初中数学第三章 整式及其加减3.5 探索与表达规律精品练习

2021-2022学年北师大版七年级数学上册《3.5探索与表达规律》同步达标测评（附答案）

一．选择题（共11小题，满分55分）

1．将正整数按如图所示的位置顺序排列：

根据排列规律，则2021应在（　　）

A．A处 B．B处 C．C处 D．D处

2．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（　　）

A．134 B．136 C．140 D．144

3．观察下列一组数：，﹣，，﹣，，…，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第n个数是（　　）

A． B．（﹣1）n 

C．（﹣1）n D．（﹣1）n﹣1

4．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（　　）

A．2025 B．2023 C．2021 D．2019

5．根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为（　　）

A．100 B．121 C．144 D．169

6．观察下列两行数：

1，3，5，7，9，11，13，15，17，…

1，4，7，10，13，16，19，22，25，…

探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（　　）

A．18 B．19 C．20 D．21

7．计算++++…+的结果是（　　）

A． B． C． D．

8．按一定规律排列的一组数：，，，，…，，，（其中a，b为整数），则a+b的值为（　　）

A．182 B．172 C．242 D．200

9．1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为（　　）

A．a＝1，b＝6，c＝15 B．a＝6，b＝15，c＝20 

C．a＝15，b＝20，c＝15 D．a＝20，b＝15，c＝6

10．将全体正奇数排成一个三角形数阵：

1

3 5

7     9     11

13   15    17    19

21    23    25   27   29…

按照以上排列的规律，第25行第20个数是（　　）

A．639 B．637 C．635 D．633

11．观察下列关于自然数的式子：

4×12﹣12①

4×22﹣32②

4×32﹣52③…

根据上述规律，则第2017个式子的值是（　　）

A．8064 B．8065 C．8066 D．8067

二．填空题（共6小题，满分30分）

12．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第 　   　行第 　   　列．

13．观察下列一行数：4，1，﹣8，1，16，1，﹣32，1，64，1，﹣128，1，…，则第19个数与第20个数的和为　      　．

14．观察下列各式的规律：

①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1．

请按以上规律写出第4个算式　                　．

用含有字母的式子表示第n个算式为　                　．

15．观察下面的变化规律：

＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，…

根据上面的规律计算：＝　                　．

16．观察下列一组数的排列规律：

，，，，，，，，，，，，，，，…

那么，这一组数的第2019个数是　                　．

17．观察下列式子

第1个式子：2×4+1＝9＝32

第2个式子：6×8+1＝49＝72

第3个式子：14×16+1＝225＝152

……

请写出第n个式子：　                　．

三．解答题（共3小题，满分35分）

18．观察以下等式：

第1个等式：×（1+）＝2﹣，

第2个等式：×（1+）＝2﹣，

第3个等式：×（1+）＝2﹣，

第4个等式：×（1+）＝2﹣．

第5个等式：×（1+）＝2﹣．

…

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：　                　；

（2）写出你猜想的第n个等式：　                　（用含n的等式表示），并证明．

19．观察以下等式：

第1个等式：++×＝1，

第2个等式：++×＝1，

第3个等式：++×＝1，

第4个等式：++×＝1，

第5个等式：++×＝1，

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：　                　；

（2）写出你猜想的第n个等式：　                　（用含n的等式表示），并证明．

20．观察下列等式：

第一个等式：

第二个等式：

第三个等式：

第四个等式：

按上述规律，回答下列问题：

（1）请写出第六个等式：a6＝　                　＝　                　；

（2）用含n的代数式表示第n个等式：an＝　                　＝　          　；

（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6＝　                　（得出最简结果）；

（4）计算：a1+a2+…+an．

参考答案

一．选择题（共11小题，满分55分）

1．解：2021÷4＝505…1，

∴2021应在1的位置，也就是在D处．

故选：D．

2．解：由题意得：左上角的数分别为1＝21﹣1，2＝22﹣1，4＝23﹣1，8＝24﹣1，

则左上角第n个数为2n﹣1（n为正整数）；

左下角的数分别为：2＝2×1，4＝2×2，6＝2×3，8＝2×4，

则左下角第n个数为：2n；

右上角的数分别为：4＝2×1+2，6＝2×2+2，8＝2×3+2，10＝2×4+2，

则右上角第n个数为：2n+2；

右下角的数分别为：7＝2×4﹣1，22＝4×6﹣1，44＝6×8﹣4，72＝8×10﹣8，

则右下角第n个数为：2n（2n+2）﹣2n﹣1，

根据排列规律，得：2n﹣1＝32，

解得：n＝6，

∴m＝2×6×（2×6+2）﹣32

＝168﹣32

＝136，

故选：B．

3．解：首先观察序列是个分数，

分子是1，4，9，16，25....可变式为12，22，32，42，52，...可归纳为n2，

分母是3，5，7，9，11.....可归纳为2n+1，

整个序列是一正一负交替变化，可归纳为（﹣1）n+1或者（﹣1）n﹣1．

可得答案为（﹣1）n+1或（﹣1）n﹣1．

故选：D．

4．解：由题意可知：

行数为1的方阵内包含“1”，共1个数；

行数为2的方阵内包含“1、3、5、7”，共22个数；

行数为3的方阵内包含“1、3、5、7、9、11、13、15、17”，共32个数；

∴行数为32的方阵内包含“1、3、5、7、......”共322个数，即共1024个数，

∴位于第32行第13列的数是连续奇数的第（1024﹣12）＝1012个数，

∴位于第32行第13列的数是：2×1012﹣1＝2023．

故选：B．

5．解：通过观察可得规律：p＝n2，q＝（n+1）2﹣1，

∵q＝143，

∴（n+1）2﹣1＝143，

解得：n＝11，

∴p＝n2＝112＝121，

故选：B．

6．解：第1个相同的数是1＝0×6+1，

第2个相同的数是7＝1×6+1，

第3个相同的数是13＝2×6+1，

第4个相同的数是19＝3×6+1，

…，

第n个相同的数是6（n﹣1）+1＝6n﹣5，

所以6n﹣5＝103，

解得n＝18．

答：第n个相同的数是103，则n等于18．

故选：A．

7．解：原式＝

＝

＝．

故选：B．

8．解：∵，

∵，

∴，

∴a＝72，b＝110，

∴a+b＝72+110＝182．

故选：A．

9．解：根据图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，

∴a＝1+5＝6，b＝5＝10＝15，c＝10+10＝20，

故选：B．

10．解：根据三角形数阵可知，

1＝13，

3+5＝8＝23，

7+9+11＝27＝33，

13+15+17+19＝64＝43，

21+23+25+27+29＝125＝53，

设第25行中间的数是x，可得：253＝25x，

解得：x＝625，

即第13个数是625，第20个数是x＝x+2×7＝625+14＝639，

故选：A．

11．解：4×12﹣12①

4×22﹣32②

4×32﹣52③

…

4n2﹣（2n﹣1）2＝4n﹣1，

所以第2017个式子的值是：4×2017﹣1＝8067．

故选：D．

二．填空题（共6小题，满分30分）

12．解：由图可知，

第一行1个数字，

第二行2个数字，

第三行3个数字，

…，

则第n行n个数字，

前n行一共有个数字，

∵＜2021＜，2021﹣＝2021﹣2016＝5，

∴2021是表中第64行第5列，

故答案为：64，5．

13．解：∵一行数：4，1，﹣8，1，16，1，﹣32，1，64，1，﹣128，1，…，

∴这列数的第偶数个数都是1，奇数个数是，

∴当n＝19时，这个数为＝﹣2048，当n＝20时，这个数为1，

∴第19个数与第20个数的和为：﹣2048+1＝﹣2047，

故答案为：﹣2047．

14．解：④4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1．

第n个算式为：n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．

故答案为：4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1；n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．

15．解：由题干信息可抽象出一般规律：（a，b均为奇数，且b＝a+2）．

故

＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣

＝1﹣

＝．

故答案为：．

16．解：一列数为：，，，，，，，，，，，，，，，，…

则这列数也可变为：，，，，，，，，，，，，，，，…

由上列数字可知，第一个数的分母是1+21＝3，这样的数有1个；

第二个数的分母是1+22＝5，这样的数有2个；

第三个数的分母是1+23＝9，这样的数有3个；

…，

∵1+2+3+…+63＝2016＜2019，

∴这一组数的第2019个数是：，

故答案为：．

17．解：∵第1个式子：2×4+1＝9＝32，即（22﹣2）×22+1＝（22﹣1）2，

第2个式子：6×8+1＝49＝72，即（23﹣2）×23+1＝（23﹣1）2，

第3个式子：14×16+1＝225＝152，即（24﹣2）×24+1＝（24﹣1）2，

……

∴第n个等式为：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2．

故答案为：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2．

三．解答题（共3小题，满分35分）

18．解：（1）第6个等式：×（1+）＝2﹣；

（2）猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣．

证明：∵左边＝×＝＝2﹣＝右边，

∴等式成立．

故答案为：×（1+）＝2﹣；×（1+）＝2﹣．

19．解：（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5

故应填：

（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n﹣1

故应填：

证明：＝

∴等式成立

20．解：（1）由题意知，a6＝＝﹣，

故答案为：，﹣；

（2）an＝＝﹣，

故答案为：，﹣；

（3）原式＝﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣

＝﹣

＝，

故答案为：；

（4）原式＝﹣+﹣+…+﹣

＝﹣

＝．