人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.3.2 独立性检验当堂达标检测题

课后素养落实(二十二)　独立性检验

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得χ2＝7.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为(　　)

A．0.1%    B．1%  C．99%　    D．99.9%

C　[易知χ2＝7.01>6.635，对照临界值表知，有99%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关系．]

2．给出下列实际问题：

①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系．

其中用独立性检验可以解决的问题有(　　)

A．①②③ B．②④⑤

C．②③④⑤   D．①②③④⑤

B　[独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的方法，而①③都是概率问题，不能用独立性检验．]

3．下表是甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的2×2列联表，则χ2的值为(　　)

A．0.559    B．0.456  C．0.443    D．0.4

A　[χ2＝≈0.559，故选A．]

4．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是(　　)

A．若χ2>6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病

B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病

C．若从χ2统计量中得出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误

D．以上三种说法都不正确

C　[A，B是对χ2的误解，99%的把握认为吸烟和患肺病有关，是指通过大量的观察试验得出的一个数值，并不是100个人中必有99个人患肺病，也可能这100个人全健康．]

二、填空题

5．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算χ2＝7.63，根据这一数据分析，有______的把握说，打鼾与患心脏病是________的．(“有关”或“无关”)

99%　有关　[∵χ2＝7.63，∴χ2>6.635，

因此，有99%的把握说，打鼾与患心脏病是有关的．]

6．若两个分类变量x和y的列联表为：

则x与y之间有关系的概率约为________．

0.999　[χ2＝

≈18.822．

∵18.822>10.828，

∴x与y之间有关系的概率约为1－0.001＝0.999．]

三、解答题

7．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异；

(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．

附：χ2＝，

[解]　(1)将2×2列表中的数据代入公式计算，得

χ2＝＝≈4.762．

由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异．

(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}，

其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1,2，bj表示不喜欢甜品的学生，j＝1,2,3．

基本事件空间Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．

用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}．

事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝．

1．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生是否喜欢抖音和性别有关”作了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢抖音的人数占男生人数的，女生中喜欢抖音的人数占女生人数，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生的人数可能为(　　)

附：

A．20        B．40      C．60    D．30

C　[设男生可能有x人，依题意可得列联表如下：

若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则χ2≥3.841，

由χ2＝＝≥3.841，解得x≥40.330 5，

又由题意知，x是5的整数倍，∴60满足题意．故选C．]

2．(多选题)有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示，

其中a,15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X，Y有关，则a的值为(　　)

A．6　　    B．7  C．8　　    D．9

CD　[根据公式，得

χ2＝

＝＞3.841，根据a＞5且15－a＞5，

a∈Z，求得当a＝8或9时满足题意．]

3．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：

设H：服用此药的效果与患者的性别无关，则χ2≈________(小数点后保留一位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．

4.9　5%　[由公式计算得χ2≈4.9．∵χ2>3.841，∴我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．]

某次考试中500名学生的物理(满分为150分)成绩服从正态分布N(100,17.52)，数学成绩的频率分布直方图如图所示．

(1)如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次考试中物理、数学特别优秀的大约各有多少人？

(2)如果物理和数学两科都特别优秀的共有6人，从(1)中的这些学生中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X人，求X的分布列和数学期望；

(3)根据以上数据，是否有99.9%的把握认为物理特别优秀的学生，数学也特别优秀？

附：①若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.683，

P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954；

②χ2＝；

③

[解]　(1)因为物理成绩(记为Y)服从正态分布N(100,17.52)，所以物理特别优秀的概率为P(Y>135)≈(1－0.954)×＝0.023，

数学特别优秀的概率为0.001 6×20×＝0.024，

故物理特别优秀的学生大约有500×0.023≈12(人)，

数学特别优秀的学生大约有500×0.024＝12(人)．

(2)物理和数学两科都特别优秀的学生有6人，则由(1)可知单科特别优秀的学生有12人．

X的所有可能取值为0,1,2,3，

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，

所以X的分布列为

X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1．

(3)填写2×2列联表如下：

根据列联表中数据，得

χ2＝≈118.928>10.828，

所以有99.9%的把握认为物理特别优秀的学生，数学也特别优秀．