高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.2 随机变量4.2.2 离散型随机变量的分布列当堂达标检测题

课后素养落实(十四)　离散型随机变量的分布列

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为

则常数a的值为(　　)

A．　 B．

C．或   D．－或－

A　[由离散型随机变量分布列的性质可得

解得a＝．]

2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2，…．则P(2＜X≤4)等于(　　)

A．　　　    B．　　　  C．　　　    D．

A　[2＜X≤4时，X＝3,4．

所以P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝．]

3．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中c＝2b－a，则P(|X|＝1)等于(　　)

A．    B．  C．    D．

D　[由条件知，2b＝a＋c．

由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝．

∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝1－P(X＝0)＝1－＝．]

4．若P(X≤n)＝1－a，P(X≥m)＝1－b，其中m<n，则P(m≤X≤n)＝(　　)

A．(1－a)(1－b)   B．1－a(1－b)

C．1－(a＋b)   D．1－b(1－a)

C　[P(m≤X≤n)＝P(X≤n)－P(X＜m)＝1－a－[1－(1－b)]＝1－(a＋b)．]

5．(多选题)设离散型随机变量X的分布列为(　　)

则下列各式正确的是(　　)

A．P(X＝1.5)＝0   B．P(X＞－1)＝

C．P(2＜X＜4)＝1   D．P(X＜0)＝0

AB　[∵事件“X＝1.5”不存在，∴P(X＝1.5)＝0，∴A正确．

∵P(X＞－1)＝1－P(X＝－1)＝，∴B正确．∵P(2＜X＜4)＝P(X＝3)＝，P(X＜0)＝，∴C，D均不正确．故选AB．]

二、填空题

6．在射击的试验中，令X＝，如果射中的概率为0.8，则随机变量X的分布列为________．

[答案]　

7．设离散型随机变量X的概率分布列为：

则P(X≤2)＝________．

　[P(X≤2)＝1－＝．]

8．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中2b＝a＋c，且c＝ab，

则这名运动员得3分的概率是________．

　[由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝，b＝，c＝，所以得3分的概率是．]

三、解答题

9．设离散型随机变量X的分布列为

试求：

(1)2X＋1的分布列；

(2)|X－1|的分布列．

[解]　由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3．

列表为

(1)2X＋1的分布列为

(2)|X－1|的分布列为

10．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S．

(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的基本事件；

(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．

[解]　(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．

由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，

所以事件A包含的基本事件为

(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．

(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，

所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有

P(ξ＝0)＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝9)＝．

故ξ的分布列为

1．随机变量ξ的分布列如下．

其中a＋c＝2b，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(　　)

A．    B．  C．    D．

B　[由题意知解得b＝．

∵f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，

∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，

∴P(ξ＝1)＝．故选B．]

2．(多选题)已知随机变量X的分布列如下表．

若P(X2＜x)＝，则实数x的值可以是(　　)

A．3    B．5  C．7    D．9

BCD　[由随机变量X的分布列知X2的可能取值为0,1,4,9，且P(X2＝0)＝，

P(X2＝1)＝＋＝，

P(X2＝4)＝＋＝，

P(X2＝9)＝．

∵P(X2＜x)＝＝＋＋，

∴实数x的取值范围是4＜x≤9，

故选BCD．]

3．随机变量η的分布列如下：

则x＝________，P(η≤3)＝________．

0　0.55　[由分布列的性质得0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，

解得x＝0．故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55．]

4．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次相差为d，则d的取值范围为________．

　[设X的分布列为

由离散型随机变量分布列的基本性质知

解得－≤d≤．]

为了解城市的空气质量，某市环保局随机抽取了该市一年内100天的空气质量指数(AQI)的相关数据如下表所示：

(1)从空气质量指数属于[0,50]，[51,100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量等级至少有2天为优的概率；

(2)已知某企业每天的经济损失Y(单位：元)与空气质量指数X的关系式为Y＝

请写出该企业一天的经济损失Y的分布列．

[解]　(1)设ξ为选取的3天中空气质量等级为优的天数，则P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝．

(2)由题意可知Y的取值范围为{0,220,1 480}．

P(Y＝0)＝P(0≤X≤100)＝＝，

P(Y＝220)＝P(101≤X≤300)＝＝，

P(Y＝1 480)＝P(X＞300)＝＝，

因此Y的分布列为