高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第1课时课时练习

[A　基础达标]

1．函数y＝的定义域是(　　)

A．[0，＋∞) B．(－∞，0]

C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

解析：选B．因为1－3x≥0，即3x≤1.所以x≤0，即x∈(－∞，0].

2．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在(0，2)内的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的大致图象是(　　)

解析：选B．对于函数f(x)＝ax，当x＝0时，f(0)＝a0＝1，当x＝2时，f(2)＝a2.

由于指数函数是单调函数，则有a2>1，即a>1.

则函数f(x)的图象是上升的且在x轴上方，结合选项可知B正确．

3．函数y＝－1的值域为(　　)

A．[1，＋∞) B．(－1，1)

C．(－1，＋∞) D．[－1，1)

解析：选D．因为4－2x≥0，所以2x≤4，即x≤2，即函数的定义域是(－∞，2].因为0<2x≤4，所以－4≤－2x<0，所以0≤4－2x<4.

令t＝4－2x，则t∈[0，4)，所以∈[0，2)，

所以y∈[－1，1)，即函数y的值域是[－1，1)，故选D．

4．函数y＝a|x|＋1(a>0且a≠1)，x∈[－k，k]，k>0的图象可能为(　　)

解析：选C．由题意易知，函数y＝a|x|＋1为偶函数，且y>1，排除A，B．当a>1时，函数图象在[0，k]上单调递增，但图象应该是下凸，排除D．所以选C．

5．(多选)已知函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则(　　)

A．a＞1  B．0＜a＜1

C．b＞1  D．0＜b＜1

解析：选BD．根据图象，函数f(x)＝ax－b是单调递减的，

所以指数函数y＝ax的底数a∈(0，1).

根据图象的纵截距，令x＝0，y＝1－b∈(0，1)，解得b∈(0，1)，

即a∈(0，1)，b∈(0，1)，

故选BD．

6．函数f(x)＝2x在[－1，3]上的最小值是________．

解析：因为f(x)＝2x在[－1，3]上单调递增，所以最小值为f(－1)＝2－1＝.

答案：

7．已知函数y＝ax－m＋2的图象过定点(2，3)，则实数m＝________．

解析：由得m＝2.

答案：2

8．已知函数y＝的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围是________．

解析：由ax－1≥0，得ax≥1＝a0，因为x∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0<a<1.

答案：(0，1)

9．求下列函数的定义域和值域：

(1)y＝2－1；(2)y＝.

解：(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2>0且2≠1，故2－1>－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，值域为(－1，0)∪(0，＋∞).

(2)函数y＝的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0<≤9，所以函数y＝的值域为(0，9].

10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1.

(1)求a的值；

(2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域．

解：(1)因为函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，所以a2－1＝a＝.

(2)由(1)得f(x)＝(x≥0)，函数为减函数，当x＝0时，函数取最大值2，故f(x)的值域是(0，2]，

所以函数y＝f(x)＋1＝＋1(x≥0)的值域是(1，3].

[B　能力提升]

11．(多选)设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　)

A．f(－2)＞f(－1) B．f(－1)＞f(－2)

C．f(－2)＞f(2) D．f(－4)＞f(3)

解析：选AD．由f(2)＝a－2＝4得a＝，即f(x)＝＝2|x|，故f(－2)＞f(－1)，f(－2)＝f(2)，f(－4)＝f(4)＞f(3)，所以A，D正确．

12．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．函数f(x)＝在定义域上是减函数

B．函数f(x)＝2x－x2与x轴有且只有两个交点

C．函数y＝2|x|的最小值是1

D．在同一直角坐标系中函数y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称

解析：选CD．对于A，f(x)＝在定义域上不具有单调性，故命题错误；对于B，在同一坐标系中，画出y＝2x与y＝x2的图象，有三个交点，故函数f(x)＝2x－x2与x轴有三个交点，一个负值，两个正值，故命题错误；对于C，因为|x|≥0，所以2|x|≥20＝1，所以函数y＝2|x|的最小值是1，故命题正确；对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称，命题正确．故选CD．

13．定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1，已知函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，9]，则区间[a，b]的长度的最大值为________，最小值为________．

解析：由3|x|＝1，得x＝0，由3|x|＝9，得x＝±2，故满足题意的定义域可以为[－2，m](0≤m≤2)或[n，2](－2≤n≤0)，故区间[a，b]的长度的最大值为4，最小值为2.

答案：4　2

14．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1).

(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；

(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；

(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围．

解：(1)因为f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)，

所以解得a＝，b＝－3.

(2)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0，1).

因为f(0)＝1＋b<0，即b<－1，所以b的取值范围为(－∞，－1).　

(3)由题图①可知y＝|f(x)|的图象如图所示．由图可知使|f(x)|＝m有且仅有一个实数解的m的取值范围为{m|m＝0或m≥3}．

[C　拓展探究]

15．若直线y＝2a与函数f(x)＝|ax－1|＋1(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，求实数 a的取值范围．

解：当a>1时，作出函数f(x)＝|ax－1|＋1的图象如图①，则1<2a<2，得<a<1，矛盾；

当0<a<1时，作出函数f(x)＝|ax－1|＋1的图象如图②，则1<2a<2，得<a<1.

综上可知，实数a的取值范围为.