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2021学年6.1 平面向量的概念课堂教学课件ppt
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这是一份2021学年6.1 平面向量的概念课堂教学课件ppt，共35页。PPT课件主要包含了探究一，探究二，探究三，思维辨析，随堂演练，答案D等内容，欢迎下载使用。
一、向量的概念1.思考(1)在物理上,位移和距离这两个量有什么不同?提示位移既有大小又有方向,距离只有大小没有方向.(2)力、质量、身高、长度、速度、加速度、面积、体积,这些量中,哪些量既有大小又有方向,哪些量只有大小没有方向?提示力、速度、加速度既有大小,又有方向;质量、身高、长度、面积、体积这些量只有大小没有方向.2.填空(1)向量:数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.(2)数量:把那些只有大小,没有方向的量,称为数量.
二、向量的几何表示1.思考(1)物理中是如何表示力这一向量的?请同学们画示意图:先画一个竖直向下,大小为20 N的力;再画一个水平向右,大小为30 N的力(用1 cm的长度表示10 N).(2)我们曾经在单位圆中用有向线段定义了三角函数线,那么线段与有向线段相同吗?提示线段与有向线段不同,有向线段有长度、方向和起点与终点,而线段则只关乎端点与长度.
(3)向量可以用有向线段表示,那么向量与有向线段一样吗?有什么区别?提示向量与有向线段是有区别的:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.(4)如何用符号表示向量?提示①用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,例如②用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用 来表示.
2.填空(1)具有方向的线段叫做有向线段.通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作 ,起点要写在终点的前面.(2)有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定了.(4)长度为0的向量叫做零向量,记作0.长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
3.做一做(1)下列说法正确的是( )A.身高是一个向量B.温度有零上温度和零下温度之分,故温度是向量C.有向线段由方向和长度两个要素确定(2)下列说法正确的是( )A.向量的模是一个正实数B.零向量没有方向C.单位向量的模等于1个单位长度D.零向量就是实数0
答案:(1)D (2)C解析:(1)有向线段 的起点与终点互换,其方向相反,长度相等,故D项正确.(2)向量的模是一个非负实数;零向量的方向是任意的,但它不是实数0,故A,B,D均错,只有C项正确.
三、相等向量与共线向量1.思考(1)向量由其模和方向所确定.对于两个向量a,b,就其模等与不等,方向同与不同而言,有哪几种可能情形?提示有四种情形:模相等,方向相同;模相等,方向不相同;模不相等,方向相同;模不相等,方向不相同.
(2)如图,a,b,c是一组平行向量,直线l是与a平行的一条直线,在l上任取一点O,你能把向量a,b,c都移动到直线l上,并且以O为起点吗?由此你会得出怎样的结论?提示作图如图所示,可知任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.
(3)我们知道向量可以用有向线段来表示,那么,如何用有向线段表示两个相等向量?提示任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.在平面上,只要是两个长度相等且指向一致的有向线段就表示同一个向量,因为向量完全由它的方向和模确定.(4)相等向量与平行向量有什么关系?提示相等向量一定是平行向量,但平行向量不一定是相等向量.(5)向量的平行、共线与有向线段的平行、共线有什么区别和联系?提示两向量平行,对应的有向线段可能平行,也可能共线.两向量的共线和两向量平行是同一概念,但有向线段的平行和共线却意义不同.
2.填空(1)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a,b平行,通常记作a∥b.(2)我们规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a.(3)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.两个向量a与b相等,记作a=b.
3.做一做下列说法正确的是( )B.与实数类似,对于两个向量a,b有a=b,a>b,a
反思感悟 明确向量及其相关概念的联系与区别(1)区分向量与数量.向量既强调大小,又强调方向,而数量只与大小有关.(2)明确向量与有向线段的区别.有向线段有三要素,起点、方向、长度.只要起点不同,另外两个要素相同也不是同一条有向线段,但决定向量的要素只有两个,大小和方向,与表示向量的有向线段的起点无关.(3)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的,零向量的方向是任意的.(4)平行向量也叫共线向量,当两共线向量的方向相同且模相等时,两向量为相等向量.(5)向量之间不能比较大小,但它们的模可以比较大小.
变式训练1给出以下说法:①直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量;②零向量的长度为零,方向是任意的;③若a,b都是单位向量,则a=b;④有向线段就是向量;⑤单位向量大于零向量.其中正确说法的序号是 . 答案:②解析:直角坐标平面上的x轴、y轴是数轴,但不是向量,故①错误;由零向量的定义可知②正确;若a,b都是单位向量,则它们的模相等,但不一定方向相同,故③错误;有向线段可以用来表示向量,但它不是向量,故④错误;单位向量的模大于零向量的模,但不能说单位向量大于零向量,向量之间不能比较大小,故⑤错误.
平面向量的表示例2在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1),用直尺和圆规画出下列向量:
分析先确定起点,再根据大小和方向确定出终点,即可画出向量.
反思感悟 1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的大小确定向量的终点.2.注意事项:书写有向线段时,要注意起点和终点的不同;在书写字母表示时不要忘了字母上的箭头.
变式训练2如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,可以写出 个向量. 答案:12 解析:由向量的几何表示可知,可以写出12个向量,它们分别是
相等向量与共线向量角度1 相等向量与共线向量的内在关系例3判断下列命题是否正确,说明理由.(3)两个共线向量,若它们的起点不同,则终点也一定不同;(4)若向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;(5)两个起点相同而且相等的向量,其终点必相同;(6)两个有共同终点的向量,一定是共线向量.分析根据共线向量、相等向量的概念进行判断分析.
解:(1)错误,共线向量也叫做平行向量,所以两个共线向量不一定在同一条直线上;(3)错误,共线向量的长度不一定相等,当它们起点不同时,终点可以相同;(4)错误,零向量的方向是任意的,而零向量与任意向量都平行;(5)正确,由相等向量的定义可知;(6)错误,任意两个向量的终点都可以是相同的,可以不是共线向量.
角度2 向量在平面几何中的应用
反思感悟 1.寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些同向共线.2.寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再找同向与反向的向量.注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.3.对于共线向量所在直线的位置关系的判断,要注意直线平行或重合两种情况.4.证明或判断线段相等,只需证明或判断相应向量的长度(模)相等.5.证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不共线.
变式训练3(1)(多选题)给出下列命题,其中正确的是( )A.两个向量,当且仅当它们的起点相同,终点相同时才相等B.若平面上所有单位向量的起点移到同一个点,则其终点在同一个圆上D.若a=b,b=c,则a=c(2)如图,已知四边形ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点,
(1)答案:BCD解析:两个向量相等只要模相等且方向相同即可,而与起点和终点的位置无关,故A不正确;单位向量的长度为1,当所有单位向量的起点在同一点O时,终点都在以O为圆心,1为半径的圆上,故B正确;C、D显然正确.
关于一道向量模的问题的辨析典例已知A1,A2,…,A8是圆O上的八个等分点,则在以A1,A2,…,A8以及圆心这九个点中的任意两点为起点与终点的向量中,模等于半径长的向量有多少个?模等于半径长 倍的向量有多少个?
变式训练如图,四边形ABCD是边长为3的正方形,把各边三等分后,共有16个交点,从中选取2个交点组成向量,则与 平行且长度为2 的向量个数是 . 答案:8解析:图中有4个边长为2的正方形,每个正方形中有2个符合条件的向量.共计8个.
1.下列各量中是向量的是( )A.时间B.速度C.面积D.长度答案:B解析:速度既有大小又有方向,是向量,其余均是数量.2.给出命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量 相等;④若两个向量是相等向量,则它们一定是共线向量.以上命题中,正确命题的序号是( )A.①④B.②C.①③④D.②③答案:A解析:根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义,单位向量的模相等,但方向不同,故两个单位向量不一定相等,故②错误;向量 模相等,方向相反,故③错误.④显然正确,故选A.
4.当向量a与任一向量都平行时,向量a一定是 . 答案:零向量解析:由零向量的规定知,只有零向量与任一向量都平行.
5.如图,在正方形ABCD中,M,N分别为AB和CD的中点,在以A,B,C,D,M,N为起点与终点的所有向量中,相等的非零向量共有多少对?
一、向量的概念1.思考(1)在物理上,位移和距离这两个量有什么不同?提示位移既有大小又有方向,距离只有大小没有方向.(2)力、质量、身高、长度、速度、加速度、面积、体积,这些量中,哪些量既有大小又有方向,哪些量只有大小没有方向?提示力、速度、加速度既有大小,又有方向;质量、身高、长度、面积、体积这些量只有大小没有方向.2.填空(1)向量:数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.(2)数量:把那些只有大小,没有方向的量,称为数量.
二、向量的几何表示1.思考(1)物理中是如何表示力这一向量的?请同学们画示意图:先画一个竖直向下,大小为20 N的力;再画一个水平向右,大小为30 N的力(用1 cm的长度表示10 N).(2)我们曾经在单位圆中用有向线段定义了三角函数线,那么线段与有向线段相同吗?提示线段与有向线段不同,有向线段有长度、方向和起点与终点,而线段则只关乎端点与长度.
(3)向量可以用有向线段表示,那么向量与有向线段一样吗?有什么区别?提示向量与有向线段是有区别的:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.(4)如何用符号表示向量?提示①用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,例如②用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用 来表示.
2.填空(1)具有方向的线段叫做有向线段.通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作 ,起点要写在终点的前面.(2)有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定了.(4)长度为0的向量叫做零向量,记作0.长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
3.做一做(1)下列说法正确的是( )A.身高是一个向量B.温度有零上温度和零下温度之分,故温度是向量C.有向线段由方向和长度两个要素确定(2)下列说法正确的是( )A.向量的模是一个正实数B.零向量没有方向C.单位向量的模等于1个单位长度D.零向量就是实数0
答案:(1)D (2)C解析:(1)有向线段 的起点与终点互换,其方向相反,长度相等,故D项正确.(2)向量的模是一个非负实数;零向量的方向是任意的,但它不是实数0,故A,B,D均错,只有C项正确.
三、相等向量与共线向量1.思考(1)向量由其模和方向所确定.对于两个向量a,b,就其模等与不等,方向同与不同而言,有哪几种可能情形?提示有四种情形:模相等,方向相同;模相等,方向不相同;模不相等,方向相同;模不相等,方向不相同.
(2)如图,a,b,c是一组平行向量,直线l是与a平行的一条直线,在l上任取一点O,你能把向量a,b,c都移动到直线l上,并且以O为起点吗?由此你会得出怎样的结论?提示作图如图所示,可知任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.
(3)我们知道向量可以用有向线段来表示,那么,如何用有向线段表示两个相等向量?提示任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.在平面上,只要是两个长度相等且指向一致的有向线段就表示同一个向量,因为向量完全由它的方向和模确定.(4)相等向量与平行向量有什么关系?提示相等向量一定是平行向量,但平行向量不一定是相等向量.(5)向量的平行、共线与有向线段的平行、共线有什么区别和联系?提示两向量平行,对应的有向线段可能平行,也可能共线.两向量的共线和两向量平行是同一概念,但有向线段的平行和共线却意义不同.
2.填空(1)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a,b平行,通常记作a∥b.(2)我们规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a.(3)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.两个向量a与b相等,记作a=b.
3.做一做下列说法正确的是( )B.与实数类似,对于两个向量a,b有a=b,a>b,a
反思感悟 明确向量及其相关概念的联系与区别(1)区分向量与数量.向量既强调大小,又强调方向,而数量只与大小有关.(2)明确向量与有向线段的区别.有向线段有三要素,起点、方向、长度.只要起点不同,另外两个要素相同也不是同一条有向线段,但决定向量的要素只有两个,大小和方向,与表示向量的有向线段的起点无关.(3)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的,零向量的方向是任意的.(4)平行向量也叫共线向量,当两共线向量的方向相同且模相等时,两向量为相等向量.(5)向量之间不能比较大小,但它们的模可以比较大小.
变式训练1给出以下说法:①直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量;②零向量的长度为零,方向是任意的;③若a,b都是单位向量,则a=b;④有向线段就是向量;⑤单位向量大于零向量.其中正确说法的序号是 . 答案:②解析:直角坐标平面上的x轴、y轴是数轴,但不是向量,故①错误;由零向量的定义可知②正确;若a,b都是单位向量,则它们的模相等,但不一定方向相同,故③错误;有向线段可以用来表示向量,但它不是向量,故④错误;单位向量的模大于零向量的模,但不能说单位向量大于零向量,向量之间不能比较大小,故⑤错误.
平面向量的表示例2在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1),用直尺和圆规画出下列向量:
分析先确定起点,再根据大小和方向确定出终点,即可画出向量.
反思感悟 1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的大小确定向量的终点.2.注意事项:书写有向线段时,要注意起点和终点的不同;在书写字母表示时不要忘了字母上的箭头.
变式训练2如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,可以写出 个向量. 答案:12 解析:由向量的几何表示可知,可以写出12个向量,它们分别是
相等向量与共线向量角度1 相等向量与共线向量的内在关系例3判断下列命题是否正确,说明理由.(3)两个共线向量,若它们的起点不同,则终点也一定不同;(4)若向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;(5)两个起点相同而且相等的向量,其终点必相同;(6)两个有共同终点的向量,一定是共线向量.分析根据共线向量、相等向量的概念进行判断分析.
解:(1)错误,共线向量也叫做平行向量,所以两个共线向量不一定在同一条直线上;(3)错误,共线向量的长度不一定相等,当它们起点不同时,终点可以相同;(4)错误,零向量的方向是任意的,而零向量与任意向量都平行;(5)正确,由相等向量的定义可知;(6)错误,任意两个向量的终点都可以是相同的,可以不是共线向量.
角度2 向量在平面几何中的应用
反思感悟 1.寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些同向共线.2.寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再找同向与反向的向量.注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.3.对于共线向量所在直线的位置关系的判断,要注意直线平行或重合两种情况.4.证明或判断线段相等,只需证明或判断相应向量的长度(模)相等.5.证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不共线.
变式训练3(1)(多选题)给出下列命题,其中正确的是( )A.两个向量,当且仅当它们的起点相同,终点相同时才相等B.若平面上所有单位向量的起点移到同一个点,则其终点在同一个圆上D.若a=b,b=c,则a=c(2)如图,已知四边形ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点,
(1)答案:BCD解析:两个向量相等只要模相等且方向相同即可,而与起点和终点的位置无关,故A不正确;单位向量的长度为1,当所有单位向量的起点在同一点O时,终点都在以O为圆心,1为半径的圆上,故B正确;C、D显然正确.
关于一道向量模的问题的辨析典例已知A1,A2,…,A8是圆O上的八个等分点,则在以A1,A2,…,A8以及圆心这九个点中的任意两点为起点与终点的向量中,模等于半径长的向量有多少个?模等于半径长 倍的向量有多少个?
变式训练如图,四边形ABCD是边长为3的正方形,把各边三等分后,共有16个交点,从中选取2个交点组成向量,则与 平行且长度为2 的向量个数是 . 答案:8解析:图中有4个边长为2的正方形,每个正方形中有2个符合条件的向量.共计8个.
1.下列各量中是向量的是( )A.时间B.速度C.面积D.长度答案:B解析:速度既有大小又有方向,是向量,其余均是数量.2.给出命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量 相等;④若两个向量是相等向量,则它们一定是共线向量.以上命题中,正确命题的序号是( )A.①④B.②C.①③④D.②③答案:A解析:根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义,单位向量的模相等,但方向不同,故两个单位向量不一定相等,故②错误;向量 模相等,方向相反,故③错误.④显然正确,故选A.
4.当向量a与任一向量都平行时,向量a一定是 . 答案:零向量解析:由零向量的规定知,只有零向量与任一向量都平行.
5.如图,在正方形ABCD中,M,N分别为AB和CD的中点,在以A,B,C,D,M,N为起点与终点的所有向量中,相等的非零向量共有多少对?
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