初中数学青岛版八年级上册2.6 等腰三角形精练

这是一份初中数学青岛版八年级上册2.6 等腰三角形精练，共14页。试卷主要包含了下列说法中，说法正确的个数有等内容，欢迎下载使用。

1．一个等腰三角形的两边长分别是2、4，那么它的周长是（ ）
A．10B．8C．10或8D．不能确定
2．已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则其它两边的长度分别是（ ）
A．6和8B．7和7C．6和8或7和7D．3和11
3．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF是等腰三角形，则∠BDC＝（ ）
A．45°B．60°C．67.5°D．75°
4．下列说法中，说法正确的个数有（ ）
①有两个角相等的三角形是等腰三角形；
②等腰三角形的两底角相等；
③钝角三角形不可能是等腰三角形；
④有一高与一中线重合的三角形是等腰三角形；
⑤在三角形中，相等的边所对的角也相等
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点，若∠CAE＝16°，则∠B的大小为（ ）
A．32°B．36°C．37°D．74°
6．如图正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，则满足条件的格点C有（ ）
A．0个B．2个C．4个D．8个
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，下列结论错误的是（ ）
A．BD是AC边上的中线 B．BD是∠ABC的平分线
C．图中共有3个等腰三角形 D．∠DBC＝36°
8．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
9．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．不等边三角形D．不能确定形状
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（ ）
①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二．填空题（共7小题，满分35分）
11．已知等腰三角形的一个角是80°，那么这个三角形的一个底角是 ．
12．用一条长18cm的细绳围成一个等腰三角形，若有一边长是8cm，则所围成等腰三角形的底边长为 cm．
13．一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝80°，则∠1+∠2＝ ．
14．如图，已知等边三角形ABC的高为7cm，P为△ABC内一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．则PD+PE+PF＝ ．
15．如图所示是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC和△A1B1C1，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板A1B1C1的斜边A1B1上，当∠A＝30°，AC＝10时，两直角顶点C，C1的距离是 ．
16．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn+1的边长为 ．
17．如图，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
三．解答题（共4小题，满分35分）
18．如图，△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C，AD是底边BC上的高，DE∥AB交AC于点E．试说明△ADE是等腰三角形．
19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB交BC于E，交AC于F，∠CDE＝∠ACB＝30°．
（1）求证：△FCD是等腰三角形；
（2）若BC＝DE，求∠CAD的度数．
20．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：FH∥BD．
21．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．解：2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长＝2+4+4＝10．
故选：A．
2．解：当腰为6时，另一腰也为6，则底为20﹣2×6＝8，
∵6+6＝12＞8，
∴三边能构成三角形．
当底为6时，腰为（20﹣6）÷2＝7，
∵7+7＞6，
∴三边能构成三角形．
故选：C．
3．解：由翻折可知：△BED≌△BCD，
∴∠EBD＝∠CBD，∠E＝∠C＝90°
∵△EDF是等腰三角形，
∴∠EFD＝∠AFB＝∠ABF＝45°，
∴∠CBF＝45°，
∴∠CBD＝∠CBE＝22.5°，
∴∠BDC＝67.5°，
故选：C．
4．解：①有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确．
②等腰三角形的两底角相等，正确；
③钝角三角形不可能是等腰三角形，错误；
④有一高与一中线重合的三角形是等腰三角形，正确；
⑤在三角形中，相等的边所对的角也相等，正确．
故选：D．
5．解：∵AD＝AC，点E是CD中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠CAE＝74°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠C＝74°，
∵AD＝BD，
∴2∠B＝∠ADC＝74°，
∴∠B＝37°，
故选：C．
6．解：如图所示：因为△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，
所以满足条件的格点C有4个，
故选：C．
7．解：A、无法得出CD＝AD，错误；
B、∵DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝36°，
∴BD是∠ABC的平分线，正确；
C、图中共有△ABD，△BDC，△ABC3个等腰三角形，正确；
D、∵DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝36°，正确；
故选：A．
8．解：在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠1＝∠CBE，
∵∠2＝∠1+∠ABE，
∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．
故选：D．
9．解：∵△ABC为等边三角形
∴AB＝AC
∵∠1＝∠2，BE＝CD
∴△ABE≌△ACD
∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD＝60°
∴△ADE是等边三角形．
故选：B．
10．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，
∵∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；
∴CD＝BD，
∵AD＝CD，
∴CD＝AB；故②正确；
∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；
∵若∠E＝30°，
∴∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∵∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，
∴CF＝DF，
∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．
故选：B．
二．填空题（共7小题，满分35分）
11．解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，
①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°；
②当这个角80°是顶角，
设等腰三角形的底角是x°，
则2x+80°＝180°，
解得x＝50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°．
故答案为：80°或50°．
12．解：①当8cm为底边时，
设腰长为xcm，
则2x+8＝18，
解得：x＝5，
5，5，8能构成三角形，此时底边为8cm；
②当8cm为腰长时，
设底边长为ycm，
则y+8×2＝18，
解得：y＝2，
8，8，2能构成三角形，此时底边为2cm
故答案为2或8．
13．解：如图，由等边三角形和直角三角形可得∠1+α＝120°，∠2+β＝90°，
∴∠1+∠2+α+β＝90°+120°＝210°，
且∠3＝α+β，
∴α+β＝80°，
∴∠1+∠2＝210°﹣80°＝130°，
故答案为：130°．
14．解：连接PA、PB、PC，作AB边上的高CG，如图所示：
∵S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，
∴AB•PD+BC•PF+AC•PE＝AB•CG，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴AB（PE+PF+PD）＝AB•CG，
∴PE+PD+PF＝CG＝7cm
故答案为：7cm；
15．解：如图，连接CC1，
∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，
∴M是AC、A1C1的中点，AC＝A1C1，
∴CM＝A1M＝C1M＝AC＝5，
∵∠A＝30°，
∴∠A1＝∠A1CM＝30°，
∴∠CMC1＝60°，
∴△CMC1为等边三角形，
∴CC1＝CM＝5，
∴CC1长为5．
故答案为5．
16．解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：△AnBnAn+1的边长为 2n﹣1．
故答案是：2n﹣1．
17．证明：连接BD，
∵在等边△ABC，且D是AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E，
∵∠ACB＝∠CDE+∠E，
∴∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形，
又∵DM⊥BC，
∴M是BE的中点．
三．解答题（共4小题，满分35分）
18．证明：∵在△ABC中，∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴AE＝ED，
∴△ADE是等腰三角形．
19．（1）证明：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°
∵AB∥DE，
∴∠EFC＝∠BAC＝60°，
∵∠CDE＝30°，
∴∠FCD＝∠EFC﹣∠CDE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴FD＝FC，
即△FCD为等腰三角形；
（2）解：∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠B，
在△DCE和△CAB中，，
∴△DCE≌△CAB，（ASA），
∴CA＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝＝75°．
20．证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，
∴在△BCE和△ACD中，
∵，
∴△BCE≌△ACD （SAS）．
（2）由（1）知△BCE≌△ACD，
则∠CBF＝∠CAH，BC＝AC
又∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，
∴∠ACH＝180°﹣∠ACB﹣∠HCD＝60°＝∠BCF，
在△BCF和△ACH中，
∵，
∴△BCF≌△ACH （ASA），
∴CF＝CH，
又∵∠FCH＝60°，
∴△CHF为等边三角形
∴∠FHC＝∠HCD＝60°，
∴FH∥BD．
21．解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，
x×1+12＝2x，
解得：x＝12；
（2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t＝12﹣2t，
解得t＝4，
∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，
y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．