北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试一课一练

2021-2022北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步能力达标测评（附答案）

一．选择题（共10小题，共计30分）

1．一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，则斜边长为（　　）

A．15 B．13 C．12 D．10

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝3，S2＝10，则S3＝（　　）

A．5 B．7 C．13 D．15

3．下面四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）

A．2，3，4 B．4，5，6 C．3，4，6 D．6，8，10

4．直角三角形的边长分别为a，b，c，若a2＝9，b2＝16，那么c2是（　　）

A．25 B．49 C．25或49 D．25或7

5．图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝⋯＝A7A8＝1，那么OA82的为（　　）

A．10 B．16 C．9 D．8

6．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．2.4

7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB+BC＝8，AC＝4，则△ABC的面积为（　　）

A．6 B．7.5 C．10 D．12

8．下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）

A．a：b：c＝5：4：3 B．∠B﹣∠C＝∠A 

C．∠A：∠B：∠C＝6：8：10 D．a2＝（b+c）（b﹣c）

9．下列各组数中，不是勾股数的是（　　）

A．3，4，5 B．30，40，50 C．7，14，15 D．5，12，13

10．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（　　）

A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺

二．填空题（共9小题，共计27分）

11．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝4，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为　            　．

12．如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离C处5米的绿地旁边B处有健身器材，为提醒居住在A处的居民爱护绿地，不直接穿过绿地从A到B，而是沿小道从A→C→B．小丽想在A处树立一个标牌“沿路多走■米，共建美丽家园”请问：小丽在标牌■填上的数字是 　 　．

13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则CD的长是 　              　．

14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝15cm，则a＝　 　cm．

15．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为 　                　．

16．如图，一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为4，7，2，3，则最大的正方形E的面积是 　   　．

17．直角三角形的两条直角边边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为　                 　         

18．三角形的三边长分别为6、8、10，则最长边上的高为　                　．

19．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 　   　m．

三．解答题（共8小题，共计57分）

20．在野外平地上，小李和小王同时出发，小李以每秒4米的速度从点C向正东方向移动到点B，小王以每秒3米的速度从点C向正南方向移动到点A，10秒后，两人相隔多远？

21．如右图，一块四边形花圃ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m．

（1）连接AC，判断△ACD的形状，并说明理由；

（2）求四边形花圃ABCD的面积．

22．如图，某学校在美丽化校园施工过程中留下了一块空地，欲在空地上铺草坪，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？

23．如图，一架云梯AB长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面24m．

（1）这个梯子底端B离墙有多少米？

（2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长．

24．如图，矩形ABCD是一个底部直径BC为12cm的杯子的示意图，在它的正中间竖直放一根筷子EG，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端E不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子EG的长度．

25．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个记号，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面处，发现此时绳子底端距离记号处1米，则旗杆的高度是多少米？

26．拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．

（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？

（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？

27．仔细阅读，解答下列问题

如图，圆柱形容器的高为1.2米，底面周长为1米，在容器内壁离容器底部0.3米的点B处有一只蚊子，此处一只壁虎正好在容器外壁离容器上沿0.3米与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉到蚊子的最短路程是多少？（容器厚度忽略不计）．

参考答案

一．选择题（共10小题，共计30分）

1．解：∵直角三角形的两条直角边分别是5和12，

∴斜边长为13，

故选：B．

2．解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，

∴AC2＝10﹣3＝7，

∴S3＝7，

故选：B．

3．解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

B、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

C、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

D、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意．

故选：D．

4．解：当b为直角边时，c2＝a2+b2＝25，

当b为斜边时，c2＝b2﹣a2＝7，

综上所述，c的值是25或7，

故选：D．

5．解：∵OA1＝1，

∴由勾股定理可得OA22＝2，

OA32＝3，

…，

∴OAn2＝n，

∴OA82＝8．

故选：D．

6．解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，

∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝5，

∵，

∴，

解得CD＝2.4，

故选：D．

7．解：设BC＝x，

∵AB+BC＝8，

∴AB＝8﹣x，

在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∴AB2＝BC2+AC2，

∴x2+42＝（8﹣x）2，

∴x＝3，

∴BC＝3，

∴S＝＝＝6，

即△ABC的面积为6，

故选：A．

8．解：A、12+（）2＝（）2，能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；

B、∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝90°，能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；

C、∠A：∠B：∠C＝6：8：10，∠C＝，不能判断△ABC是直角三角形，符合题意；

D、a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；

故选：C．

9．解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项不符合题意；

B、302+402＝502，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；

C、72+142≠152，不是勾股数，此选项符合题意；

D、52+122＝132，是正整数，故是勾股数，此选项不符合题意．

故选：C．

10．解：设水池的深度为x尺，由题意得：

x2+82＝（x+2）2，

解得：x＝15，

所以x+2＝17．

即：这个芦苇的高度是17尺．

故选：C．

二．填空题（共9小题，共计27分）

11．解：由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，

∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×4＝2，

∴4×ab+（a﹣b）2＝16，

∴（a﹣b）2＝16﹣8＝8，

故答案为：8．

12．解：在Rt△ABC中，AB为斜边，

∴AB＝13米，

少走的距离为

AC+BC﹣AB＝（12+5）﹣13（米）＝4米

答：小明在标牌■填上的数字是4．

故答案为：4．

13．解：如图，过D作DE⊥AB于E，

在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，

∴BC＝4，

∵AD平分∠BAC，

∴DE＝DC，

∵S△ABC＝AC•BC＝AC•CD+AB•DE，即×3×4＝×3CD+×5CD，

解得CD＝，

故答案为．

14．解：设a＝3x，则b＝4x．

∵Rt△ABC中，a2+b2＝c2，

∴（3x）2+（4x）2＝152，

解得：x＝±3（负值舍去），

则a＝3x＝9（cm）．

故答案为：9．

15．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，

由勾股定理得：BC＝8cm，

∵△ABP为等腰三角形，

当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；

当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；

当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x，则PC＝8﹣x，

在Rt△ACP中，由勾股定理得：

PC2+AC2＝AP2，

∴（8﹣x）2+62＝x2，

解得x＝，

∴t＝．

综上所述：t的值为16或10或．

故答案为：16或10或．

16．解：如图，由勾股定理知：

SA+SB＝SF，SC+SD＝SG，

∴SA+SB+SC+SD＝SF+SG＝SE，

∵正方形A，B，C，D的面积分别为4，7，2，3，

∴SE＝4+7+3+2＝16．

故答案为：16．

17．解：设直角三角形斜边上的高为h，

当4是直角边时，斜边长＝5，

则×3×4＝×5×h，

解得：h＝，

故答案为：．

18．解：∵△ABC的三边长分别为6、8、10，62+82＝102，

∴△ABC是直角三角形，斜边长为10，

∴最长边上的高为：＝，

故答案为：．

19．解：由勾股定理得：

楼梯的水平宽度＝12，

∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，

∴地毯的长度至少是12+5＝17（米）．

故答案为：17．

三．解答题（共8小题，共计57分）

20．解：根据题意，可得BC＝4×10＝40（米），AC＝3×10＝30（米），

由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝302+402＝502，

所以两人相隔50米．

21．解：（1）连接AC，

因为∠B＝90°，所以直角△ABC中，由勾股定理得：

AC2＝AB2+BC2，

AC2＝42+32，

AC2＝25，

∴AC＝5m，又CD＝12m，AD＝13m，

所以△ACD中，AC2+CD2＝AD2，

所以△ACD是直角三角形；

（2）S四边形ABCD＝AC•CD+AB•BC

S四边形ABCD＝×5×12+×4×3

＝30+6

＝36（m2），

答：该花圃的面积为36m2．

22．解：连接AC，

在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝4米，CD＝3米，

由勾股定理得：AC＝5（米），

∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

该区域面积S＝S△ACB﹣S△ADC＝5×123×4＝24（平方米），

即铺满这块空地共需花费＝24×100＝2400元．

23．（1）由题意知AB＝DE＝25米，AC＝24米，AD＝4米，

在直角△ABC中，∠C＝90°，

∴BC2+AC2＝AB2，

∴BC=7米，

∴这个梯子底端离墙有7米；

（2）已知AD＝4米，则CD＝24﹣4＝20（米），

在直角△CDE中，∠C＝90°，

∴BD2+CE2＝DE2，

∴CE=15（米），

BE＝15﹣7＝8（米），

答：梯子的底部在水平方向滑动了8m．

24．解：设杯子的高度是xcm，则筷子的高度为（x+2）cm，

∵杯子的直径为12cm，

∴DF＝6cm，

在Rt△DEF中，由勾股定理得：

x2+62＝（x+2）2，

解得x＝8，

∴筷子EG＝8+2＝10cm．

25．解：如图，设旗杆的高度为xm，则AC＝xm，AB＝（x+1）m，BC＝5m，

在Rt△ABC中，52+x2＝（x+1）2，

解得x＝12，

答：旗杆的高度是12m．

26．解：（1）学校C会受噪声影响．

理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，

∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，

∴AC2+BC2＝AB2．

∴△ABC是直角三角形．

∴AC×BC＝CD×AB，

∴150×200＝250×CD，

∴CD＝＝120（m），

∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，

∴学校C会受噪声影响．

（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，

∵ED＝50（m），

∴EF＝100（m），

∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，

∴100÷50＝2（分钟），

即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．

27．解：如图：∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，

此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，

∴A′D＝0.5m，BD＝1.2m，

∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，

连接A′B，则A′B即为最短距离，

A′B＝1.3（m）．

答：壁虎捕捉到蚊子的最短路程是1.3m