苏科版八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性习题

这是一份苏科版八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性习题

2.5 等腰三角形的轴对称性 知识清单1）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）。3）有两条边相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。4）三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。5）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。6）三个角都相等的三角形是等边三角形。7）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。8）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。课后培优练级练培优第一阶——基础过关练1．（河北省秦皇岛市第2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题）下列命题：①等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线三线合一；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；③等腰三角形的一边长为3，另一边为7，则它的周长为13或17；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．其中正确的有（       ）A．2个 B．1个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据等腰三角形的三线合一可判断①；根据等边三角形的判定可判断②；根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系定理可判断③；线段垂直平分线的性质可判断④，由此即可得出答案．【详解】解：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线三线合一，命题①正确；有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，命题②正确；当腰长为3时，则这个等腰三角形的三边长分别为，不满足三角形的三边关系，当腰长为7时，则这个等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系，则它的周长为，即命题③错误；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，命题④正确；综上，正确的有3个，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、等边三角形的判定、线段垂直平分线的性质，熟练掌握各判定与性质是解题关键．2．（江苏省苏州市吴江区2021-2022学年八年级上学期12月月考数学试题）等腰三角形的一个角是80°，则它底角的度数是（       ）A．80°或20° B．80° C．80°或50° D．20°【答案】C【分析】据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案．【详解】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，②设该等腰三角形的底角是x，则2x+80°=180°，解可得，x=50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°；综上，该等腰三角形的底角的度数是50°或80°．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和定理，列出方程求解是正确解答本题的关键．3．（山东省枣庄市山亭区2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，AB//CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝45°，则∠EAB等于（　　）A．40° B．30° C．20° D．15°【答案】D【分析】先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差计算即可．【详解】解：为等边三角形，，，，，，，解得．故选：D．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．4．（江西省吉安市峡江县2021-2022学年七年级下学期期末检测数学试卷）已知等腰三角形的其中二边长分别为3，6，则这个等腰三角形的周长为（          ）A．12或15 B．12 C．13 D．15【答案】D【分析】因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有15．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．5．（山东省菏泽市牡丹区六校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，在中，，，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则的度数为（       ）A．70° B．50° C．40° D．30°【答案】D【分析】由△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．【详解】解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．故选：D．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．6．（福建省宁德市古田县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，等边中，，垂足为，点在线段上，，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC=45°，∴∠ECB=45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，故选：A．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．7．（河北省秦皇岛市第七中学2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题）如图，在中，点D为边上一点，给出如下关系：①平分；②于D；③D为中点．甲说：如果①②同时成立，可证明；乙说：如果②③同时成立，可证明；丙说：如果①③同时成立，可证明．则正确的说法是（       ）A．甲、乙正确，丙错误 B．甲正确，乙、丙错误 C．乙正确，甲、丙错误 D．甲、乙、丙都正确【答案】D【分析】通过①②可证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得判断甲的说法；通过②③可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，由此即可得判断乙的说法；延长至点，使，连接，先证出，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可判断丙的说法．【详解】解：当①②同时成立时，平分，，，，在和中，，，，即甲的说法正确；当②③同时成立时，则垂直平分，，即乙的说法正确；当①③同时成立时，如图，延长至点，使，连接，为中点，，在和中，，，，平分，，，，，即丙的说法正确；综上，甲、乙、丙都正确，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，较难的是证明丙的说法，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．8．（山东省济宁市鱼台县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）若直角三角形的斜边长为8cm，则斜边上的中线长为________cm．【答案】4【分析】根据直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半即可得出结论．【详解】解：在直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半，若直角三角形的斜边长为8cm，则斜边上的中线长为cm，故答案为：．【点睛】本题考查直角三角形的性质，掌握直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半是解决问题的关键．9．（山东省菏泽市菏泽经济技术开发区2021-2022学年八年级下学期第二次月考数学试题）已知、、是的三边，且满足，试判断的形状并说明理由．【答案】△ABC是等腰三角形，理由见解析【分析】首先将已知等式进行因式分解，然后由三角形两边之和大于第三边，解其方程得到，即可判定．【详解】∵，∵，，是的三边，∴，，即，∴△ABC是等腰三角形．【点睛】此题主要考查因式分解的应用，等腰三角形的判定，掌握因式分解是解题的关键．10．（陕西省安康市紫阳县2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题（B卷））如图，在中，，D为BC边上一点，，，求的度数．【答案】∠DAC＝74°【分析】根据等边对等角可得∠C＝∠B＝32°，然后根据三角形的内角和定理，即可求出∠BAC，从而求出∠DAC的度数．【详解】解：∵AB＝AC，∠B＝32°，∴∠C＝∠B＝32°，∴∠BAC＝180°﹣32°﹣32°＝116°，∵∠DAB＝42°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝116°﹣42°＝74°．【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，掌握等边对等角和三角形的内角和等于180°是解决此题的关键．11．（陕西省咸阳市武功县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图，E为的外角平分线上的一点，AE//BC，．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求CE的长．【答案】(1)证明见解析(2)4【分析】（1）先根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证；（2）先根据三角形全等的判定证出，再根据全等三角形的性质即可得．（1）证明：∵AE//BC，，，为的外角平分线上的一点，，，，是等腰三角形．（2）解：由（1）已得：，，在和中，，，，，．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．12．（陕西省西安市高陵区2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，，点在边上，点，在边上，连接，．若，求的度数．【答案】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求出∠ODC，∠ODE，再根据角的和差关系即可求出∠CDE的度数．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是求出∠ODC，∠ODE的度数．培优第二阶——拓展培优练1．（河南省周口市西华县2021-2022学年八年级上学期期中数学试题）如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（　　）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】A【分析】利用等边对等角和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和依次计算∠GDC和∠E即可．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠ACB＝∠CGD＋∠CDG，∴∠CGD＋∠CDG＝60°，∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°，∵∠CDG＝∠DFE＋∠E，∴∠DFE＋∠E＝30°，∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°，故选：A．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角和三角形的外角性质，利用等边对等角和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和解答是解题的关键．2．（广东省深圳外国语学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（       ）① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确；④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴，∴，即，∴，∴AD=BE，∴①正确，∵，∴，又∵，∴，即，又∵，∴，∴，又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，∴ ，∴PQ∥AE②正确，∵△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，③正确，∵AD=BE，AP=BQ，∴ ，即DP=QE，∵ ，∴∠DQE≠∠CDE，∴DE≠DP，故④错误；∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，∴⑤正确．故选：C．【点睛】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点的运用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大．3．（江苏省南京市玄武区四校2021-2022学年八年级11月阶段检测数学试题）如图，四边形ABCD是正方形，M、N分别为边AB、AD的中点，点P在正方形的边上（包括顶点），且△MNP是等腰三角形，则符合条件的点P的个数有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【详解】解：如图，∵△MNP是等腰三角形，∴符合条件的点P的个数有4个，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，找出符合条件的点P的个数是解题的关键．4．（云南省红河哈尼族彝族自治州建水县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，在等边中，BC边上的高，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（       ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】先连接CE，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．【详解】解：如图，连接CE，∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，∴EB=EC，∴BE+EF=CE+EF，∴当C、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴AD=CF=6，即EF+BE的最小值为6．故选：B【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．5．（河北省廊坊市大城县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（       ）①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4．A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】B【分析】如图，连接AC，由△ABD是等边三角形得AB=AD，从而得点A、CD都在线段BD的垂直平分线上，即可判断①正确，由平行线的性质可得∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，即可判断②正确，三角形的外角性质得∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，从而判断③错误，先找到CE=AE，又由△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，得AD=AB=8，EF=DE=2，从而有CF=CE-EF=4，即可判断④正确．【详解】解：如图，连接AC，∵△ABD是等边三角形，∴AB=AD，∠ABD=∠DAB=∠EDF=60°，∵，∴点A、C都在线段BD的垂直平分线上，∴连接AC，则AC垂直平分线段BD，故①正确，∵，∴∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，∴△DEF是等边三角形，故②正确，∵BC=BD，，∴∠CDB=∠CBD=40°，∵∠DFE=60°，∴∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，故③错误，∵AC垂直平分BD，AB=AD，∠BAD=60°，∴∠CAB=∠CAD=30°，∵AB//CE，∴∠ACE=∠CAB=∠CAD，∴CE=AE，∵△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，∴AD=AB=8，EF=DE=2，∴CF=CE-EF=AE-EF=AD-DE-EF=8-2-2=4，故④正确，故选：B．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．6．（陕西省安康市紫阳县2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题（B卷））在中，，，以BC为一边画等腰，使得它的第三个顶点P在的斜边AB上，则的度数为________．【答案】或或【分析】根据题意画出图形，分， ，三种情况讨论，根据三角形的内角和定理即可求解．【详解】如图，当时，，，当时，，当时，．故答案为：或或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，分类讨论是解题的关键．7．（江西省新余市第一中学2021-2022学年八年级下学期第二次摸底考试数学试卷　）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有_________【答案】②③⑤【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．【详解】解：∵∠B、∠C的角平分线交于点F，∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，设∠DBF＝∠CBF＝α，∠ECF＝∠BCF＝β，∵，∴∠DFB＝∠CBF＝α，∠EFC＝∠BCF＝β，∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴DB＝DF，EF＝EC，∴△BDF与△CEF为等腰三角形，∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，故②正确；∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC，故③正确；只有当△ABC是等腰三角形时，即∠ABC=∠ACB，则∠FBC=∠FCB，∠ADE=∠AED，则BF＝CF，AD=AE，根据现有条件无法证明BF=CF，并且无法证明∠ADE=∠A或∠AED=∠A，即无法证明△ADE为等腰三角形，故①、④错误；∵∠A＝80°，∴∠FBC＋∠FCB＝＝50°，∴∠BFC＝180°－50°＝130°，故⑤正确．故答案为②③⑤．【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定及角平分线的定义及平行线的性质，三角形内角和定理；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．8．（海南省乐东黎族自治县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，等腰三角形ABC的面积为24，底边，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC、AB于E、F两点，点M为线段EF上一动点，点D为BC的中点，连接CM、DM．在点M的运动过程中，△CDM的周长存在最______值（填入“大”或“小”），最值为______．【答案】     小     11【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，MA，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，∴MA=MC，∴MC+DM=MA+DM≥AD，∴MC+DM有最小值，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短为：，故答案为：小，11．【点睛】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题关键．9．（贵州省遵义市仁怀市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）如图，在中，，点P在的平分线上，将沿对折，使点B恰好落在边上的点D处，连接，若，则______．【答案】【分析】根据等腰三角形底角相等、角平分线的性质和折叠的性质，证得，从而得到，，进一步证明，再根据得到，推算出，再根据三角形内角和定理即可得到答案．【详解】解：如下图所所示，连接，∵点P在的平分线上，∴，∵，∴,∵折叠，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∵ ,∴,∴,∴,∴,∵∴,∴．【点睛】本题考查等腰三角形、角平分线、全等三角形、三角形内角和定理和三角形外角定理，解题的关键是证明．10．（山东省枣庄市山亭区2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝______°，∠DEC＝______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变______（填“大”或“小”）；(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请写出∠BDA的度数．并说明理由．【答案】(1)25，115，小 (2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE，见解析(3)可以，∠BDA的度数为110°或80°，见解析【分析】（1）先求出∠ADC的度数，即可求出∠EDC的度数，再利用三角形内角和定理即可求出∠DEC的度数，根据点D从B向C运动时，∠BAD逐渐增大，而∠B不变化，∠B+∠BAD+∠BDA=180°，即可得到答案；（2）根据全等三角形的判定条件求解即可；（3）先证明当△ADE时等腰三角形，只存在AD=ED或AE=DE两种情况，然后分这两种情况讨论求解即可；（1）解：∵∠BDA=115°，∴∠ADC=180°-115°=65°，∵∠ADE=40°，∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=25°，∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°；∵点D从B向C运动时，∠BAD逐渐增大，而∠B不变化，∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∴点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小，故答案为：25，115，小；（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠B＝∠C＝40°，∴∠DEC+∠EDC＝140°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB+∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，又∵AB＝DC＝2，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）解：当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由：∵∠C=∠ADE=40°，∠AED=∠C+∠EDC，∴∠AED＞∠ADE，∴当△ADE时等腰三角形，只存在AD=ED或AE=DE两种情况，当AD=ED时，∴∠DAE=∠DEA，∵∠ADE=40°，∴，∴∠EDC=∠AED-∠C=30°，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=70°，∴∠BDA=180°-∠ADC=110°；当AE=DE时，∴∠EAD=∠EDA=40°，∴，∴∠EDC=∠AED-∠C=60°，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=100°，∴∠ADB=180°-∠ADC=80°，综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．11．（福建省三明市永安市2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）已知：如图，△ABC是等边三角形，边长为6，点D为动点，AD绕点A逆时针旋转60°得到AE．(1)如图1，连接BD，CE，求证；(2)如图2，，连接DE，求证：点B，D，E三点在同一条直线上；(3)如图3，点D在△ABC的高BF上，连接EF，求EF的最小值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；（2）∠BAD=∠CAE=∠CBE，所以∠ABC=∠ABD+∠CBE=∠ABD+∠BAD=60°，从而得出∠ADB=120°，进一步得出结论；（3）可证得∠ACE=∠ABF=30°，从而得出点E的运动轨迹，进而求得EF的最小值．（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即：∠BAD=CAE，在△BAD和△CAE中， ，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE；（2）由（1）知：∠CAE=∠BAD，∵∠CAE=∠CBE，∴∠BAD=∠CBE，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABD+∠CBE=60°，∴∠ABD+∠BAD=60°，∴∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=120°，∵AD=AE，∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE=60°，∴∠ADB+∠ADE=180°，∴B、D、E在同一条直线上；（3）如图，连接CE，由（1）得：△BAD≌△CAE，∴∠ACE=∠ABD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ACB=∠ABC=60°，∵BF⊥AC，∴∠ABF=∠ABC＝30°，CF=AF=AC=3，∴∠ACE=30°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴点E在过点C且与BC垂直的直线上运动，∴当FE垂直于该直线时，CE最小（图中点CE′），∵∠CE′F=90°，∠ACE=30°，∴FE′=CF＝，∴EF的最小值为：．【点睛】本题考查了等边三角形性质，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型．12．（江西省景德镇市乐平市2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，在中，，于点D，于点E．AD交B于点F，点G为BC边的中点，作交直线FG于点H．(1)如图1，当，时，______，______．(2)如图2，当时，试探索AF与BH的数量关系，并证明．(3)如图3，当时，（2）中AF与BH的数量关系______成立（填“仍然”或“不再”）．请说明理由．【答案】(1)3；3(2)BH＝CF，见解析(3)仍然，见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AF＝CF＝BF＝3，再说明BF＝BH，可得答案；（2）连接CF，首先利用ASA证明△ADC≌△BDF，得DF＝DC，则∠DCF＝45°，再证明△CGF≌△BGH，得BH＝CF，从而证明结论；（3）连接CF，先证明CFBH，得到∠H＝∠CFG，再证明△CGF≌△BGH（AAS），从而解决问题．（1）解：如图1，∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∠CBE＝30°，∴AF＝CF＝3，∵BH⊥AB，∴∠ABH＝90°，∴∠HBC＝∠ABH－∠ABC＝30°，∵AD⊥BC，∴∠BDH＝∠BDF＝90°，AD垂直平分BC，∴∠H＝90°－∠HBC＝60°，∠BFH＝90°－∠CBE＝60°，BF＝CF＝AF＝3，∴∠H＝∠BFH＝60°，∴BH＝BF，∴BF＝BH＝CF＝3，故答案为：3，3；（2）AF＝BH，理由如下：连接CF，如图2，∵∠ABD＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∠ADC＝∠BDF＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AEF＝∠BDF＝∠ADC＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠EAF＝∠DBF，∴△ADC≌△BDF（ASA），∴DF＝DC，∴∠DCF＝45°，∵BH⊥AB，∴∠ABH＝90°，∴∠HBG＝∠ABH －∠ABD＝45°，∴∠HBG＝∠FCD，∵点G为BC边的中点，∴CG＝BG，∵∠BGH＝∠CGF，∴△CGF≌△BGH（ASA），∴BH＝CF，∵BA＝BC，BE⊥AC，∴BE是AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴AF＝BH；（3）仍然，证明如下：连接CF，如图3，∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E．由三角形三条高交于一点，得CF⊥AB．∵BH⊥AB，∴CFBH．∴∠H＝∠CFG，∵点G为BC边的中点，∴CG＝BG，∵∠BGH＝∠CGF，∴△CGF≌△BGH（AAS），∴BH＝CF，∵BA＝BC，BE⊥AC，∴BE是AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴AF＝BH；故答案为：仍然．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、证明△CGF≌△BGH是解题的关键．13．（河南省郑州市郑东新区东区外国语学校2020-2021学年八年级下学期第一次月考数学试题）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BPQ的度数；(3)若BQ⊥AD于Q，PQ＝6，PE＝2，求AD的长．【答案】(1)证明见详解；(2)60°；(3)14．【分析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质，即可求得∠BPQ=60°；（3）利用（2）的结果求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ=BP=12，则易求BE=BP+PE=14，进而得出AD的长．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS）；（2）∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD，∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP，即∠BPQ=∠BAC=60°；（3）∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=12，∴BE=BP+PE=12+2=14，∵△ABE≌△CAD，∴BE=AD=14．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，等边三角形各内角为60°的性质，本题中求证△ABE≌△CAD是解题的关键．培优第三阶——中考沙场点兵1．（2022年贵州省黔西南州中考数学真题）在如图所示的纸片中，，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若，，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知CD=BD=AD，根据折叠的性质可知∠B=∠DCB=∠DCE=∠EDC=，根据平行线的性质，可得出∠AED=∠EDC，根据等边对等角即可求得∠EAD的度数，最后=∠EAD-∠CAD即可求出．【详解】∵D是斜边AB的中点，△ABC为直角三角形，∴CD=BD=AD，∵△CDE由△CDB沿CD折叠得到，∴△CDE≌△CDB，则CD=BD=AD=ED，∴∠B=∠DCB=∠DCE=∠DEC=，∴∠EDC=180°-2，∵，∴∠AED=∠EDC=180°-2，∵ED=AD，∴∠EAD=∠AED=180°-2，∵∠B=，△ABC为直角三角形，∴∠CAD=90°-，∴=∠EAD-∠CAD=180°-2-（90°-）=90°-，故选：B．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形两个锐角互余，熟练地掌握相关知识是解题的关键．2.（2022年黑龙江省大庆市中考数学真题）下列说法不正确的是(     )A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形【答案】A【分析】利用等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，对各选项逐项分析可得出正确答案．【详解】解：A、设∠1、∠2为锐角，因为：∠1+∠2+∠3=180°，所以：∠3可以为锐角、直角、钝角，所以该三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形，故A选项不正确，符合题意；B、如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，且BE=CD．∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CDB=∠BEC=90°，在Rt△BCD与Rt△CBE中，，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．，故B选项正确，不符合题意；C、根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，故C选项正确，不符合题意；D、底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故D选项正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，要求学生在学习过程中掌握三角形的各种性质及推论，不断提升数学学习的能力．3．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据作图过程可得BD平分∠ABC，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，根据作图过程可知：BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故选项C成立；∵∠BDC=∠ACB=72°，∴BD=BC，故选项A成立；∵∠ABD=∠A=36°，∴AD=BD，故选项B成立；没有条件能证明CD=AD，故选项D不成立；故选：D．【点睛】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．5．（2022年山东省烟台市中考数学真题）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（　　）A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°【答案】A【分析】根据题意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝75°，从而求出∠BAC的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB＝∠ABE＝40°，从而求出∠DAC的度数，即可解答．【详解】解：如图：由题意得：∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，∵AD∥BE，∴∠DAB＝∠ABE＝40°，∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°，故选：A．．【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．6．（2022年海南省中考数学真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线，交于点D，若，则的度数是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由作法得BD平分∠ABC，然后利用等腰三角形底角相等计算即可．【详解】由作法得BD平分∠ABC，∴设∴∵∴∵∴∵∴，解得∴故选：A【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形底角相等．7．（2022年海南省中考数学真题）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=60°，再由三角形外角的性质可得∠AEF=∠1-∠A=80°，从而得到∠BEF=100°，然后根据平行线的性质，即可求解．【详解】解：∵是等边三角形，∴∠A=60°，∵∠1=140°，∴∠AEF=∠1-∠A=80°，∴∠BEF=180°-∠AEF=100°，∵，∴∠2=∠BEF=100°．故选：B【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键．8．（2022年广西梧州市中考数学真题）如图，在中，是的角平分线，过点D分别作，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线这三线合一及角平分线的性质即可判断求解．【详解】解：∵是的角平分线，∴，∴，故选项A、D结论正确，不符合题意；又是的角平分线，，∴，故选项B结论正确，不符合题意；由已知条件推不出，故选项C结论错误，符合题意；故选：C．【点睛】本题考察了等腰三角形的性质及角平分线的性质，属于基础题，熟练掌握其性质即可．9．（2022年湖南省永州市中考数学真题）如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（　　　）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根据三角形内角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，∴∠A=30°，∵点D为边AC的中点，BD=2∴AC=2BD=4，∴BC=，故选：C．【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．9．（2022年江苏省宿迁市中考数学真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（       ）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．10．（2022年湖南省湘潭市中考数学真题）（多选题）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点、；②连接、，作直线，且与相交于点．则下列说法正确的是（       ）A．是等边三角形 B． C． D．【答案】ABC【分析】根据等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质一一判断即可．【详解】解：由作图可知：AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，故A选项正确∵等边三角形三线合一，由作图知，CD是线段AB的垂直平分线，∴，故B选项正确，∴，，故C选项正确，D选项错误．故选：ABC．【点睛】此题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．（2022年湖南省岳阳市中考数学真题）如图，在中，，于点，若，则______．【答案】3【分析】根据等腰三角形的性质可知是的中点，即可求出的长．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．12．（2022年江苏省苏州市中考数学真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．【答案】6【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3∴AB=AC当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．故答案为6．【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．13．（2022年浙江省嘉兴市中考数学真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上一个适当的条件．【答案】（答案不唯一）【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解．【详解】解：添加，理由如下：为等腰三角形，，为等边三角形，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握三角形的判断定理．14．（2022年福建省九年级数学黑卷中招模拟预测试题）如图，与都是等腰三角形，，连接AD，CE．求证：．【答案】证明过程见解析【分析】先证明∠ABD=∠CBE，进而得到△ABD≌△CBE即可得到∠BAD=∠BCE．【详解】解：∵AB=BC，BD=BE，∴∠BAC=∠BCA，∠BDE=∠BED，由三角形内角和定理可知：∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC，∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180°-2∠BDE，由已知条件知∠BAC=∠BDE，∴∠ABC=∠DBE，且∠ABD=∠ABC+∠CBD，∠CBE=∠DBE+∠CBD，∴∠ABD=∠CBE，在△ABD和△CBE中：，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴∠BAD=∠BCE．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形全等的判定方法，本题的关键是证明∠ABC=∠DBE进一步得到∠ABD=∠CBE．15．（2022年青海省中考数学真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.         图1 图2【答案】(1)见解析(2)；【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．(1)证明：∵和是顶角相等的等腰三角形，∴，，，∴，∴．在和中，，∴，∴．(2)解：，，理由如下：由（1）的方法得，，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．∴．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．