初中数学北师大版七年级上册3.5 探索与表达规律优秀课时作业

这是一份初中数学北师大版七年级上册3.5 探索与表达规律优秀课时作业，共14页。试卷主要包含了对于每个正整数n，设f，观察“田”字中各数之间的关系，有一种数字游戏，操作步骤为等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年北师大版七年级数学上册《3.5探索与表达规律》同步提升训练（附答案）
1．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从2这点开始跳，则经过2020次后它停在哪个数对应的点上（　　）

A．1 B．2 C．3 D．5
2．对于每个正整数n，设f（n）表示n（n+1）的末位数字．例如：f（1）＝2（1×2的末位数字），f（2）＝6（2×3的末位数字），f（3）＝2（3×4的末位数字），…则f（1）+f（2）+f（3）+…f（2021）的值为（　　）
A．4042 B．4048 C．4050 D．10
3．符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f（1）＝0，f（2）＝﹣1，f（3）＝﹣2，f（4）＝﹣3，…，f（10）＝﹣9，…；（2）g（）＝﹣2，g（）＝﹣3，g（）＝﹣4，g（）＝﹣5，…，g（）＝﹣11，…．利用以上规律计算：g（）﹣f（2018）的结果为（　　）
A．﹣4036 B．﹣2 C．﹣1 D．4036
4．观察“田”字中各数之间的关系：

则a+d﹣b﹣c的值为（　　）
A．54 B．﹣54 C．52 D．﹣52
5．仔细观察下列数字排列规律，则a＝（　　）

A．206 B．216 C．226 D．236

6．下列图中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，当m＝99时，则M的值为　 　．

7．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝，如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，那么a2020的值是（　　）
A．﹣2 B． C． D．
8．有一数值转换器，原理如图，若开始输入的x的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…，请你探索第2020次输出的结果是　 　．

9．有一种数字游戏，操作步骤为：第一步，任意写一个自然数（以下简称为原数，原数中至少有一个偶数数字），且位数小于10；第二步，再写一个新三位数，它的百位数字是原数中偶数数字的个数，十位数字是原数中奇数数字的个数，个位数字是原数的位数．以下每一步都以上一步得到的数为原数按照第二步的规则进行重复操作，则重复第二步的操作2020次后得到的数是　 　．
10．已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依此类推，则a2019的值为　 　．
11．观察一列数：，，，，，…根据规律，请你写出第10个数是 　 　．
12．一组按规律排列的数：，…，请你推断第11个数是　 　．
13．试判断1+7+72+73+74+…+72019的个位数字是　 　．
14．将正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵，根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第10个数是　 　．

15．观察如图中的数列排放顺序，根据其规律猜想：第10行第8个数应该是　 　．

16．观察下列式子：
1×3+1＝22，2×4+1＝32，3×5+1＝42，4×6+1＝52，…，
（1）请你依照上述规律，写出第6个式子：　 　；
（2）请写出第n个式子：　 　；
（3）计算：（1+）×（1+）×（1+）×…×（1+）．
17．观察等式
观察下列是关于自然数的式子：
32﹣4×12＝5（1）；
52﹣4×22＝9（2）；
72﹣4×32＝13（3）；
…
应用上述规律解决下列问题：
发现规律
（1）完成第四个等式：92﹣4×　 　＝　 　；
验证结论
（2）猜想第a个等式并写出来（用含a的式子表示），验证其正确性．
18．计算已知＝1﹣，＝﹣，＝﹣．
则（1）++++…+＝　 　．
（2）根据上面提示则＝　 　．
（3）请计算+++…+的值．
19．阅读下列材料，并解决相关的问题．
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0），如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1＝1，公比为q＝3．则：
（1）等比数列2，4，8，…的公比q为　 　，第4项是　 　．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，a4…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：
所以：a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3．
由此可得：an＝　 　（用a1和q的代数式表示）．
（3）若一等比数列的公比q＝5，第2项是10，请求它的第1项与第5项．
20．观察下面的几个式子
3×12＝3×1
3×（12+22）＝5×（1+2）
3×（12+22+32）＝7×（1+2+3）
3×（12+22+32+42）＝9×（1+2+3+4）
（1）根据上面的规律，第5个式子为：　 　；
（2）根据上面的规律，第n个式子为：　 　；
（3）利用你发现的规律写出12+22+32+…+n2＝　 　；
（4）利用你发现的规律求出12+32+52+72+…+392的值并写出过程．
21．如图是由非负偶数排成的数阵：

（1）写出图中“H”形框中七个数的和与中间数的关系；
（2）在数阵中任意做一个这样的“H”形框，（1）中的关系是否仍成立？并写出理由；
（3）用这样的“H”形框能框出和为2023的七个数吗？如果能，求出这七个数中间的数；如果不能，请写出理由．

参考答案
1．解：第1次跳后落在1上；
第2次跳后落在3上；
第3次跳后落在5上；
第4次跳后落在2上；
…，
4次跳后一个循环，依次在1，3，5，2这4个数上循环，
∵2020÷4＝505，
∴应落在2上．
故选：B．
2．解：由题意可得，
f（1）＝2，
f（1）+f（2）＝2+6＝8，
f（1）+f（2）+f（3）＝2+6+2＝10，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+6+2+0＝10，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝2+6+2+0+0＝10，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝2+6+2+0+0+2＝12，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）＝2+6+2+0+0+2+6＝18，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）＝2+6+2+0+0+2+6+2＝20，
…，
∵2021÷5＝404…1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…f（2021）
＝（2+6+2+0+0）+（2+6+2+0+0）+（2+6+2+0+0）+…+（2+6+2+0+0）
＝10×404+2
＝4040+2
＝4042，
故选：A．
3．解：∵f（1）＝0，f（2）＝﹣1，f（3）＝﹣2，f（4）＝﹣3，…，f（10）＝﹣9，…，
∴f（n）＝1﹣n（n为正整数）；
∵g（）＝﹣2，g（）＝﹣3，g（）＝﹣4，g（）＝﹣5，…，g（）＝﹣11，…，
∴g（）＝﹣n（n为正整数）．
∴g（）﹣f（2018）＝﹣2019﹣（1﹣2018）＝﹣2．
故选：B．
4．解：由表格中的数据可得，
左上角的数字是一些连续的奇数，左下角的数字是2的n次方，这里的n和是第几个田子对应的数字一致，右下角的数字等于对应的左上角的数字和左下角的数字之和，右上角的数字等于右下角的数字减1，
故a＝11，b＝26＝64，c＝11+64＝75，d＝74，
∴a+d﹣b﹣c＝11+74﹣64﹣75＝﹣54，
故选：B．
5．解：观察发现：
2＝1×2﹣0；
10＝3×4﹣2；
26＝5×6﹣4；
50＝7×8﹣6；
…
a＝15×16﹣14＝226，
故选：C．
6．解：∵3＝2×1+1，
15＝4×3+3，
35＝6×5+5，
∴M＝mn+m，且n＝m+1，
当m＝99时，M＝99×100+99＝9999，
故答案为：9999．
7．解：∵a1＝﹣2，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，……
∴这个数列以﹣2，，依次循环，
∵2020÷3＝673…1，
∴a2020的值是﹣2．
故选：A．
8．解：由题意可得，
第一次输出的结果是8，
第二次输出的结果是4，
第三次输出的结果是2，
第四次输出的结果是1，
第五次输出的结果是4，
…，
由上可得，输出结果依次以4，2，1循环出现，从第二次输出结果开始，
∵（2020﹣1）÷3＝2019÷3＝673，
∴第2020次输出的结果是1，
故答案为：1．
9．解：第一步，任意写一个自然数2004，
第二步，∵2004的偶数数字是2、0、0、4，有四个数字，
∴新三位数的百位数字是4，
∵2004的奇数数字有0个，
∴新三位数的十位数字是0，
∵2004由四位数组成，
∴新三位数的个位数字是4，
∴新三位数是404；
第三步，∵404的偶数数字是4、0、4，有三个数字，
∴新三位数的百位数字是3，
∵404的奇数数字有0个，
∴新三位数的十位数字是0，
∵404由三位数组成，
∴新三位数的个位数字是3，
∴新三位数是303；
第四步，∵303的偶数数字是0，有一个数字，
∴新三位数的百位数字是1，
∵303的奇数数字有2个，
∴新三位数的十位数字是2，
∵303由三位数组成，
∴新三位数的个位数字是3，
∴新三位数是123；
第五步，∵123的偶数数字是2，有一个数字，
∴新三位数的百位数字是1，
∵123的奇数数字有2个，
∴新三位数的十位数字是2，
∵123由三位数组成，
∴新三位数的个位数字是3，
∴新三位数是123；
∴这个数是123．
故重复第二步的操作2020次后得到的数是123．
方法2：：由奇偶性分析，第二步得到一个三位数，且至少有一位是偶数，
则第三步只能为123，213和303之一，
从第四步开始，所有数字均为123．
故答案为：123．
10．解：a1＝0，
a2＝﹣|a1+1|＝﹣|0+1|＝﹣1，
a3＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，
a4＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，
a5＝﹣|a4+4|＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，
a6＝﹣|a5+5|＝﹣|﹣2+5|＝﹣3，
a7＝﹣|a6+6|＝﹣|﹣3+6|＝﹣3，
…，
所以，n是奇数时，an＝﹣（n﹣1），n是偶数时，an＝﹣，
∴a2019＝﹣（2019﹣1）＝﹣1009．
故答案为：﹣1009．
11．解：，，，，，…
根据规律可得第n个数是，
∴第10个数是 ，
故答案为：．
12．解：通过对这一组分数的观察，原分数可表达为：
，，，，，…，
∴第11个数＝
＝．
∴第11个数为：．
13．解：1＝70的个位数字是1，
71的个位数字是7，
72的个位数字是9，
73的个位数字是3，
74的个位数字是1，
…
和的个位数字规律为1、8、7、0四个循环，
所以（2019+1）÷4＝505，
所以原式的个位数字是0．
14．解：由图可得，
第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，
则第n行有n个数，
这列数的第n个数为3n﹣2，
故前19行有1+2+…+19＝190个数字，
第20行从左至右的第10个数是这列数的第200个数，则这个数为3×200﹣2＝598，
故答案为：598．
15．解：第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…，
∴第9行9个数，
∴第10行第8个数为第1+2+3+…+9+8＝53个数．
又∵第2n﹣1个数为2n﹣1，第2n个数为﹣2n，
∴第10行第8个数应该是53．
故答案为：53．
16．解：（1）∵1×3+1＝22，2×4+1＝32，3×5+1＝42，4×6+1＝52，…，
∴第6个式子是：6×8+1＝72，
故答案为：6×8+1＝72；
（2））∵1×3+1＝22，2×4+1＝32，3×5+1＝42，4×6+1＝52，…，
∴第n个式子是：n（n+2）+1＝（n+1）2，
故答案为：n（n+2）+1＝（n+1）2；
（3）（1+）×（1+）×（1+）×…×（1+）
＝×××…×
＝×××…×
＝×…×
＝
＝．
17．解：（1）∵32﹣4×12＝5（1）；
52﹣4×22＝9（2）；
72﹣4×32＝13（3）；…
∴第四个等式：92﹣4×42＝17，
故答案为：42，17；
（2）猜想第a个等式是：（2a+1）2﹣4a2＝4a+1，
证明：∵（2a+1）2﹣4a2
＝4a2+4a+1﹣4a2
＝4a+1，
∴（2a+1）2﹣4a2＝4a+1成立．
18．解：（1）++++…+
＝1﹣++…+
＝1﹣
＝；
（2）
＝
＝×（1+…+）
＝×（1﹣）
＝
＝；
（3）+++…+
＝++…+
＝×（1+…+）
＝×（1﹣）
＝
＝．
19．解：（1），第4项是16；
（2）归纳总结得：an＝a1•qn﹣1；
（3）∵等比数列的公比q＝5，第二项为10，
∴a1＝＝2，a5＝a1•q4＝2×54＝1250．
故答案为：（1）2；16；（2）an＝a1•qn﹣1．
20．解：（1）第5个式子为：3×（12+22+32+42+52）＝11×（1+2+3+4+5），
故答案为：3×（12+22+32+42+52）＝11×（1+2+3+4+5）；
（2）根据上面的规律，第n个式子为：3×（12+22+32+42+…+n2）＝（2n+1）×（1+2+3+4+…+n），
故答案为：3×（12+22+32+42+…+n2）＝（2n+1）×（1+2+3+4+…+n）；
（3）12+22+32+…+n2＝＝×（2n+1）×＝，
故答案为：；
（4）原式＝12+22+32+42+…+402﹣（22+42+…+402）
＝12+22+32+42+…+402﹣4×（12+22+…+202）
＝﹣
＝10660．
21．解：（1）∵22+40+58+42+26+44+62＝294＝7×42，
∴图中“H”形框中七个数的和是中间数的7倍；
（2）成立，
设中间数为x，则其余六个数分别为x﹣2，x+2，x﹣20，x+20，x﹣16，x+16，
∴x+x﹣2+x+2+x﹣20+x+20+x﹣16+x+16＝7x，
所以图中“H”形框中七个数的和是中间数的7倍；
（3）不能，
2023÷7＝289，
∵是非负偶数数阵，而289是奇数，
∴不能框出和为2023的七个数．