北师大版八年级上册数学第一章勾股定理（B卷）含解析答案

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第一章 勾股定理（B卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．下列四组数中，是勾股数的是（    ）
A．0.3，0.4，0.5 B．，，
C．，， D．30，40，50
2．下面四组数，其中是勾股数组的是（    ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
3．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．，， B．4，5，6 C．1.8，2.4，3 D．32，42，52
4．如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是(　　)

A．点A、点B、点C B．点A、点D、点G
C．点B、点E、点F D．点B、点G、点E
5．如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（    ）

A．121 B．144 C．169 D．196
6．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2021次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ）

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
7．如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（    ）

A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm2
8．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB=5cm，BC=13cm，BD是AC边上的中线，则△BAD的面积是（　　）

A． B． C． D．
9．如图，若圆柱的底面周长是50cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是（    ）

A．170cm B．70cm C．145cm D．130cm
10．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得．若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也恰好外移，则梯子的长度为（ ）．

A．2.5 B．3 C．1.5 D．3.5

评卷人
得分



二、填空题
11．一个直角三角形的两直角边长分别为2，4，则斜边长为 ．
12．如图，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，，则的长为 ．

13．在如图所示的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上，则点C到AB的距离为 ．

14．分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10，（2）5、12、13，（3）8、15、17，（4）4、5、6，其中能构成直角三角形的有 ．（填序号）
15．如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米．

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为 ．


评卷人
得分



三、解答题
17．（1）如图，在的网格中，请你画出一个格点正方形，使它的面积是10．

（2）如图，、是的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以、、为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点的位置．

18．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B=90°，
AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？

19．绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在△ABC中，，E是AC上的一点，，，．

(1)判断△ABE的形状，并说明理由．
(2)求线段AB的长．
20．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD=3，DA＝1，且AB⊥BC于B．
求：（1）∠BAD的度数；
（2）四边形ABCD的面积．

21．如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交于点E．AB＝6cm，BC＝8cm．

(1)求证AE＝EC；
(2)求阴影部分的面积．
22．观察、思考与验证
(1)如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ．
(2)如图2所示，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE=90°．
(3)伽菲尔德(1881年任美国第20届总统)利用(1)中的公式和图2证明了勾股定理(发表在1876年4月1日的<新英格兰教育日志》上)，请你写出验证过程．

23．如图1，中，，，，点D为斜边上动点．
（1）如图2，过点D作交CB于点E，连接AE，当AE平分时，求CE；
（2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若为等腰三角形，直接写出AD的值．

24．已知：在中，，，点D在直线AB上，连接CD，在CD 的右侧作，．

(1)如图1，①点D在AB边上，线段BE和线段AD数量关系是______，位置关系是______；
②直接写出线段AD，BD，DE之间的数量关系______．
(2)如图2，点D在B右侧．AD，BD，DE之间的数量关系是______，若，．直接写出DE的长______．
(3)拓展延伸
如图3，，，，，求出线段EC的长．

参考答案：
1．D
【分析】构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，根据勾股数的定义可得答案.
【详解】解：A选项中的三个数不满足是正整数，不是勾股数，故A不符合题意；
B选项中的三个数满足是正整数，
但是
而 所以，，不是勾股数，故B不符合题意；
C选项中的三个数不满足是正整数，不是勾股数，故C不符合题意；
D选项中的三个数满足是正整数，
且
所以30，40，50是勾股数，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是勾股数的定义，掌握“构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数”是解题的关键.
2．A
【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足的三个数，称为勾股数．由此判定即可．
【详解】解：A、，能构成勾股数，故正确；
B、0.3，0.4，0.5，不是正整数，所以不是勾股数，故错误；
C、，不能构成勾股数，故错误；
D、，不能构成勾股数，故错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，熟记常用的勾股数．
3．C
【分析】运用勾股定理逆定理验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断直角三角形．
【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D、，不能组成三角形，更不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理，理解题意，熟练掌握运用勾股定理逆定理是解题关键．
4．C
【分析】先利用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理的逆定理：如果三边满足，则可组成直角三角形进行判断即可．
【详解】A．AB2=1+36=37，AC2=16+25=41，BC2=1+9=10，37+10≠41，不可以构成直角三角形；
B．AD2=16+16=32，AG2=9+36=45，DG2=1+4=5，32+5≠45，不可以构成直角三角形；
C．BE2=36+16=52，BF2=25+25=50，EF2=1+1=2，50+2=52，可以构成直角三角形
D．BG2=25+9=34，BE2=36+16=52，GE2=9+1=10，34+10≠52，不可以构成直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
5．C
【分析】直角三角形较短的直角边长是5厘米，即a=5厘米；小正方形的边长是7厘米，则较长直角边为b=5+7=12厘米，最后再根据勾股定理解答即可.
【详解】解：∵直角三角形较短的直角边长是5厘米，即a=5厘米
∴直角三角形较长的直角边长是5+7=12厘米，即b=12厘米
∴c2=52+122=169.
故答案为：C.
【点睛】本题考查了直角三角形的勾股定理，确定直角三角形较长直角边的长度是解答本题的关键.
6．D
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1=2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1=3，推而广之即可求出“生长”2021次后形成图形中所有正方形的面积之和．
【详解】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2=c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1．
同理：正方形D的面积+正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积
=正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1．

推而广之，“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022×1=2022．
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．
7．D
【分析】首先连接BD，再利用勾股定理计算出BD的长，再根据勾股定理逆定理计算出∠D=90°，然后计算出直角三角形ABD和直角三角形BDC的面积，即可算出答案．
【详解】解：如图，连接BD，

∵∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm，
∴BD==5（cm），
∵BC=13cm，CD=12cm，52+122=132，
∴BD2+CD2=CB2，
∴∠BDC=90°，
∴S△DBC=×DB×CD=×5×12=30（cm2），
S△ABD=×3×4=6（cm2），
∴四边形ABCD的面积为30+6=36（cm2），
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解决此题的关键是算出BD的长，证明△BDC是直角三角形．
8．A
【分析】根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】由勾股定理得，，
∵BD是AC边上的中线，
∴AD=6，
∴△BAD的面积=×5×6=15（cm2），
故选A．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
9．D
【分析】将圆柱侧面展开可得到长为120cm，宽为圆柱的底面周长50cm的矩形，根据勾股定理即可求出AB的长，即为所求．
【详解】解：如图，圆柱侧面展开图是矩形，连接AB，根据两点之间线段最短，可得丝线的最小长度为AB的长度，

由题意，矩形的长为120cm，宽为圆柱的底面周长50cm，
根据勾股定理得：AB＝＝130（cm），
故选：D．
【点睛】本题考查圆柱的展开图、最短路径问题、勾股定理，理解题意，熟练运用两点之间线段最短解决最短路径问题是解答的关键．
10．A
【分析】设，利用勾股定理用x表示出和的长，进而求出x的值，即可求出的长度．
【详解】解：设，依题意，得，，．
在中，根据勾股定理得
，
在中，根据勾股定理
，
，
解得，
，
答：梯子的长为．
故选．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到为梯子长等量关系是解题的关键．
11．
【分析】利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：由勾股定理得，斜边的长为：，
故答案为．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．
12．12
【分析】由翻折的性质可知，最后在Rt△BCE中由勾股定理求得BC的长即可．
【详解】解：∵，
∴，
在Rt△BCE中，
，,
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用翻折的性质是解题的关键．
13．
【分析】设点C到AB的距离为h，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：设点C到AB的距离为h，
∵AB＝＝5，
∴S△ABC＝×2×4＝×5×h，
∴h＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．（1）（2）（3）
【分析】只需计算两短边的平方和是否等于最长边的平方，即可得出答案．
【详解】解：（1）62+82＝102，可以构成直角三角形；
（2）52+122＝132，能构成直角三角形；
（3）82+152＝172，能构成直角三角形；
（4）52+42≠62．不能构成直角三角形；
故答案为：（1）（2）（3）．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，熟记勾股定理的逆定理，正确计算是解题的关键．
15．8
【分析】在图中标出字母，由题意得到米，米，，运用勾股定理AB，最后利用来求解．
【详解】解：如下图．

由题意得：米，米，，
∴折断的部分AB的长为：（米），
∴折断前高度为（米）．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，培养学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
16．5或8或
【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
【详解】在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4（cm）；

①当AB＝BP时，如图1，t＝5；
②当AB＝AP时，如图2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；
③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以，
解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．
故答案为：5或t＝8或t＝．
【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
17．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）先根据勾股定理作出四条边长为的四边形即可；
（2）分①AC=BC，②AB=BC，③AC=AB三种情况分别找出符合条件的点即可．
【详解】解：（1）∵12+32=10
∴如图所示：作出4条边长为即为所求：

（2）如图2所示：
①AC=BC，有C1、C2满足题意；
②AB=BC，有C3、C4、C5满足题意；
③AC=AB，有C1,C2满足题意；

综上，共有7个点满足题意．
【点睛】本题主要考查了正方形、勾股定理、等腰三角形性质的应用，较好动手操作能力和灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键．
18．面积等于36
【详解】试题分析：利用勾股定理求AC,再利用勾股定理逆定理求∠ACB=90°，分别求的面积.
试题解析：
∠B=90°，AB＝3，BC＝4,AC=
=169,
所以∠ACD=90°,
.
所以面积是36.
19．(1)是直角三角形，理由见解析
(2)

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，从而可得，由此即可得出结论；
（2）设，则，在中，利用勾股定理即可得．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴是直角三角形．
（2）解：设，
∵，，
∴，
在中，，即，
解得，
即．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键．
20．（1）135°；（2）
【分析】（1）连接AC，由题意知∠B＝90°，AB＝BC＝2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC＝45°，而CD＝3，DA＝1，易得AC2+DA2＝CD2，可证△ACD是直角三角形，∠CAD＝90°，从而易求∠BAD的度数；
（2）由三角形的面积公式即可得出结果．
【详解】解：（1）如图所示，连接AC，

∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝＝2，∠BAC＝45°，
又∵CD＝3，DA＝1，
∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，
∴AC2+DA2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝45°+90°＝135°；
（2）S四边形ABCD＝S△ABC +S△ACD＝×2×2+×1×2＝2+．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形．
21．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）先根据折叠的性质可得，再根据矩形的性质、平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）设，从而可得，先在中，利用勾股定理可得的值，再利用三角形的面积公式即可得．
【详解】（1）证明：由折叠的性质得：，
四边形是长方形，
，
，
，
．
（2）解：四边形是长方形，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
即，
则阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．
22．（1）（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）由大正方形面积的两种计算方法即可得出结果；
（2）由全等三角形的性质得出∠BAC=∠DCE，再由角的互余关系得出∠ACB+∠DCE=90°，即可得出结论；
（3）先证明四边形ABDE是梯形，由四边形ABDE的面积的两种计算方法即可得出结论．
【详解】解：（1）这个公式是完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2；理由如下：
∵大正方形的边长为a+b，
∴大正方形的面积=（a+b）2，
又∵大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个矩形的面积=a2+b2+ab+ab=a2+2ab+b2，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2；
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）证明：如图，在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，
∴∠ACE=90°；
（3）证明：∵∠B=∠D=90°，
∴∠B+∠D=180°，
∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形，
∴四边形ABDE的面积=（a+b）（a+b）=ab+c2+ab，
整理得：a2+b2=c2．
【点睛】本题考查了完全平方公式、全等三角形的性质、正方形面积的计算、梯形面积的计算方法；熟练掌握完全平方公式和四边形面积的计算方法是解决问题的关键．
23．（1）7.5；（2）15或12.5或18
【分析】（1）由△ACE≌△ADE（AAS），推出CE=DE，AC=AD=15，设CE=x，则BE=20-x，BD=25-15=10，在Rt△BED中根据勾股定理即可解决问题；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题；
【详解】解：（1）∵AC⊥CB，AC=15，AB=25
∴BC=20，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAC=∠EAD，
∵AC⊥CB，DE⊥AB，
∴∠EDA=∠ECA=90°，
∵AE=AE，
∴△ACE≌△ADE（AAS），
∴CE=DE，AC=AD=15，
设CE=x，则BE=20-x，BD=25-15=10
在Rt△BED中
∴x2+102=（20-x）2，
∴x=7.5，
∴CE=7.5．
（2）①当AD=AC时，△ACD为等腰三角形
∵AC=15，
∴AD=AC=15．
②当CD=AD时，△ACD为等腰三角形
∵CD=AD，
∴∠DCA=∠CAD，
∵∠CAB+∠B=90°，
∠DCA+∠BCD=90°，
∴∠B=∠BCD，
∴BD=CD，
∴CD=BD=DA=12.5，
③当CD=AC时，△ACD为等腰三角形，
如图1中，作CH⊥BA于点H，

则AB•CH=AC•BC，
∵AC=15，BC=20，AB=25，
∴CH=12，
在Rt△ACH中，AH==9，
∵CD=AC，CH⊥BA，
∴DH=HA=9，
∴AD=18．
综上所述：AD的值为15或12.5或18．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
24．(1)①BE＝AD，BE⊥AD；②
(2)，
(3)

【分析】（1）①证△ACD≌△BCE（SAS），得AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，则∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，即可得出BE⊥AD；
②由①得AD＝BE，∠ABE＝90°，在Rt△BDE中，由勾股定理得BE2+BD2＝DE2，即可得出结论；
（2）连接BE，证△ACD≌△BCE（SAS），得∠A＝∠CBE＝45°，则∠DBE＝90°，再由勾股定理得，则，进而求解即可；
（3）过C作CA⊥CB交DB于A，证△ACD≌△BCE（ASA），得AD＝BE＝1，AC＝BC，则AB＝BC＝2，再由勾股定理求出DE的长，即可求解．
（1）
解：①∵∠ACB＝90°，BC＝AC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵CE⊥CD，
∴∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴BE⊥AD，
故答案为：BE＝AD，BE⊥AD；
②由①得：AD＝BE，∠ABE＝90°，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：AD2+BD2＝DE2；
（2）
解：如图2，连接BE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：，
∴，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝AC＝4，
∴AD＝AB+BD＝4+1＝5，
∴DE＝＝＝，
故答案为：，；

（3）
解：过C作CA⊥CB交DB于A，设BD与CE相交于点O，如图3所示：
则∠ACB＝90°＝∠DCE，
∴∠DCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE，
即∠ACD＝∠BCE，
∵∠DCO＝∠EBO＝90°，∠DOC＝∠EOB，
∴∠CDA＝∠CEB，
又∵CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴AD＝BE＝1，AC＝BC
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC＝，
∴AB＝=BC＝2，
∴BD＝AB+AD＝3，
∵∠DBE＝90°，
∴DE＝＝＝，
∴EC＝DE＝．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、等角的余角相等等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，运用类比方法解答是解题的关键．