2021学年2.5 等腰三角形的轴对称性课时训练

这是一份2021学年2.5 等腰三角形的轴对称性课时训练，共16页。试卷主要包含了如图，已知等内容，欢迎下载使用。
1．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠CB．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60°D．AB＝AC，且∠B＝∠C
2．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（ ）
A．3B．4C．5D．9
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AB＝2BDC．∠1＝∠2D．AD⊥BC
4．已知等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为（ ）
A．2B．3C．2或3D．不能确定
5．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．7或8B．6或10C．6或7D．7或10
6．如图，已知等边△ABC的周长是12，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF的值是（ ）
A．12B．8C．4D．3
7．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC的最大值为（ ）
A．40B．28C．20D．10
8．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．6B．12C．16D．32
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．35°
10．如果等腰三角形有一个内角为70°，则其底角的度数是（ ）
A．55°B．70°C．55°或70°D．不确定
二．填空题（共5小题，满分20分）
11．已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为 ．
12．等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为 ．
13．已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为 三角形．
14．如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B＝30°，点P是BA延长线上一点，点
O是线段AD上一点且OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP．其中正确的为 ．（填序号）
15．如图，△ABC为正三角形，BD是角平分线，点F在线段BD上移动，直线CF与AB交于点E，连接AF，当AE＝AF时，∠BCE＝ 度．
三．解答题（共8小题，满分70分）
16．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，求∠BAC的度数．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．
19．已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC，求证：AB＝AC．
20．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE＝BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F求证：
（1）EF⊥AB；
（2）DE＝2DF．
21．已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：BE+CF＝EF．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
23．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形AMN？
（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．解：∵ED∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠GCB，
∵∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠GCB，
∴∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC，
∴BD＝DF，CE＝GE，
∵FG＝2，ED＝6，
∴DB+EC＝DF+GE＝ED﹣FG＝6﹣2＝4，
故选：B．
3．解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，
∴∠B＝∠C（故A正确）
∠1＝∠2（故C正确）
AD⊥BC（故D正确）
无法得到AB＝2BD，（故B不正确）．
故选：B．
4．解：当腰长为2时，底边长为8﹣2×2＝4，三角形的三边长为2，2，4，不能构成三角形；
当底边长为2时，腰长为（8﹣2）÷2＝3，三角形的三边长为3，3，2，能构成三角形；
所以等腰三角形的腰长为3．
故选：B．
5．解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0，
∴
解得：，
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7．
故选：A．
6．解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，
则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，
四边形PGBD，EPHC是平行四边形，
∴PG＝BD，PE＝HC，
又△ABC是等边三角形，
又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形，
∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，
又△ABC的周长为12，
∴PD+PE+PF＝DH+HC+BD＝BC＝×12＝4，
故选：C．
7．解：如图：延长AB，CD交于点E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
在△ADE和△ADC中，，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴AC＝AE，DE＝CD；
∵AC﹣AB＝4，
∴AE﹣AB＝4，即BE＝4；
∵DE＝DC，
∴S△BDC＝S△BEC，
∴当BE⊥BC时，S△BDC最大，
即S△BDC最大＝××10×4＝10．
故选：D．
8．解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝，
∴A2B1＝，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝2，
A4B4＝8B1A2＝4，
A5B5＝16B1A2＝8，
…
∴△AnBnAn+1的边长为×2n﹣1，
∴△A6B6A7的边长为×26﹣1＝×25＝16．
故选：C．
9．解：∵AB＝AC，且∠A＝30°，
∴∠ACB＝75°，
在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°，
∴∠AED＝145°﹣30°＝115°，
∵a∥b，
∴∠AED＝∠2+∠ACB，
∴∠2＝115°﹣75°＝40°，
故选：A．
10．解：∵等腰三角形的一个内角为70°，
若这个角为顶角，则底角为：（180°﹣70°）÷2＝55°；
若这个角为底角，则另一个底角也为70°，
∴其一个底角的度数是55°或70°．
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分20分）
11．解：如图，有三种情形：
①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．
②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．
③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，
故答案为70°或40°或20°
12．解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长＝8+8+4＝20．
故答案是：20．
13．解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|x﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意，舍去，
∴a＝2，
∴a＝b＝2，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰．
14．解：①连接OB，如图1，
∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，
∴AB＝AC，BD＝CD，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，
∵∠ABC＝∠ABO+∠DBO＝30°，
∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正确；
②△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，
△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，
∴∠POC＝2∠ABD＝60°，
∵PO＝OC，
∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③如图2，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP；
故③正确；
④如图3，作CH⊥BP，
∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°，
∴∠PCH＝∠OCD，
在△CDO和△CHP中，
，
∴△CDO≌△CHP（AAS），
∴S△OCD＝S△CHP
∴CH＝CD，
∵CD＝BD，
∴BD＝CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），
∴S△ABD＝S△AHC，
∵四边形OAPC面积＝S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC＝S△AOC+S△ABD+S△OCD
∴四边形OAPC面积＝S△ABC．故④正确．
故答案为：①②③④．
15．解：∵△ABC为正三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC＝60°，BD⊥AC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，AB＝BC，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BAF＝∠BCF，
设∠BAF＝∠BCF＝α，
∴∠AEF＝60°+α，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°+α，
∴60°+α+60°+α+α＝180°，
∴α＝20°，
∴∠BCE＝20°，
故答案为：20．
三．解答题（共8小题，满分70分）
16．解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．
17．解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∵∠ADC＝130°，
∴∠CDE＝50°，
∴∠DCE＝90°﹣∠CDE＝40°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCE＝80°．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝20．
18．解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠ABF+∠AFB＝∠CBF+∠BED＝90°，
∴∠AFB＝∠BED，
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF．
19．证明：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C．
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC．
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
20．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AC，
∵CE＝BC，
∴CD＝CE，
∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即EF⊥AB；
（2）连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABD＝ABC＝30°，
∵∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DE＝BD，
∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2DF，
即DE＝2DF．
21．证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴DE＝BE，
同理CF＝DF，
∴EF＝DE+DF＝BE+CF，
即BE+CF＝EF．
22．（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE．
23．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+10＝2x，
解得：x＝10；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，
∵△AMN是等边三角形，
∴t＝10﹣2t，
解得t＝，
∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，
y﹣10＝30﹣2y，
解得：y＝．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒．