北师大版数学 八上 第一章第一提升测试卷B卷

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北师大版数学八上 第一章勾股定理 单元测试提升卷B卷
一．选择题（共30分）
1.已知中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是（   ）
A． B．
C． D．
解：、，
，故是直角三角形；
、，，
，故是直角三角形；
、，
，故不是直角三角形；
、，
，故是直角三角形．
故选：．
2．如图1，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（    ）

A． B． C． D．
解：四边形DEFA是正方形，面积是4；
△ABF，△ACD的面积相等，且都是1×2＝1．
△BCE的面积是：1×1．
则△ABC的面积是：4﹣1﹣1．
在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC．
设AC边上的高线长是x．则AC•xx，
解得：x．
故选：C．

3．如图，是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（    ）

A．8 B．2 C．2 D．4
解：①沿CC1展开，如图所示，

MN＝＝＝2（cm）．
②沿B1C1展开，MN＝＝＝4（cm），

4＜2，
∴最短路线长是4cm，
故选：D．
4．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（    ）（杯壁厚度不计）

A． B． C． D．
解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点，
连接，则即为最短距离，

在直角中，由勾股定理得
．
故选：C．

5.如图，点A是射线外一点，连接，若，点A到的距离为．动点P从点B出发沿射线以的逃速度运动．设运动的时间为t秒，当t为（   ）秒时，为直角三角形．

A． B． C．2或 D．2或
【答案】D
【分析】根据勾股定理，先求出的长，再分情况讨论：当时，当时分别求解即可．
【详解】解：过点作，
点到的距离为，
，
，
根据勾股定理，得，
当时，如图所示：

此时点与点重合，
根据题意，得，
解得；
当时，如图所示：

，，，，
，
根据勾股定理，得，，
，
解得，
或，
故选：D．

6.如图，BH是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，AC＝12，P，D分别是BH和AB上的任意一点，连接PA，PC，PD，CD．给出下列结论：①PA＝PC；②PA+PD≥CD；③PA+PD的最小值是；④若PA平分∠BAC，则△APH的面积为12．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可判定①，根据两点之间线段最短即可判断②，当CD⊥AB时，PA+PD的值最小，求出CD的值即可③，如图：过点P作PT⊥AB于T，再说明△PAT≌△PAH可得AT＝AH＝6、PT＝PH，设PT＝PH＝x，然后运用勾股定理求得x，最后求得△APH的面积即可判定④．
【详解】解：∵BA＝BC，BH是角平分线，
∴BH⊥AC，AH＝CH，
∴PA＝PC，故①正确，
∴PA+PD＝PD+PC≥CD，故②正确，
根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，即C，P，D共线时，PA+PD的值最小，最小值为CD，
在Rt△ABH中，AB＝10，AH＝6，BH＝＝＝8，
∵•AB•CD＝•AC•BH，
∴CD＝＝，
∴PA+PD的最小值为，故③正确，
如图，过点P作PT⊥AB于T．
在△PAT和△PAH中，
，
∴△PAT≌△PAH（AAS），
∴AT＝AH＝6，PT＝PH，
设PT＝PH＝x，
在Rt△PTB中，则有（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴S△APH＝×AH×PH＝×3×6＝9，故④错误，
故选A．


7.如图，在中，点D是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点F，连接．若，则点C到的距离为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，由折叠的性质及中点性质，可得△AEB是直角三角形，且G点是BE的中点，从而CG⊥BE，由勾股定理可求得BE的长，则根据△ABC的面积相等一方面可表示为，另一方面其面积为△BCD与△ACD面积的和，从而可求得CH的长．
【详解】连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，如图所示
由折叠的性质，得：BD=ED，CB=CE
∴CG是线段BE的垂直平分线
∴BG=BE
∵D点是AB的中点
∴BD=AD，
∴AD=ED
∴∠DAE=∠DEA
∵BD=ED
∴ ∠DEB=∠DBE
∵∠DAE+∠BEA+∠DBE=180°
即∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°
∴2∠DEA+2∠DEB=180°
∴∠DEA+∠DEB=90°
即∠AEB=90°
在Rt△AEB中，由勾股定理得：
∴
∵
∴
∴

故选：C．
8.如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．10
答案．A

9．如图，在中，，，点D在AC上，且，点E是AB上的动点，连接DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当时，线段DE的长为（　　）．

A． B．2 C． D．4
答案．B

10．如图，在，，，沿过点A的直线折叠，使点B落在边上的点D处，再次折叠，使点C与点D重合，折痕交于点E，则的长度为（    ）
  
A． B． C． D．
答案．B
二． 填空题（共24分）
11.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是__
【答案】7或25
【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．
【详解】解：直角三角形的两边长分别为3和4，分两种情况：
当3、4都为直角边时，第三边长的平方；
当3为直角边，4为斜边时，第三边长的平方．
故答案为：7或25．
12.平面直角坐标系中有两点和点，则线段的长为___________．
【答案】
【分析】利用两点间距离公式列式计算即可得解．
【详解】解：∵点，，
∴．
故答案为：．
13.如图，折叠长方形的一边使点D落在边的点F处，已知，，则EC的长为_____________．
  
【答案】3
【分析】由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，的长．
【详解】解：设EC的长为，则，
折叠后的图形是，
，，，
，
，
又，
在中，根据勾股定理，得，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得：，
，
即，
化简，得，
．
即EC的长为，
故答案为：3．

14.如图，七个正方形如此排列，相邻两个正方形都有公共顶点，数字字母代表各自正方形面积．则_______．

解：如图，

∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵，
∴，
即，
同理．
则．
故答案为：4．
15．已知任意直角三角形的两直角边a，b和斜边c之间存在关系式：a2+b2=c2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，BD=3，CD=4，以AD为一边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若点M是DE上一个动点，则线段CM长的最小值为_________．

解：连接CE，过点C作于点H，如下图，

∵，即，
∴，
∵AB=AC，AD=AE，
∴，
∴，，
∵∠BAC=90°，
∴，
∴，即，
∴在中，，
∵，
∴，即，
解得，
∵点M是DE上一个动点，则当，即M、H重合时，线段CM的长取最小值，
此时．
故答案为：．

16.把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=2，则CD=______．
【答案】6−2
解：如图， 过点 A 作 AF⊥BC 于 F ，
在 Rt△ABC 中， ∠B=45° ，
∴BC=2AB=22 ， BF=AF=22AB=2 ，
∵ 两个同样大小的含 45° 角的三角尺，
∴AD=BC=22 ，
在 Rt△ADF 中，根据勾股定理得， DF=AD2−AF2=6 ，
∴CD=BF+DF−BC=2+6−22=6−2 ，
故答案为： 6−2 ．   
三。解答题（共46分）
17.（8分）请选择一个图形来证明勾股定理．（可以自己选用其他图形进行证明）
  
【答案】证明见解析
【分析】主要运用组合图形面积法，结合完全平方公式求证．
【详解】选用第一个图形求证
证明：∵外部是四个全等的直角三角形，
∴中间的四边形为正方形，正方形的面积，
另，正方形的面积
∴；
第二个图形求证
证明：图中由两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形组成一个直角梯形，
等腰直角三角形面积，
另，等腰直角三角形面积
∴
∴
第三个图形求证
证明：图中由四个全等的直角三角形、一个小正方形组成一个大正方形，
中间的小正方形面积
另，小正方形面积
∴
化简，得
18.（8分）如图，在中，，以B为圆心，为半径画弧，交线段于点，以A为圆心，为半径画弧，交线段于点．
  
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)9cm

【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出，计算即可；
（2）根据线段的和差关系分别用表示出，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：，
．
，
．
；
（2）解：，
，
，
由勾股定理得：，即，
解得：cm．
19.（10分）如图，中，EF垂直平分对角线AC，分别与边AD，BC交于点F，E．

(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)若，且 ，求菱形AECF的周长．
（1）证明：∵垂直平分对角线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）在中，，且，
∴．
∵四边形为菱形，
∴．
在中，，
∴设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的周长为8．

20.（10分）【问题提出】如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．

【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到），把、、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线的取值范围是________．
【应用】如图②，在中，为边的中点，已知，，，求的长．
【拓展】如图③，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连接．已知，，直接写出的长．
【答案】问题解决：；应用：；拓展：
【分析】问题解决：证明得，再根据三角形三边关系求得的取值范围，进而得结论；
应用：延长到，使得，连接，证明得，再证明，由勾股定理求得，进而得；
拓展：延长到，使得，连接，，证明，得，，再证明，由勾股定理求得，由线段垂直平分线性质得．
【详解】解：问题解决：如图所示，延长到点，使，再连接，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：；

应用：如图所示，延长到，使得，连接，

∵是的中点，
∴，
在和中，
，
，
，
，，
∴，
，
，
；
拓展：如图所示，延长到，使得，连接，，

，
，，，
，
，
，
，
，即，
，
，
故答案为：．
21.（10分）认识新知：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知OB＝OD，AB＝AD，判断：四边形ABCD____垂美四边形（填“是”或“否”）；
(2)性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．
①若OA＝1，OB＝5，OC＝7，OD＝2，则AB2+CD2＝____；AD2+BC2＝____．
②猜想AB、BC、CD、AD这四条边的数量关系，并给出证明．
(3)解决问题：如图3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG＝4，AB⊥AE且AE＝AB＝5，连结CE、BG、GE，则GE＝____．
（1）解：结论：四边形ABCD是垂美四边形．
理由：如图，连接AC和BD，

∵AD＝AB，
∴A在BD的垂直平分线上，
∵CD＝CB，
∴C在BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD，
∴四边形ABCD为垂美四边形；
故答案为：是；
（2）①解：∵AC⊥BD，
∴＝1+25+49+4＝79，
＝1+25+49+4＝79，
故答案为：79，79；
②结论：．
理由：∵，
∴，
，
∴；
（3）如图，设AC与BG的交点为N，AB与CE的交点为M，

∵，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∵，
∴，
由（2）得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．