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为( )
A．6cm2 B．8 cm2 C．10 cm2 D．12 cm2
10．(本题4分)若△ABC中，AB＝7，AC＝8，高AD＝6，则BC的长是（ ）
A．10+ B．10－ C．10+或10－ D．以上都不对
第II卷（非选择题）
二、填空题(共24分)
11．(本题4分)如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设步为米），却踩伤了花草．
12．(本题4分)若一个三角形的三边长分别为5.12.13，则此三角形的最长边上的高为_____．
13．(本题4分)如图，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于____．
14．(本题4分)如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是_____．
15．(本题4分)如图，一个长方体铁盒的长，宽，高分别是8 cm，6 cm，24 cm，-根长28 cm的木棒________完全装进这个盒子里.（填“能”或“不能”）
16．(本题4分)在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2-S3-S4＝_________．
三、解答题(共86分)
17．(本题8分)如图，在中，是上的一点，若，，，，求的面积．
18．(本题10分)已知：如图，四边形ABCD中，∠B=90°,AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积?
19．(本题10分)如图，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4 km，又往北走1.5 km，遇到障碍后又往西走2 km，再折回向北走到4.5 km处往东一拐，仅走0.5 km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？
20．(本题10分)台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点 C为一海港，且点 C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有 小时．
21．(本题10分)如图，有两根长杆隔河相对，一杆DC高3m，另一杆AB高2m，两杆相距BC为5m，两根长杆都与地面垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮出一条小鱼，于是同时以同样的速度飞来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼，求两杆底部距小鱼的距离各是多少米？（假设小鱼在此过程中保持不变）．
22．(本题10分)如图，在梯形ABCD中，利用面积法证明勾股定理．
23．(本题14分)如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
(1)作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD，则CD=________；
(2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；
(3)利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
24．(本题14分)有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵．
(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；
(2)试求小虫爬行的最短路程．
详细参考答案
第I卷（选择题）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6
2．(本题4分)由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=3，b=4，c=5 D．a=4，b=5，c=6
3．(本题4分)直角三角形的两直角边分别为5，12，则斜边上的高为（ ）
A．6 B．8 C． D．
4．(本题4分)直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（ ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
5．(本题4分)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为和，则小正方形的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．(本题4分)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为（ ）
A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．无法计算
7．(本题4分)《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．(本题4分)如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为（ ）
A． B． C．4 D．5
9．(本题4分)已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为( )
A．6cm2 B．8 cm2 C．10 cm2 D．12 cm2
10．(本题4分)若△ABC中，AB＝7，AC＝8，高AD＝6，则BC的长是（ ）
A．10+ B．10－ C．10+或10－ D．以上都不对
第II卷（非选择题）
二、填空题(共24分)
11．(本题4分)如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设步为米），却踩伤了花草．
12．(本题4分)若一个三角形的三边长分别为5.12.13，则此三角形的最长边上的高为_____．
13．(本题4分)如图，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于____．
14．(本题4分)如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是_____．
15．(本题4分)如图，一个长方体铁盒的长，宽，高分别是8 cm，6 cm，24 cm，-根长28 cm的木棒________完全装进这个盒子里.（填“能”或“不能”）
16．(本题4分)在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2-S3-S4＝_________．
三、解答题(共86分)
17．(本题8分)如图，在中，是上的一点，若，，，，求的面积．
18．(本题10分)已知：如图，四边形ABCD中，∠B=90°,AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积?
19．(本题10分)如图，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4 km，又往北走1.5 km，遇到障碍后又往西走2 km，再折回向北走到4.5 km处往东一拐，仅走0.5 km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？
20．(本题10分)台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点 C为一海港，且点 C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有 小时．
21．(本题10分)如图，有两根长杆隔河相对，一杆DC高3m，另一杆AB高2m，两杆相距BC为5m，两根长杆都与地面垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮出一条小鱼，于是同时以同样的速度飞来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼，求两杆底部距小鱼的距离各是多少米？（假设小鱼在此过程中保持不变）．
22．(本题10分)如图，在梯形ABCD中，利用面积法证明勾股定理．
23．(本题14分)如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
(1)作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD，则CD=________；
(2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；
(3)利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
24．(本题14分)有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵．
(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；
(2)试求小虫爬行的最短路程．
参考答案
1．D
【分析】
由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】
解：A、∠A＋∠B＝∠C，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；
B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；
C、由a2＝c2−b2，得a2＋b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、32＋42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：D．
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2．C
【详解】
试题分析：根据勾股定理的逆定理即可判断． （A）c2=9，a2+b2=5，故A不是直角三角形，
（B）c2=16，a2+b2=13，故B不是直角三角形， （C）c2=25，a2+b2=25，故C是直角三角形，
（D）c2=36，a2+b2=41，故D不是直角三角形．
考点：勾股定理的逆定理．
3．D
【分析】
先根据勾股定理求出斜边的长，然后根据等面积法进行求解即可．
【详解】
解： 如图所示：AB=5，AC=12，∠BAC=90°，AD⊥BC，
，
，
；
故选D．
【点睛】
本题主要考查勾股定理及等面积法，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．D
【分析】
根据勾股定理可以得到解答．
【详解】
解：由勾股定理知，第三边的长的平方为或者，
故选D．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，注意第三边的平方既可能是已知两边的平方和，也可能是已知两边的平方差．
5．A
【分析】
根据直角三角形的两直角边长分别为和，可计算出正方形的边长，从而得出正方形的面积.
【详解】
解：3和5为两条直角边长时，
小正方形的边长=5-3=2，
∴小正方形的面积22=4；
综上所述：小正方形的面积为4；
故答案选A．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其应用，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
6．C
【分析】
小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC2＋BC2，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2．AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．
【详解】
解：正方形ADEC的面积为AC2，
正方形BCFG的面积为BC2；
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝15，
则AC2＋BC2＝225cm2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理．勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
7．D
【分析】
先画出三角形，根据勾股定理和题目设好的未知数列出方程．
【详解】
解：如图，根据题意，，，
设折断处离地面的高度是x尺，即，
根据勾股定理，，即．
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理的方程思想，解题的关键是根据题意利用勾股定理列出方程．
8．C
【分析】
设BQ=x，则由折叠的性质可得DQ=AQ=9-x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BQD中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
【详解】
设BQ=x，由折叠的性质可得DQ=AQ=9﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△BQD中，x2+32=（9﹣x）2，
解得：x=4．
故线段BQ的长为4．
故选：C．
【点睛】
此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．
9．A
【分析】
首先根据翻折的性质得到ED＝BE，用AE表示出 ED，BE的长度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，进而求出AE的长度，就可以利用面积公式求得△ABE的面积了．
【详解】
解：∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴BE=ED．
∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．
∴BE=9﹣AE，
根据勾股定理可知：AB2+AE2=BE2．
∴32+AE2=(9﹣AE)2．
解得：AE=4cm．
∴△ABE的面积为：×3×4=6(cm2)．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了图形的翻折变换和学生的空间想象能力，解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可．
10．C
【详解】
本题要注意分情况讨论,当△ABC为锐角三角形时, 高AD在△ABC内部垂直于BC, AD将△ABC分成两个直角三角形分别是:Rt△ADB和△ADC,根据勾股定理可分别求出BD=,CD=10,所以BC= 10+, 当△ABC为锐角三角形时, 高AD在△ABC外部垂直于CB延长线于点D, AD与AC,AB分成两个直角三角形分别是:Rt△ADC和△ADB,根据勾股定理可分别求出CD=10, BD=, 所以BC= 10－,因此,正确选项是C.
11．
【分析】
少走的距离是AC+BC-AB，在直角△ABC中根据勾股定理求得AB的长即可．
【详解】
解：如图，
∵在中，，
∴ ，
则少走的距离为：，
∵步为米，
∴少走了步．
故答案为：．
【点睛】
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，掌握勾股定理是解题的关键．
12．
【分析】
首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算出斜边上的高即可．
【详解】
∵，
∴此三角形是直角三角形，
设最长边上的高为h，由三角形面积得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的面积计算，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
13．2π
【分析】
首先把与的表达式列出来，然后求和时根据勾股定理可得到与斜边AB平方的关系，然后得到+的值．
【详解】
，
则+=
在直角三角形ABC中有：
则+=
故答案为：2π
【点睛】
本题考查了勾股定理的综合应用，解题关键在于通过勾股定理建立好两个半圆的面积与斜边的联系．
14．19
【分析】
由题意可得△ABE是直角三角形,根据勾股定理求出其斜边长度,即正方形边长,再根据割补法求阴影面积即可.
【详解】
∵AE⊥BE，
∴△ABE是直角三角形，
∵AE＝3，BE＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴阴影部分的面积＝S正方形ABCD﹣S△ABE＝52﹣×3×4＝25﹣6＝19．
故答案为：19．
【点睛】
本题考查了勾股定理的简单应用,以及割补法求阴影面积,熟练掌握和运用勾股定理是解答关键.
15．不能
【解析】
【分析】
长方体内体对角线是最长的，根据勾股定理求出盒子的对角线长，再与28cm比较即可．
【详解】
连接 ，.
在中，
由勾股定理，得，
所以.
在中，
由勾股定理，得 ，
所以.
因为，
所以这根木棒不能完全装进这个盒子里
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟悉勾股定理并两次应用勾股定理．
16．-2
【分析】
观察图形根据勾股定理的几何意义，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．
【详解】
解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S3+S4=3，
故S1＋S2-S3-S4＝（S1＋S2）-（S3+S4）＝1-3=-2，
故答案为-2
【点睛】
本题考查了勾股定理，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．
17．84
【分析】
先根据，，，利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形，再利用勾股定理求出的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．
【详解】
解：，
是直角三角形，
，
在中，，
，
．
因此的面积为84．
故答案为84．
【点睛】
此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形．
18．36
【分析】
连接AC，根据勾股定理可求AC，再利用勾股定理逆定理可判定△ACD为直接三角形，进而可求答案.
【详解】
解：连结AC,在Rt△ABC中
∵
在△ADC中
∵，
∴
∴△ADC是直角三角形, ∠ACD=90°
【点睛】
本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理，能够灵活运用所学知识是解题的关键.
19．登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5 km.
【分析】
过点B作BC⊥AD于点C,根据题意可得AC＝4－2＋0.5＝2.5(km),BC＝4.5＋1.5＝6(km),然后根据勾股定理可得AB2＝AC2＋BC2＝2.52＋62＝6.52,继而求出AB.
【详解】
解:如图,过点B作BC⊥AD于点C,
则AC＝4－2＋0.5＝2.5(km),BC＝4.5＋1.5＝6(km),
在Rt△ABC中,由勾股定理,得:
AB2＝AC2＋BC2＝2.52＋62＝6.52,
∴AB＝6.5(km)．
答:登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5 km.
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用,解决本题的关键是要熟练掌握利用勾股定理进行解答.
20．（1）海港C受台风影响，理由见解析；（2）7．
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用等面积法得出CD的长，从而可得海港C是否受台风影响；
（2）根据勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】
解：（1）海港C受台风影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2＋BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC•BC＝CD•AB
∴CD＝240（km）
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响．
（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝70（km）
∴EF＝140km
∵台风的速度为20km/h，
∴140÷20＝7（小时）
即台风影响该海港持续的时间为7小时．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了勾股定理及逆定理的应用，解答此类题目的关键掌握勾股定理及其逆定理并构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．
21．3m和2m
【分析】
根据题意结合勾股定理得出AB2+BE2=EC2+DC2，进而得出答案．
【详解】
由题意可得：AE=DE，
则，
故，
解得：BE=3，
则EC=5−3=2(m)，
答：两杆杆底到E处的水平距离分别是3m和2m.
【点睛】
这道题主要考查勾股定理的应用，根据题意以及勾股定理建立方程并求解是解答的关键，勾股定理:直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
22．证明见解析.
【详解】
试题分析：
用以下两种方法分别计算梯形ABCD的面积，再利用同一个几何图形的面积相等得到等式变形即可证明得到“勾股定理”；
方法（1）：S梯形=(上底+下底)高；方法（2）：S梯形=S△ABE+S△ADC+S△BCE；
试题解析：
由题意可得：在△ADE和△ECB中， ，
∴△ADE≌△ECB，
∴∠AED=∠EBC，
∵EBC+∠BEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠AEB=90°.
∴（1）：S梯形=(上底+下底)高=；
（2）：S梯形=S△ABE+S△ADC+S△BCE=；
∴即：，
∴.
即：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.
23．（1）14﹣x;(2)9；（3）84
【详解】
试题分析：（1）已知BC=14，设BD=x，则CD=BC-BD=14-x；（2）在 Rt△ABD 中，根据勾股定理求得AD²，在 Rt△ACD 中，根据勾股定理求得AD²，代入数据列出方程，解方程即可；（3）在（2）的基础上求得AD的长，再利用三角形的面积公式求解即可.
试题解析：
（1）CD=(14-x)
（2）∵ AD 是 BC 边上的高，
∴△ABD 和△ACD 都是直角三角形．
在 Rt△ABD 中，根据勾股定理，AD²=AB²-BD²=15²-x²
在 Rt△ACD 中，根据勾股定理，得AD²=AC²-CD²=13²-（14-x）²
∴15²-x²=13²-（14-x）²
解得：x=9，即BD=9.
（3）AD²=15²-9²=225-81=144，∴AD=12
所以
点睛：本题考查了勾股定理这个知识点，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边为突破点，利用了勾股定理列方程进行解答．
24．(1)如图所示见解析，AQ→QG为最短路线；(2)小虫爬行的最短路程为100 cm.
【分析】
(1)根据轴对称性质,通过作对称点将折线转化成两点之间线段距离最短.
(2)根据AE＝40cm,AA′＝120cm,可得:A′E＝120－40＝80(cm),再根据EG＝60cm,可得:A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,A′G＝100cm,进而可得:AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm.
【详解】
(1)如图所示,AQ→QG为最短路线,
(2)因为AE＝40cm,AA′＝120cm,所以A′E＝120－40＝80(cm),
因为EG＝60cm,所以A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,
所以A′G＝100cm,所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm,
所以小虫爬行的最短路程为100cm.
【点睛】
本题主要对称性质和勾股定理的应用,解决本题的关键是要熟练掌握利用轴对称性质和勾股定理解决实际问题的方法.
北师大八年级上册 第一章勾股定理（A卷）
第I卷（选择题）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6
2．(本题4分)由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=3，b=4，c=5 D．a=4，b=5，c=6
3．(本题4分)直角三角形的两直角边分别为5，12，则斜边上的高为（ ）
A．6 B．8 C． D．
4．(本题4分)直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（ ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
5．(本题4分)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为和，则小正方形的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．(本题4分)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为（ ）
A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．无法计算
7．(本题4分)《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．(本题4分)如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为（ ）
A． B． C．4 D．5
9．(本题4分)已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为( )
A．6cm2 B．8 cm2 C．10 cm2 D．12 cm2
10．(本题4分)若△ABC中，AB＝7，AC＝8，高AD＝6，则BC的长是（ ）
A．10+ B．10－ C．10+或10－ D．以上都不对
第II卷（非选择题）
二、填空题(共24分)
11．(本题4分)如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设步为米），却踩伤了花草．
12．(本题4分)若一个三角形的三边长分别为5.12.13，则此三角形的最长边上的高为_____．
13．(本题4分)如图，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于____．
14．(本题4分)如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是_____．
15．(本题4分)如图，一个长方体铁盒的长，宽，高分别是8 cm，6 cm，24 cm，-根长28 cm的木棒________完全装进这个盒子里.（填“能”或“不能”）
16．(本题4分)在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2-S3-S4＝_________．
三、解答题(共86分)
17．(本题8分)如图，在中，是上的一点，若，，，，求的面积．
18．(本题10分)已知：如图，四边形ABCD中，∠B=90°,AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积?
19．(本题10分)如图，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4 km，又往北走1.5 km，遇到障碍后又往西走2 km，再折回向北走到4.5 km处往东一拐，仅走0.5 km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？
20．(本题10分)台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点 C为一海港，且点 C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有 小时．
21．(本题10分)如图，有两根长杆隔河相对，一杆DC高3m，另一杆AB高2m，两杆相距BC为5m，两根长杆都与地面垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮出一条小鱼，于是同时以同样的速度飞来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼，求两杆底部距小鱼的距离各是多少米？（假设小鱼在此过程中保持不变）．
22．(本题10分)如图，在梯形ABCD中，利用面积法证明勾股定理．
23．(本题14分)如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
(1)作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD，则CD=________；
(2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；
(3)利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
24．(本题14分)有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵．
(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；
(2)试求小虫爬行的最短路程．
详细参考答案
第I卷（选择题）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6
2．(本题4分)由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=3，b=4，c=5 D．a=4，b=5，c=6
3．(本题4分)直角三角形的两直角边分别为5，12，则斜边上的高为（ ）
A．6 B．8 C． D．
4．(本题4分)直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（ ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
5．(本题4分)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为和，则小正方形的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．(本题4分)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为（ ）
A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．无法计算
7．(本题4分)《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．(本题4分)如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为（ ）
A． B． C．4 D．5
9．(本题4分)已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为( )
A．6cm2 B．8 cm2 C．10 cm2 D．12 cm2
10．(本题4分)若△ABC中，AB＝7，AC＝8，高AD＝6，则BC的长是（ ）
A．10+ B．10－ C．10+或10－ D．以上都不对
第II卷（非选择题）
二、填空题(共24分)
11．(本题4分)如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设步为米），却踩伤了花草．
12．(本题4分)若一个三角形的三边长分别为5.12.13，则此三角形的最长边上的高为_____．
13．(本题4分)如图，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于____．
14．(本题4分)如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是_____．
15．(本题4分)如图，一个长方体铁盒的长，宽，高分别是8 cm，6 cm，24 cm，-根长28 cm的木棒________完全装进这个盒子里.（填“能”或“不能”）
16．(本题4分)在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2-S3-S4＝_________．
三、解答题(共86分)
17．(本题8分)如图，在中，是上的一点，若，，，，求的面积．
18．(本题10分)已知：如图，四边形ABCD中，∠B=90°,AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积?
19．(本题10分)如图，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4 km，又往北走1.5 km，遇到障碍后又往西走2 km，再折回向北走到4.5 km处往东一拐，仅走0.5 km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？
20．(本题10分)台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点 C为一海港，且点 C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有 小时．
21．(本题10分)如图，有两根长杆隔河相对，一杆DC高3m，另一杆AB高2m，两杆相距BC为5m，两根长杆都与地面垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮出一条小鱼，于是同时以同样的速度飞来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼，求两杆底部距小鱼的距离各是多少米？（假设小鱼在此过程中保持不变）．
22．(本题10分)如图，在梯形ABCD中，利用面积法证明勾股定理．
23．(本题14分)如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
(1)作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD，则CD=________；
(2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；
(3)利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
24．(本题14分)有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵．
(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；
(2)试求小虫爬行的最短路程．
参考答案
1．D
【分析】
由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】
解：A、∠A＋∠B＝∠C，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；
B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；
C、由a2＝c2−b2，得a2＋b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、32＋42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：D．
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2．C
【详解】
试题分析：根据勾股定理的逆定理即可判断． （A）c2=9，a2+b2=5，故A不是直角三角形，
（B）c2=16，a2+b2=13，故B不是直角三角形， （C）c2=25，a2+b2=25，故C是直角三角形，
（D）c2=36，a2+b2=41，故D不是直角三角形．
考点：勾股定理的逆定理．
3．D
【分析】
先根据勾股定理求出斜边的长，然后根据等面积法进行求解即可．
【详解】
解： 如图所示：AB=5，AC=12，∠BAC=90°，AD⊥BC，
，
，
；
故选D．
【点睛】
本题主要考查勾股定理及等面积法，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．D
【分析】
根据勾股定理可以得到解答．
【详解】
解：由勾股定理知，第三边的长的平方为或者，
故选D．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，注意第三边的平方既可能是已知两边的平方和，也可能是已知两边的平方差．
5．A
【分析】
根据直角三角形的两直角边长分别为和，可计算出正方形的边长，从而得出正方形的面积.
【详解】
解：3和5为两条直角边长时，
小正方形的边长=5-3=2，
∴小正方形的面积22=4；
综上所述：小正方形的面积为4；
故答案选A．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其应用，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
6．C
【分析】
小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC2＋BC2，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2．AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．
【详解】
解：正方形ADEC的面积为AC2，
正方形BCFG的面积为BC2；
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝15，
则AC2＋BC2＝225cm2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理．勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
7．D
【分析】
先画出三角形，根据勾股定理和题目设好的未知数列出方程．
【详解】
解：如图，根据题意，，，
设折断处离地面的高度是x尺，即，
根据勾股定理，，即．
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理的方程思想，解题的关键是根据题意利用勾股定理列出方程．
8．C
【分析】
设BQ=x，则由折叠的性质可得DQ=AQ=9-x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BQD中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
【详解】
设BQ=x，由折叠的性质可得DQ=AQ=9﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△BQD中，x2+32=（9﹣x）2，
解得：x=4．
故线段BQ的长为4．
故选：C．
【点睛】
此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．
9．A
【分析】
首先根据翻折的性质得到ED＝BE，用AE表示出 ED，BE的长度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，进而求出AE的长度，就可以利用面积公式求得△ABE的面积了．
【详解】
解：∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴BE=ED．
∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．
∴BE=9﹣AE，
根据勾股定理可知：AB2+AE2=BE2．
∴32+AE2=(9﹣AE)2．
解得：AE=4cm．
∴△ABE的面积为：×3×4=6(cm2)．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了图形的翻折变换和学生的空间想象能力，解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可．
10．C
【详解】
本题要注意分情况讨论,当△ABC为锐角三角形时, 高AD在△ABC内部垂直于BC, AD将△ABC分成两个直角三角形分别是:Rt△ADB和△ADC,根据勾股定理可分别求出BD=,CD=10,所以BC= 10+, 当△ABC为锐角三角形时, 高AD在△ABC外部垂直于CB延长线于点D, AD与AC,AB分成两个直角三角形分别是:Rt△ADC和△ADB,根据勾股定理可分别求出CD=10, BD=, 所以BC= 10－,因此,正确选项是C.
11．
【分析】
少走的距离是AC+BC-AB，在直角△ABC中根据勾股定理求得AB的长即可．
【详解】
解：如图，
∵在中，，
∴ ，
则少走的距离为：，
∵步为米，
∴少走了步．
故答案为：．
【点睛】
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，掌握勾股定理是解题的关键．
12．
【分析】
首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算出斜边上的高即可．
【详解】
∵，
∴此三角形是直角三角形，
设最长边上的高为h，由三角形面积得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的面积计算，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
13．2π
【分析】
首先把与的表达式列出来，然后求和时根据勾股定理可得到与斜边AB平方的关系，然后得到+的值．
【详解】
，
则+=
在直角三角形ABC中有：
则+=
故答案为：2π
【点睛】
本题考查了勾股定理的综合应用，解题关键在于通过勾股定理建立好两个半圆的面积与斜边的联系．
14．19
【分析】
由题意可得△ABE是直角三角形,根据勾股定理求出其斜边长度,即正方形边长,再根据割补法求阴影面积即可.
【详解】
∵AE⊥BE，
∴△ABE是直角三角形，
∵AE＝3，BE＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴阴影部分的面积＝S正方形ABCD﹣S△ABE＝52﹣×3×4＝25﹣6＝19．
故答案为：19．
【点睛】
本题考查了勾股定理的简单应用,以及割补法求阴影面积,熟练掌握和运用勾股定理是解答关键.
15．不能
【解析】
【分析】
长方体内体对角线是最长的，根据勾股定理求出盒子的对角线长，再与28cm比较即可．
【详解】
连接 ，.
在中，
由勾股定理，得，
所以.
在中，
由勾股定理，得 ，
所以.
因为，
所以这根木棒不能完全装进这个盒子里
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟悉勾股定理并两次应用勾股定理．
16．-2
【分析】
观察图形根据勾股定理的几何意义，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．
【详解】
解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S3+S4=3，
故S1＋S2-S3-S4＝（S1＋S2）-（S3+S4）＝1-3=-2，
故答案为-2
【点睛】
本题考查了勾股定理，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．
17．84
【分析】
先根据，，，利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形，再利用勾股定理求出的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．
【详解】
解：，
是直角三角形，
，
在中，，
，
．
因此的面积为84．
故答案为84．
【点睛】
此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形．
18．36
【分析】
连接AC，根据勾股定理可求AC，再利用勾股定理逆定理可判定△ACD为直接三角形，进而可求答案.
【详解】
解：连结AC,在Rt△ABC中
∵
在△ADC中
∵，
∴
∴△ADC是直角三角形, ∠ACD=90°
【点睛】
本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理，能够灵活运用所学知识是解题的关键.
19．登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5 km.
【分析】
过点B作BC⊥AD于点C,根据题意可得AC＝4－2＋0.5＝2.5(km),BC＝4.5＋1.5＝6(km),然后根据勾股定理可得AB2＝AC2＋BC2＝2.52＋62＝6.52,继而求出AB.
【详解】
解:如图,过点B作BC⊥AD于点C,
则AC＝4－2＋0.5＝2.5(km),BC＝4.5＋1.5＝6(km),
在Rt△ABC中,由勾股定理,得:
AB2＝AC2＋BC2＝2.52＋62＝6.52,
∴AB＝6.5(km)．
答:登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5 km.
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用,解决本题的关键是要熟练掌握利用勾股定理进行解答.
20．（1）海港C受台风影响，理由见解析；（2）7．
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用等面积法得出CD的长，从而可得海港C是否受台风影响；
（2）根据勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】
解：（1）海港C受台风影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2＋BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC•BC＝CD•AB
∴CD＝240（km）
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响．
（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝70（km）
∴EF＝140km
∵台风的速度为20km/h，
∴140÷20＝7（小时）
即台风影响该海港持续的时间为7小时．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了勾股定理及逆定理的应用，解答此类题目的关键掌握勾股定理及其逆定理并构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．
21．3m和2m
【分析】
根据题意结合勾股定理得出AB2+BE2=EC2+DC2，进而得出答案．
【详解】
由题意可得：AE=DE，
则，
故，
解得：BE=3，
则EC=5−3=2(m)，
答：两杆杆底到E处的水平距离分别是3m和2m.
【点睛】
这道题主要考查勾股定理的应用，根据题意以及勾股定理建立方程并求解是解答的关键，勾股定理:直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
22．证明见解析.
【详解】
试题分析：
用以下两种方法分别计算梯形ABCD的面积，再利用同一个几何图形的面积相等得到等式变形即可证明得到“勾股定理”；
方法（1）：S梯形=(上底+下底)高；方法（2）：S梯形=S△ABE+S△ADC+S△BCE；
试题解析：
由题意可得：在△ADE和△ECB中， ，
∴△ADE≌△ECB，
∴∠AED=∠EBC，
∵EBC+∠BEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠AEB=90°.
∴（1）：S梯形=(上底+下底)高=；
（2）：S梯形=S△ABE+S△ADC+S△BCE=；
∴即：，
∴.
即：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.
23．（1）14﹣x;(2)9；（3）84
【详解】
试题分析：（1）已知BC=14，设BD=x，则CD=BC-BD=14-x；（2）在 Rt△ABD 中，根据勾股定理求得AD²，在 Rt△ACD 中，根据勾股定理求得AD²，代入数据列出方程，解方程即可；（3）在（2）的基础上求得AD的长，再利用三角形的面积公式求解即可.
试题解析：
（1）CD=(14-x)
（2）∵ AD 是 BC 边上的高，
∴△ABD 和△ACD 都是直角三角形．
在 Rt△ABD 中，根据勾股定理，AD²=AB²-BD²=15²-x²
在 Rt△ACD 中，根据勾股定理，得AD²=AC²-CD²=13²-（14-x）²
∴15²-x²=13²-（14-x）²
解得：x=9，即BD=9.
（3）AD²=15²-9²=225-81=144，∴AD=12
所以
点睛：本题考查了勾股定理这个知识点，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边为突破点，利用了勾股定理列方程进行解答．
24．(1)如图所示见解析，AQ→QG为最短路线；(2)小虫爬行的最短路程为100 cm.
【分析】
(1)根据轴对称性质,通过作对称点将折线转化成两点之间线段距离最短.
(2)根据AE＝40cm,AA′＝120cm,可得:A′E＝120－40＝80(cm),再根据EG＝60cm,可得:A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,A′G＝100cm,进而可得:AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm.
【详解】
(1)如图所示,AQ→QG为最短路线,
(2)因为AE＝40cm,AA′＝120cm,所以A′E＝120－40＝80(cm),
因为EG＝60cm,所以A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,
所以A′G＝100cm,所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm,
所以小虫爬行的最短路程为100cm.
【点睛】
本题主要对称性质和勾股定理的应用,解决本题的关键是要熟练掌握利用轴对称性质和勾股定理解决实际问题的方法.
相关试卷
初中数学第三章 位置与坐标综合与测试当堂检测题： 这是一份初中数学第三章 位置与坐标综合与测试当堂检测题，共24页。试卷主要包含了下列各点中，在第四象限的是，下列对称轴条数最多的图形是，在平面直角坐标系中，点，在平面直角坐标系中，点A，下列说法正确的是，若点A等内容，欢迎下载使用。
初中数学北师大版八年级上册第六章 数据的分析综合与测试当堂检测题： 这是一份初中数学北师大版八年级上册第六章 数据的分析综合与测试当堂检测题，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初中数学北师大版八年级上册第三章 位置与坐标综合与测试同步练习题： 这是一份初中数学北师大版八年级上册第三章 位置与坐标综合与测试同步练习题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
