人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用课后练习题

习题课　均值不等式的应用

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则(　　)

A.x= B.x≤

C.x> D.x≥

答案B

解析由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤2,所以1+x≤1+,故x≤.

2.已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为(　　)

A.8 B.4 

C.2 D.0

答案A

解析由x+2y-xy=0,得=1,且x>0,y>0.所以x+2y=(x+2y)×=+4≥4+4=8,当且仅当x=2y,即x=4,y=2时等号成立.

3.若正实数a,b满足a+b=1,则(　　)

A.有最大值4 

B.ab有最小值

C.有最大值 

D.a2+b2有最小值

答案C

解析因为正实数a,b满足a+b=1,所以=2+≥2+2=4,当且仅当a=b=时,等号成立,故有最小值4,故A不正确;由均值不等式可得a+b=1≥2,当且仅当a=b=时,等号成立,∴ab≤,故ab有最大值,故B不正确;由于()2=a+b+2=1+2≤2,∴,故有最大值为,故C正确;∵a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-,故a2+b2有最小值,故D不正确.

4.(多选题)(2020辽宁高一月考)已知正数a,b满足a+b=4,ab的最大值为t,不等式x2+3x-t<0的解集为M,则下列结论正确的是(　　)

A.t=2 B.t=4

C.M={x|-4<x<1} D.M={x|-1<x<4}

答案BC

解析∵正数a,b满足a+b=4,∴ab≤=4,即ab的最大值为t=4,当且仅当a=b=2时,等号成立.∵x2+3x-4<0的解集为M,∴M={x|-4<x<1}.

5.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使≥2成立的条件个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案C

解析由均值不等式的前提需“一正、二定、三相等”,即当均为正数时,可得≥2,此时只需a,b同号即可,所以①③④均满足要求.故选C.

6.已知一次函数y=-x+1的图像分别与x轴、y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值是　　　　,取得最值时a的值为　　　　. 

答案　1

解析因为A(2,0),B(0,1),所以0≤b≤1,由题意得a=2-2b,ab=(2-2b)b=2(1-b)·b≤2·2=.当且仅当1-b=b,即b=时等号成立,此时a=1,因此当b=,a=1时,ab的最大值为.

7.某公司一年需购买某种货物200吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为2万元,一年的总存储费用数值(单位:万元)恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是　　　　. 

答案20

解析设每次购买该种货物x吨,则需要购买次,则一年的总运费为×2=,一年的总存储费用为x,所以一年的总运费与总存储费用为+x≥2=40,当且仅当=x,即x=20时等号成立,故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,每次应购买该种货物20吨.

8.如图某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室,温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道,沿前侧内墙保留3米宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?

解设矩形的一边长为x米,则另一边长为米,因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)米,长为-2米.

由得4<x<400,

所以其面积S=(x-4)·-2=808-2x+≤808-2=808-160=648(m2).

当且仅当2x=,即x=40∈(4,400)时等号成立.因此当矩形温室的两边长分别为40米,20米时蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是648平方米.

9.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:

(1)≥8;

(2)1+1+≥9.

证明(1)因为a+b=1,a>0,b>0,

所以=2.

所以=2+≥2+2=4,

所以≥8当且仅当a=b=时等号成立.

(2)(方法1)因为a>0,b>0,a+b=1,

所以1+=1+=2+,

同理1+=2+,

所以1+1+=2+2+=5+2≥5+4=9.

所以1+1+≥9当且仅当a=b=时等号成立.

(方法2)1+1+=1+,

由(1)知,≥8,

故1+1+=1+≥9.

当且仅当a=b=时取等号.

等级考提升练

10.某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客,然后又将5 g的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金(　　)

A.大于10 g B.小于10 g

C.大于等于10 g D.小于等于10 g

答案A

解析设两臂长分别为a,b,两次放入的黄金数是x,y,

依题意有ax=5b,by=5a,所以xy=25.

因为,所以x+y≥10,

又a≠b,所以x≠y.

所以x+y>10,即两次所得黄金数大于10g.

11.若a,b为大于1的实数,且满足a+b=ab,则的最小值是(　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

答案B

解析因为a,b为大于1的实数,

所以>0,>0.

因为a+b=ab可知ab-(a+b)=0,所以≥2=4.

当且仅当a=3,b=时等号成立.

12.已知正实数m,n满足m+n=1,且使取得最小值.若y=,x=是方程y=xa的解,则a= (　　)

A.-1 B. C.2 D.3

答案C

解析=(m+n)=1++16=17+≥17+2=25.

当且仅当,又m+n=1,即m=,n=时,上式取等号,即取得最小值时,m=,n=,所以y=25,x=5,25=5a.得a=2.

13.若a>0,b>0,且a+b=1,则的最小值是(　　)

A.9 B.8 C.7 D.6

答案A

解析+1

=+1=+1≥+1=9.

所以当a=b=时,原式取最小值9.

14.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式≥m恒成立,则m的最大值等于(　　)

A.10 B.9 C.8 D.7

答案B

解析=(2a+b)=5+≥5+2=9,当且仅当,即a=b=时等号成立,所以的最小值为9,又因为≥m恒成立,所以m≤9,即m的最大值为9.

15.设a+b=2,b>0,则取最小值时a的值为　　　　　. 

答案-2

解析因为a+b=2,所以+2+1,当且仅当时等号成立.

又a+b=2,b>0,所以当b=-2a,a=-2时,取得最小值.

16.已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.

解x+y=(x+y)=a++b=10+.

因为x,y>0,a,b>0,

所以x+y≥10+2=18,

当且仅当时,等号成立.即=4.

又a+b=10,所以

17.(2021山东日照高一期末)第一机床厂投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元.该厂通过引进先进技术,在A生产线的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005x)倍.现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线,且每万元创造的利润为1.5(a-0.013x)万元,其中a>0.

(1)若技术改进后,A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;

(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润,求a的最大值.

解(1)由题意,得1.5(1+0.005x)(500-x)≥1.5×500,

整理得x2-300x≤0,

解得0≤x≤300,

又x>0,故0<x≤300,即x的取值范围为(0,300].

(2)由题意知,B生产线的利润为1.5(a-0.013x)x万元,

技术改进后,A生产线的利润为1.5(1+0.005x)(500-x)万元,

则1.5(a-0.013x)x≤1.5(1+0.005x)(500-x)恒成立,

又x>0,∴a≤+1.5恒成立,

又≥4,当且仅当x=250时,等号成立,

∴0<a≤5.5,即a的最大值为5.5.

新情境创新练

18.已知函数y=x+(m>0).

(1)若m=1,求当x>1时函数的最小值;

(2)当x<1时,函数有最大值-3,求实数m的值.

解(1)m=1时,y=x+=x-1++1.

因为x>1,所以x-1>0,所以y=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时取等号,所以当x>1时函数的最小值为3.

(2)因为x<1,所以x-1<0,所以y=x-1++1=-1-x++1≤-2+1=-2+1,当且仅当1-x=,即x=1-时取等号,即函数的最大值为-2+1,所以-2+1=-3,解得m=4.