2022年高中数学新教材人教B版选择性必修第一册学案模块综合试卷(一)

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册本册综合学案，共13页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知A，B都是数轴上的点，A(3)，B(－2)，则3eq \(OA,\s\up6(→))＋4eq \(OB,\s\up6(→))的坐标为( )
A．17 B．1 C．－1 D．－17
答案 B
解析 由题意，可得向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐标为3，向量eq \(OB,\s\up6(→))的坐标为－2，所以向量3eq \(OA,\s\up6(→))＋4eq \(OB,\s\up6(→))的坐标为3×3＋4×(－2)＝1.
2．已知直线(a＋2)x＋y＋8＝0与直线(2a－1)x－(a＋2)y－7＝0垂直，则a等于( )
A．－3±eq \r(6) B．0或－2
C．1或－2 D.eq \f(1,2)或－2
答案 C
解析 由于直线(a＋2)x＋y＋8＝0与直线(2a－1)x－(a＋2)y－7＝0垂直，
则(a＋2)(2a－1)－(a＋2)＝0，
整理得(a＋2)(a－1)＝0，解得a＝－2或1.
3.2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小五角星的姿态与大五角星相近．为便于研究，如图，以大五角星的中心点为原点，建立平面直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小五角星的一条边AB所在直线的倾斜角约为( )
A．0° B．1° C．2° D．3°
答案 C
解析 ∵O，O3都为五角星的中心点，
∴OO3平分第三颗小五角星的一个角，
又由五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°，
过O3作x轴平行线O3E，则∠OO3E＝α≈16°，
∴直线AB的倾斜角为18°－16°＝2°.
4．在空间四边形OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，且eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(MB,\s\up6(→))，则eq \(MC,\s\up6(→))等于( )
A．－eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b＋c B．－eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b＋c
C.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b－c D.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b－c
答案 A
解析 ∵eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(MB,\s\up6(→))，
∴eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→)).
∴eq \(MC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))
＝eq \(OC,\s\up6(→))－(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→)))
＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))))
＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(OB,\s\up6(→))－\f(2,3)\(OA,\s\up6(→))))
＝－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b＋c.
5．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，A(－1,0)，B(1,0)．点P满足kPA·kPB＝3且|PA|＋|PB|＝4，则|OP|等于( )
A.eq \f(7\r(13),13) B.eq \f(\r(85),5) C.eq \f(5\r(13),13) D.eq \f(\r(13),2)
答案 B
解析 设P(x，y)，
∵|PA|＋|PB|＝4>|AB|，
∴点P在椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上，①
∵kPA·kPB＝3，∴eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－1)＝3，
即y2＝3x2－3，②
联立①②可得x2＝eq \f(8,5)，y2＝eq \f(9,5)，
则|OP|＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(\f(17,5))＝eq \f(\r(85),5).
6．若圆C1与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－36＝0关于点P(2，－2)对称，则圆C1与圆C2的公共弦长为( )
A．6 B．5eq \r(2) C．8 D．8eq \r(2)
答案 C
解析 由题意知，圆C2的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝41，圆心C2(－1,2)，半径r＝eq \r(41)，
因为圆C1与圆C2关于点P(2，－2)对称，
则由圆的对称性可得点P(2，－2)即为两圆公共弦的中点，
则公共弦长为2eq \r(r2－|C2P|2)＝2eq \r(41－[2＋12＋－2－22])＝8.
7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AD，CC1，A1D1的中点，则B1P与MN所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(30),10) B．－eq \f(1,5) C.eq \f(\r(70),10) D.eq \f(1,5)
答案 A
解析 如图，以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则M(0,1,0)，N(2,2,1)，B1(2,0,2)，P(0,1,2)，
所以eq \(B1P,\s\up6(—→))＝(－2,1,0)，
eq \(MN,\s\up6(→))＝(2,1,1)，
设B1P与MN所成的角为θ，
所以cs θ＝eq \f(|\(B1P,\s\up6(—→))·\(MN,\s\up6(→))|,|\(B1P,\s\up6(—→))|·|\(MN,\s\up6(→))|)＝eq \f(|－2×2＋1|,\r(5)×\r(6))＝eq \f(\r(30),10)，
所以B1P与MN所成角的余弦值为eq \f(\r(30),10).
8．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)) C．(1,0) D．(2,0)
答案 B
解析 方法一 ∵抛物线C关于x轴对称，
∴D，E两点关于x轴对称．
可得出直线x＝2与抛物线的两交点的坐标分别为(2,2eq \r(p))，(2，－2eq \r(p))．
不妨设D(2,2eq \r(p))，E(2，－2eq \r(p))，
则eq \(OD,\s\up6(→))＝(2,2eq \r(p))，eq \(OE,\s\up6(→))＝(2，－2eq \r(p))．
又∵OD⊥OE，
∴eq \(OD,\s\up6(→))·eq \(OE,\s\up6(→))＝4－4p＝0，解得p＝1，
∴C的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)).
方法二 ∵抛物线C关于x轴对称，
∴D，E两点关于x轴对称．
∵OD⊥OE，∴D，E两点横、纵坐标的绝对值均相等．
不妨设点D(2,2)，将点D的坐标代入抛物线C：y2＝2px，得4＝4p，解得p＝1，
故C的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)).
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．若a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1,1)，a与b的夹角为120°，则λ可以取的值为( )
A．－17 B．17 C．－1 D．1
答案 BC
解析 由题意，得|a|＝eq \r(5＋λ2)，|b|＝eq \r(6)，
所以a·b＝|a||b|cs 120°＝－eq \f(1,2)×eq \r(6)×eq \r(5＋λ2)
＝－2－λ－2＝－4－λ，
即λ2－16λ－17＝0，得λ＝17或λ＝－1.
10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，则l1∥l2
B．直线l的方向向量是a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)，则l⊥α
C．两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝(2,2，－1)，v＝(－3，4,2)，则α⊥β
D．直线l的方向向量是a＝(0,3,0)，平面α的法向量是u＝(0，－5,0)，则l∥α
答案 AC
解析 对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，且b＝－a，所以l1∥l2，选项正确；对于B，直线l的方向向量是a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)，且a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0，所以l∥α或l⊂α，选项错误；对于C，两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，且u·v＝2×
(－3)＋2×4－1×2＝0，所以α⊥β，选项正确；对于D，直线l的方向向量是a＝(0,3,0)，平面α的法向量是u＝(0，－5,0)，且u＝－eq \f(5,3)a，所以l⊥α，选项错误．
11．已知圆M：x2＋y2－4x－1＝0，点P(x，y)是圆M上的动点，则下列说法正确的有( )
A．圆M关于直线x＋3y－2＝0对称
B．直线x＋y＝0与M的相交弦长为eq \r(3)
C．t＝eq \f(y,x＋3)的最大值为eq \f(1,2)
D．x2＋y2的最小值为9－4eq \r(5)
答案 ACD
解析 圆M的标准方程是(x－2)2＋y2＝5，圆心M(2,0)，半径r＝eq \r(5)，易得M点在直线x＋3y－2＝0上，A正确；点M到直线x＋y＝0的距离为d＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)，弦长为l＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(\r(5)2－\r(2)2)＝2eq \r(3)，B错误；由t＝eq \f(y,x＋3)得y＝t(x＋3)，代入圆的方程整理得(1＋t2)x2＋
(6t2－4)x＋9t2－1＝0，Δ＝(6t2－4)2－4(1＋t2)(9t2－1)＝－80t2＋20≥0，－eq \f(1,2)≤t≤eq \f(1,2)，所以t的最大值是eq \f(1,2)，C正确；|OM|＝2，|OP|min＝eq \r(5)－2，所以x2＋y2的最小值是(|OP|min)2＝9－4eq \r(5)，D正确．
12．在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2＝2y的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则( )
A. y1y2＝eq \f(1,4)
B．以AB为直径的圆与直线y＝－eq \f(1,2)相切
C. |OA|＋|OB|的最小值是2eq \r(2)
D．经过点B与x轴垂直的直线与直线OA的交点一定在定直线上
答案 ABD
解析 抛物线的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，由题意知，直线AB的斜率必存在，设直线AB的方程为y＝kx＋eq \f(1,2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋\f(1,2)，,x2＝2y，))可得x2－2kx－1＝0，
所以x1＋x2＝2k，x1x2＝－1，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋1＝2k2＋1，
y1y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx1＋\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx2＋\f(1,2)))＝k2x1x2＋eq \f(1,2)k(x1＋x2)＋eq \f(1,4)＝eq \f(1,4)，故A正确；
以AB为直径的圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k，k2＋\f(1,2)))，半径为eq \f(|AB|,2)＝eq \f(y1＋y2＋1,2)＝k2＋1，
所以圆心到直线y＝－eq \f(1,2)的距离为k2＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝k2＋1，等于半径，
所以以AB为直径的圆与直线y＝－eq \f(1,2)相切，故B正确；
当直线AB与x轴平行时，|OA|＝|OB|＝eq \f(\r(5),2)，|OA|＋|OB|＝eq \r(5)<2eq \r(2)，
所以|OA|＋|OB|的最小值不是2eq \r(2)，故C错误；
直线OA的方程为y＝eq \f(y1,x1)x＝eq \f(x1,2)x，与x＝x2的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，\f(x1x2,2)))，
因为eq \f(x1x2,2)＝－eq \f(1,2)，所以经过点B与x轴垂直的直线与直线OA的交点在定直线y＝－eq \f(1,2)上，故D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
答案 －13
解析 由a＋b＋c＝0两边平方得(a＋b＋c)2＝0，
所以a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
所以a·b＋b·c＋c·a＝－eq \f(a2＋b2＋c2,2)＝－eq \f(9＋1＋16,2)＝－13.
14．过点(2，－1)且方向向量为(1,2)的直线的方程为__________________．
答案 2x－y－5＝0
解析 因为所求直线的方向向量为(1,2)，
所以该直线的斜率为k＝2，
又该直线过点(2，－1)，
因此所求直线方程为y－(－1)＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
15．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,5)＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(5),2)x，则该双曲线的离心率是________．
答案 eq \f(3,2)
解析 由题意，得eq \f(\r(5),2)＝eq \f(\r(5),a)，
所以a＝2，所以c＝eq \r(a2＋5)＝3，
所以该双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2).
16．数学家高斯曾经研究过这么一个问题：在一个给定半径的圆内有多少个坐标均为整数的点，被称为著名的高斯圆内整点问题．我国著名数学家陈景润于1963年在数学学报发表《圆内整点问题》而受到华罗庚赏识被调到中科院．设圆x2＋y2＝5，则圆内(包括圆上)整点有________个．
答案 21
解析 根据题意，画出图形，如图，
所以可得整点有21个．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知O为坐标原点，圆C过点A(1,2)，B(3,2)，D(2,3)，P为圆C外的一动点，过点P作圆C的切线PQ，Q为切点．
(1)求圆C的方程；
(2)在①|PQ|＝|PO|，②|PQ|＝eq \r(3)，③∠CPQ＝45°三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知________，求|PO|的最小值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)因为kAD＝eq \f(3－2,2－1)＝1，kBD＝eq \f(3－2,2－3)＝－1，
由kAD·kBD＝－1，得∠ADB＝90°，则AB为圆的直径，
所以圆心坐标为(2,2)，半径为1，
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1.
(2)若选①|PQ|＝|PO|，设P(x，y)，
则|PQ|2＋|CQ|2＝|CP|2，
即|OP|2＋|CQ|2＝|CP|2，
得x2＋y2＋1＝(x－2)2＋(y－2)2，
化简得P点的轨迹方程为4x＋4y－7＝0，
所以|PO|的最小值为O点到直线的距离d＝eq \f(7\r(2),8).
若选②|PQ|＝eq \r(3)，
则由|PQ|2＋|CQ|2＝|CP|2，得|CP|＝2，
即P点的轨迹是以(2,2)为圆心，2为半径的圆，
所以|PO|的最小值为O点到C点的距离减半径，
即|PO|min＝2eq \r(2)－2.
若选③∠CPQ＝45°，则|CP|＝eq \r(2)|CQ|＝eq \r(2)，
即P点的轨迹是以(2,2)为圆心，eq \r(2)为半径的圆，
所以|PO|的最小值为O点到C点的距离减半径，
即|PO|min＝2eq \r(2)－eq \r(2)＝eq \r(2).
18．(12分)已知直线l1：x＋2y－3＝0和l2：2x＋y－3＝0相交于点A.
(1)求经过点A且与l1垂直的直线方程；
(2)设经过点P(0，－1)的直线l与l1，l2分别相交于B，C，若|AB|＝|AC|，求直线l的方程．
解 (1)联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－3＝0，,2x＋y－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))即A(1,1)，
因为直线l1：x＋2y－3＝0，
所以l1的斜率为k1＝－eq \f(1,2)，
设所求直线的斜率为k，因为与l1垂直，
所以k·k1＝－1，解得k＝2，
所以所求直线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
(2)因为|AB|＝|AC|，则线段BC的垂直平分线l′经过点A，所以l′的任意一点Q到直线l1与l2的距离相等，
设Q(x，y)，则eq \f(|x＋2y－3|,\r(12＋22))＝eq \f(|2x＋y－3|,\r(12＋22))，
化简得x＋y－2＝0或x－y＝0，即为直线l′的方程，
因为直线l与l′垂直，直线l′的斜率为±1，
故直线l的斜率为±1，
又直线l经过点P(0，－1)，
故所求方程为x－y－1＝0或x＋y＋1＝0.
19．(12分)如图，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1和B1C1的中点．
(1)求点D到平面BEF的距离；
(2)求BD与平面BEF所成角的余弦值．
解 (1)如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，
依题意，得B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(2,0,4)，F(4,2,4)，
则eq \(BE,\s\up6(→))＝(－2,0,4)，eq \(BF,\s\up6(→))＝(0,2,4)，
设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥eq \(BE,\s\up6(→))，n⊥eq \(BF,\s\up6(→))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(BE,\s\up6(→))＝－2x＋4z＝0，,n·\(BF,\s\up6(→))＝2y＋4z＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2z，,y＝－2z，))
由此取z＝1，
可得平面BEF的一个法向量为n＝(2，－2,1)，
又由eq \(DB,\s\up6(→))＝(4，－4,0)，
所以点D到平面BEF的距离为
d＝eq \f(|\(DB,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|4×2＋－4×－2＋0×1|,\r(22＋－22＋12))＝eq \f(16,3).
(2)设BD与平面BEF所成的角为θ，则θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
且sin θ＝|cs〈eq \(DB,\s\up6(→))，n〉|＝eq \f(|\(DB,\s\up6(→))·n|,|\(DB,\s\up6(→))|·|n|)＝eq \f(d,|\(DB,\s\up6(→))|)
＝eq \f(\f(16,3),\r(42＋－42))＝eq \f(2\r(2),3)，
所以BD与平面BEF所成角的余弦值为
cs θ＝eq \r(1－sin 2θ)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)))2)＝eq \f(1,3).
20.(12分)如图所示的几何体中，正方形ABCD所在平面垂直于平面APBQ，四边形APBQ为平行四边形，G为PC上一点，且BG⊥平面APC，AB＝2.
(1)求证：平面PAD⊥平面PBC；
(2)当PA＝PB时，求平面APC与平面BCQ所成角的正弦值．
(1)证明 因为平面ABCD⊥平面APBQ，平面APBQ∩平面ABCD＝AB，四边形ABCD为正方形，即BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥平面APBQ，
又因为AP⊂平面APBQ，所以AP⊥BC，
因为BG⊥平面APC，AP⊂平面APC，
所以AP⊥BG，
因为BC∩BG＝B，BC，BG⊂平面PBC，
所以AP⊥平面PBC，
因为AP⊂平面PAD，
所以平面PAD⊥平面PBC.
(2)解 当PA＝PB时，四边形APBQ是菱形，
设AB的中点为O，则OP⊥OB，
以O为坐标原点，OP为x轴，OB为y轴，过O平行于BC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为AB＝2，由(1)得AP⊥PB，
所以OP＝1，
所以A(0，－1,0)，B(0,1,0)，
C(0,1,2)，P(1,0,0)．
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(0,2,2)，eq \(BP,\s\up6(→))＝(1，－1,0)，
设n1＝(x，y，z)为平面APC的一个法向量，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(AP,\s\up6(→))＝0，,n1·\(AC,\s\up6(→))＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,2y＋2z＝0，))
可取x＝1，则n1＝(1，－1,1)，
因为四边形APBQ为平行四边形，△APB为等腰直角三角形，所以四边形APBQ为正方形，BP⊥BQ，
由(1)知BC⊥平面APBQ，PB⊂平面APBQ，
则BC⊥BP，BC∩BQ＝B，BC，BQ⊂平面BCQ，
所以BP⊥平面BCQ，
取平面BCQ的一个法向量为n2＝eq \(BP,\s\up6(→))＝(1，－1,0)，
所以cs〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝eq \f(\r(6),3)，
所以sin〈n1，n2〉＝eq \f(\r(3),3)，
即平面APC与平面BCQ所成角的正弦值为eq \f(\r(3),3).
21．(12分)已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝eq \f(4,3)|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
解 (1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，
其中c＝eq \r(a2－b2).
不妨设A，C在第一象限，
由题意得A，B的纵坐标分别为eq \f(b2,a)，－eq \f(b2,a)；
C，D的纵坐标分别为2c，－2c，
故|AB|＝eq \f(2b2,a)，|CD|＝4c.
由|CD|＝eq \f(4,3)|AB|，得4c＝eq \f(8b2,3a)，
即3×eq \f(c,a)＝2－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2，
解得eq \f(c,a)＝－2(舍去)或eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
所以C1的离心率为eq \f(1,2).
(2)由(1)知a＝2c，b＝eq \r(3)c，故C1：eq \f(x2,4c2)＋eq \f(y2,3c2)＝1.
所以C1的四个顶点坐标分别为(2c,0)，(－2c,0)，(0，eq \r(3)c)，(0，－eq \r(3)c)，C2的准线为x＝－c.
由已知得3c＋c＋c＋c＝12，即c＝2.
所以C1的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1，
C2的标准方程为y2＝8x.
22．(12分)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点和抛物线y2＝12x的焦点相同，且椭圆过点(－2，eq \r(2))．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，点C在椭圆上，问平行四边形OACB的面积是否为定值？若是定值，求出该定值，若不是，说明理由．
解 (1)抛物线y2＝12x的焦点坐标为(3,0)．
由题意，椭圆的一个焦点坐标为(3,0)，
所以另一个焦点是(－3,0)，c＝3.
根据椭圆的定义有2a＝eq \r(3＋22＋0－\r(2)2)＋eq \r(－3＋22＋0－\r(2)2)＝4eq \r(3)，
所以a＝2eq \r(3)，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C：eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x0，y0)，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,12)＋\f(y2,3)＝1，①,y＝kx＋m， ②))
将②代入①整理得，(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－3)＝16(3－m2＋12k2)>0，
x1＋x2＝eq \f(－8km,1＋4k2)，x1x2＝eq \f(4m2－12,1＋4k2)，
因为OACB是平行四边形，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，
所以x0＝x1＋x2＝eq \f(－8km,1＋4k2)，
y0＝y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝eq \f(2m,1＋4k2)，
因为(x0，y0)在椭圆上，代入得
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－8km,1＋4k2)))2＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2m,1＋4k2)))2＝12，
整理得，m2＝eq \f(3,4)(1＋4k2),
O到直线AB的距离为d＝eq \f(|m|,\r(1＋k2))，
所以S▱OACB＝2S△OAB＝|AB|·d
＝eq \f(|m|,\r(1＋k))·eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝|m|eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝|m|·eq \f(4·\r(3＋12k2－m2),1＋4k2)
＝4·|m|·eq \f(\r(3m2),1＋4k2)
＝eq \f(4\r(3)m2,1＋4k2)＝3eq \r(3)，
所以平行四边形OACB的面积为定值3eq \r(3).