人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质课文ppt课件

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1 | 增函数与减函数的定义
　　特别地,当函数y=f(x)在它的定义域上单调递增或单调递减时,我们就称它是 增函数或减函数.如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y =f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
　　一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:∀x∈I,都有⑥    f(x)≤M    ,∃x0∈I,使得f(x0)=M,那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值;如果存在实数M满足:∀x∈I,都有⑦    f(x)≥M    ,∃x0∈I,使得f(x0)=M,那么我们称M是函数y=f(x)的最小值.当一个函数f(x)的图象有最低(高)点时,我们就说函数f(x)有最小(大)值.
2 | 函数的最大值与最小值
科考队对“早穿棉袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考 察,如图是某天气温随时间的变化曲线. 请根据曲线图回答1~3题. 
1.该天的最高气温为25 ℃,最低气温为-5 ℃. (　√　)2.该天气温在6时至17时内随着时间增加而增加.(　√　)3.该天的温差是20 ℃. (    ✕　)4.函数f(x)取最大值时,对应的x可能有无限多个.(　√　)提示:例如:f(x)= f(x)的最大值为1, f(x)取最大值时,x的取值集合为(0,+∞),有无数个值.
5.若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数. (    ✕　)提示:例如:f(x)= f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,但由图象(图略)知函数f(x)在区间(1,3)上不是增函数.6.若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(a),最大值是 f(b).(　√　)
1 | 如何判断或证明函数的单调性
1.判断函数单调性的方法(1)图象法.根据函数图象的升降情况进行判断.(2)直接法.运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比 例函数的单调性均可直接得出.(3)复合函数单调性的判断依据如下:由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合,得到函数y=f(g(x)),其单调性的判断方法如下:
复合函数的单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单调性相同时单调递增,相异时单调递减.2.证明函数的单调性根据增函数、减函数的定义,按照“取值→作差→变形→判断符号→下结论”进 行证明.
利用定义证明f(x)=x3在R上是增函数.证明    任取R上的两个实数x1,x2,且x10,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)　　设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对于任意正实数x,y,f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已 知f(2)=1,且当x>1时, f(x)>0.(1)求f 的值;(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并给出证明.
思路点拨抽象函数问题求解的关键是根据结论对x,y进行赋值,通过赋值解决.
解析    (1)∵对于任意正实数x,y, f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,∴当x=y=1时,有f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.当x=2,y= 时,有f  =f(2)+f ,即f(2)+f =0,又f(2)=1,∴f =-1.(2)函数f(x)在(0,+∞)上为增函数.证明如下:任取x1,x2∈(0,+∞),且x11,∴f  >0,即f(x2)>f(x1), ∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.
2| 如何利用函数的单调性解决相关函数问题
利用函数的单调性解不等式利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性质,将符号“f ”脱 掉,列出关于未知量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域.
　根据函数的单调性确定参数的取值范围1.利用单调性的定义:在单调区间内任取x1,x2,且x10) 恒成立求参数的取值范围.2.利用具体函数本身所具有的特征:如二次函数的图象被对称轴一分为二,可根据 对称轴相对于所给单调区间的位置建立关于参数的不等式(组),解不等式(组),求 出参数的取值范围.注意:(1)若某个函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子区间上 也是单调的.(2)对于定义域上单调的分段函数求参问题,一般从两方面考虑:一方面每个分段 区间上函数具有相同的单调性,由此列出相关式子; 另一方面要考虑分界点处函 数值之间的大小关系,由此列出另外的式子,从而解得参数的取值范围.
　　已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)思路点拨利用单调性结合定义域去掉“f ”,进而求解不等式组.
解析    函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,则有 解得 (1)若函数f(x)= 是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是 (    B　)A.(-2,0)　     B.[-2,0)C.(-∞,1]　    D.(-∞,0)(2)若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是　(-∞,-4]    .
思路点拨(1)结合分段函数的单调性,讨论每段函数满足减函数时的条件以及两段函数分 界点处函数值的关系,列出不等式组求解;(2)结合二次函数的单调性,先判断其图象的开口方向与对称轴,再利用单调性确 定参数满足的条件.
解析    (1)因为f(x)= 是定义在(-∞,+∞)上的减函数,所以 解得-2≤a<0.故实数a的取值范围是[-2,0).(2)因为 f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3,其图象开口向下,对称轴方程为x=- a-1,所以函数的单调递增区间为(-∞,-a-1],由f(x)在(-∞,3]上单调递增知3≤-a-1,解得a≤-4,即实数a的取值范围为(-∞,-4].
3| 如何求二次函数在某闭区间上的最大(小)值
　二次函数在某闭区间上的最大(小)值问题的解法1.含参数的二次函数最大(小)值问题的解法:解决含参数的二次函数的最值问题,首先将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式,再由 a的符号确定抛物线的开口方向,根据对称轴方程x=h得出顶点的位置,再根据x的 定义区间结合大致图象确定最大或最小值.2.对于含参数的二次函数的最值问题,一般有下列几种类型:(1)区间固定,对称轴变动(含参数),求最值;(2)对称轴固定,区间变动(含参数),求最值;(3)区间固定,最值也固定,对称轴变动,求参数.求解时通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
　　求函数f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值.
思路点拨由于二次函数的最值与其图象的对称轴位置有关,而题中函数图象的对称轴为直 线x=a,其位置不确定,所以应按函数图象的对称轴与区间[0,2]的相对位置进行分 类讨论.
解析    f(x)=(x-a)2-1-a2,其图象的对称轴为直线x=a.(1)当a<0时,由图①可知, f(x)min=f(0)=-1, f(x)max=f(2)=3-4a. 　　(2)当0≤a≤1时,由图②可知, f(x)min=f(a)=-1-a2, f(x)max=f(2)=3-4a.　　(3)当1 　　(4)当a>2时,由图④可知, f(x)min=f(2)=3-4a, f(x)max=f(0)=-1.综上, f(x)的最大值为M(a)= f(x)的最小值为m(a)= 
解题模板二次函数在指定区间上的最大(小)值与二次函数图象的开口方向、对称轴位置 有关,求解时要注意这两个因素.本题不是分a<0,0≤a≤2,a>2三种情况讨论,而是 分四种情况,这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]内时,最小值是在顶点处取得 的,但最大值有可能是f(0),也有可能是f(2).
　　求函数f(x)=x2-2x+2在区间[t,t+1]上的最小值g(t).
思路点拨因为图象的对称轴固定,区间不定,所以可以从三个方面进行讨论:①图象的对称 轴在区间左侧;②图象的对称轴在区间右侧;③图象的对称轴在区间内.
解析    f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],其图象的对称轴为直线x=1.           当t+1<1,即t<0时,函数图象如图①所示, f(x)在区间[t,t+1]上为减函数,所以g(t)=f(t+1)=t2+1;当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数图象如图②所示,g(t)=f(1)=1;当t>1时,函数图象如图③所示, f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以g(t)=f(t)=t2-2t+2.综上,可得g(t)=