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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.2 随机变量4.2.2 离散型随机变量的分布列当堂达标检测题
展开课后素养落实(十四) 离散型随机变量的分布列
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.设X是一个离散型随机变量,其分布列为
X | 0 | 1 |
P | 9a2-a | 3-8a |
则常数a的值为( )
A. B.
C.或 D.-或-
A [由离散型随机变量分布列的性质可得
解得a=.]
2.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,….则P(2<X≤4)等于( )
A. B. C. D.
A [2<X≤4时,X=3,4.
所以P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=+=.]
3.已知随机变量X的分布列如下表所示,其中c=2b-a,则P(|X|=1)等于( )
X | -1 | 0 | 1 |
P | a | b | c |
A. B. C. D.
D [由条件知,2b=a+c.
由分布列的性质得a+b+c=3b=1,∴b=.
∴P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=1-P(X=0)=1-=.]
4.若P(X≤n)=1-a,P(X≥m)=1-b,其中m<n,则P(m≤X≤n)=( )
A.(1-a)(1-b) B.1-a(1-b)
C.1-(a+b) D.1-b(1-a)
C [P(m≤X≤n)=P(X≤n)-P(X<m)=1-a-[1-(1-b)]=1-(a+b).]
5.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为( )
X | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
则下列各式正确的是( )
A.P(X=1.5)=0 B.P(X>-1)=
C.P(2<X<4)=1 D.P(X<0)=0
AB [∵事件“X=1.5”不存在,∴P(X=1.5)=0,∴A正确.
∵P(X>-1)=1-P(X=-1)=,∴B正确.∵P(2<X<4)=P(X=3)=,P(X<0)=,∴C,D均不正确.故选AB.]
二、填空题
6.在射击的试验中,令X=,如果射中的概率为0.8,则随机变量X的分布列为________.
[答案]
X | 0 | 1 |
P | 0.2 | 0.8 |
7.设离散型随机变量X的概率分布列为:
X | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
P | m |
则P(X≤2)=________.
[P(X≤2)=1-=.]
8.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表,其中2b=a+c,且c=ab,
X | 0 | 2 | 3 |
P | a | b | c |
则这名运动员得3分的概率是________.
[由题中条件,知2b=a+c,c=ab,再由分布列的性质,知a+b+c=1,且a,b,c都是非负数,由三个方程联立成方程组,可解得a=,b=,c=,所以得3分的概率是.]
三、解答题
9.设离散型随机变量X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P | 0.2 | 0.1 | 0.1 | 0.3 | m |
试求:
(1)2X+1的分布列;
(2)|X-1|的分布列.
[解] 由分布列的性质知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,所以m=0.3.
列表为
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
2X+1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
|X-1| | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
(1)2X+1的分布列为
2X+1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
P | 0.2 | 0.1 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
(2)|X-1|的分布列为
|X-1| | 0 | 1 | 2 | 3 |
P | 0.1 | 0.3 | 0.3 | 0.3 |
10.设S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S.
(1)设“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举事件A包含的基本事件;
(2)设ξ=m2,求ξ的分布列.
[解] (1)由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,即S={x|-2≤x≤3}.
由于m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0,
所以事件A包含的基本事件为
(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).
(2)由于m的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3,
所以ξ=m2的所有不同取值为0,1,4,9,且有
P(ξ=0)=, P(ξ=1)==, P(ξ=4)==, P(ξ=9)=.
故ξ的分布列为
ξ | 0 | 1 | 4 | 9 |
P |
1.随机变量ξ的分布列如下.
ξ | 0 | 1 | 2 |
P | a | b | c |
其中a+c=2b,则函数f(x)=x2+2x+ξ有且只有一个零点的概率为( )
A. B. C. D.
B [由题意知解得b=.
∵f(x)=x2+2x+ξ有且只有一个零点,
∴Δ=4-4ξ=0,解得ξ=1,
∴P(ξ=1)=.故选B.]
2.(多选题)已知随机变量X的分布列如下表.
X | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
若P(X2<x)=,则实数x的值可以是( )
A.3 B.5 C.7 D.9
BCD [由随机变量X的分布列知X2的可能取值为0,1,4,9,且P(X2=0)=,
P(X2=1)=+=,
P(X2=4)=+=,
P(X2=9)=.
∵P(X2<x)==++,
∴实数x的取值范围是4<x≤9,
故选BCD.]
3.随机变量η的分布列如下:
η | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
P | 0.2 | x | 0.35 | 0.1 | 0.15 | 0.2 |
则x=________,P(η≤3)=________.
0 0.55 [由分布列的性质得0.2+x+0.35+0.1+0.15+0.2=1,
解得x=0.故P(η≤3)=P(η=1)+P(η=2)+P(η=3)=0.2+0.35=0.55.]
4.已知随机变量X只能取三个值x1,x2,x3,其概率依次相差为d,则d的取值范围为________.
[设X的分布列为
X | x1 | x2 | x3 |
P | a-d | a | a+d |
由离散型随机变量分布列的基本性质知
解得-≤d≤.]
为了解城市的空气质量,某市环保局随机抽取了该市一年内100天的空气质量指数(AQI)的相关数据如下表所示:
AQI | [0,50] | [51,100] | [101,150] | [151,200] | [201,300] | 大于300 |
空气质量等级 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
天数 | 6 | 14 | 18 | 27 | 25 | 10 |
(1)从空气质量指数属于[0,50],[51,100]的天数中任取3天,求这3天中空气质量等级至少有2天为优的概率;
(2)已知某企业每天的经济损失Y(单位:元)与空气质量指数X的关系式为Y=
请写出该企业一天的经济损失Y的分布列.
[解] (1)设ξ为选取的3天中空气质量等级为优的天数,则P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=+=.
(2)由题意可知Y的取值范围为{0,220,1 480}.
P(Y=0)=P(0≤X≤100)==,
P(Y=220)=P(101≤X≤300)==,
P(Y=1 480)=P(X>300)==,
因此Y的分布列为
Y | 0 | 220 | 1 480 |
P |
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