高中数学模块综合测评含解析北师大版必修第二册

这是一份数学必修 第二册全册综合课后作业题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

模块综合测评
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则|a－b|的值为(　　)
A． B．1 C．2 D．3
B　[如图，将向量a，b的起点都移到原点，即a＝，b＝，则|a－b|＝||且∠xOA＝75°，∠xOB＝15°，于是∠AOB＝60°，又因为|a|＝|b|＝1，则△AOB为正三角形，从而||＝|a－b|＝1.]
2．函数y＝3sin ＋cos 的最小正周期为(　　)
A． B． C．8 D．4
A　[y＝3sin ＋cos
＝2sin ，所以T＝＝.]
3．已知cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝，则tan αtan β等于(　　)
A． B．－ C． D．－
B　[因为cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝，所以解得
所以tan αtan β＝＝－.]
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝，a＝，sin2B＝2sinA sin C，则△ABC的面积S＝(　　)
A． B．3 C． D．6
B　[由sin2B＝2sinA sin C及正弦定理，得b2＝2ac，①
又B＝，所以a2＋c2＝b2.②
联立①②解得a＝c＝，所以S＝××＝3.]
5．已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，如图，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，则||为(　　)

A． B． C．7 D．18
A　[∵＝(＋)＝(6p－q)，
∴||＝＝
＝
＝ ＝.]
6．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
D　[法一：由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾．故l至少与l1，l2中的一条相交．
法二：如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．
　　　　]
图1　　　　　　图2
7．如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则·的值是(　　)

A．－8 B．－1
C．1 D．8
D　[取BC的中点D，连接AD，OD(图略)，则有OD⊥BC.
∵＝(＋)，＝＋，＝－，∴·＝(＋)·＝·＋·＝·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝(52－32)＝8，故选D.]
8．函数y＝[cos (x＋)－sin (x＋)]在一个周期内的图象是(　　)

A　　　　　　B

C　　　　　　D
B　[y＝(cos x－sin x＋sin x＋cos x)·(cos x－sin x－sin x－cos x)＝cos x·(－sin x)＝－2sin x cos x＝－sin 2x，故选B.]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．已知复数z＝，则以下说法正确的是(　　)
A．复数z的虚部为
B．z的共轭复数＝－
C．|z|＝
D．在复平面内与z对应的点在第二象限
CD　[∵z＝＝＝－＋i，
∴复数z的虚部为，z的共轭复数＝－－，|z|＝＝，复平面内与z对应的点的坐标为，在第二象限．故选CD.]
10．已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是(　　)
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A
ABD　[对于选项A：由基本事实2知，l⊂α，故选项A正确；
对于选项B：因为α，β表示不同的平面，由基本事实3知，平面α，β相交，且α∩β＝AB，故选项B正确；
对于选项C：l⊄α分两种情况：l与α相交或l∥α.当l与α相交时，若交点为A，则A∈α，故选项C错误；
对于选项D：由基本事实2逆推可得结论成立，故选项D成立；故选ABD.]
11．已知函数f＝2cos22x－2，下列命题中的真命题有(　　)
A．∃β∈R，f为奇函数
B．∃α∈，f＝f对x∈R恒成立
C．∀x1，x2∈R，若＝2，则的最小值为
D．∀x1，x2∈R，若f＝f＝0，则x1－x2＝kπ
BC　[由题意f＝2cos22x－2＝cos4x－1；
∵f＝cos 4x－1的图象如图所示；

函数f的图象是f的图象向左或向右平移个单位，
它不会是奇函数的，故A错误；
若 f＝f，∴cos 4x－1＝cos －1，∴8α＝2kπ，∴α＝，k∈Z；又∃α∈，∴取α＝或时，f＝f对x∈R恒成立，故B正确；
＝＝2时，
的最小值为＝＝，故C正确；
当f＝f＝0时， x1－x2＝kT＝k·＝，故D错误；故选BC.]
12．如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，F是AB的中点，E是PB上的一点，则下列说法正确的是(　　)

A．若PB＝2PE，则EF∥平面PAC
B．若PB＝2PE，则四棱锥P­ABCD的体积是三棱锥E­ACB体积的6倍
C．三棱锥P­ADC中有且只有三个面是直角三角形
D．平面BCP⊥平面ACE
AD　[对于选项A，因为PB＝2PE，所以E是PB的中点，
因为F是AB的中点，所以EF∥PA，
因为PA⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，所以EF∥平面PAC，故A正确；
对于选项B，因为PB＝2PE，所以VP­ABCD＝2VE­ABCD，
因为AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，
所以梯形ABCD的面积为·AD＝××1＝，S△ABC＝AB·AD＝×2×1＝1，所以VE­ABCD＝VE­ABC，
所以VP­ABCD＝3VE­ABC，故B错误；
对于选项C，因为PC⊥底面ABCD，所以PC⊥AC，PC⊥CD，所以△PAC，△PCD为直角三角形，
又AB∥CD，AB⊥AD，所以AD⊥CD，则△ACD为直角三角形，
所以PA2＝PC2＋AC2＝PC2＋AD2＋CD2，PD2＝CD2＋PC2，
则PA2＝PD2＋AD2，所以△PAD是直角三角形，
故三棱锥P­ADC的四个面都是直角三角形，故C错误；
对于选项D，因为PC⊥底面ABCD，所以PC⊥AC，
在Rt△ACD中，AC＝＝，
在直角梯形ABCD中，BC＝＝，
所以AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC，
因为BC∩PC＝C，所以AC⊥平面BCP，
因为AC⊂平面ACE，所以平面BCP⊥平面ACE，故D正确，故选AD.]
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．已知复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝________．
　[∵(1＋2i)z＝－3＋4i，∴|1＋2i|·|z|＝|－3＋4i|，则|z|＝＝.]
14．设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．
±3　[因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)·(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.]
15．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．

60°　[如图，取A1B1的中点M，连接GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中∠HGM＝60°.]
16．关于函数f(x)＝cos ＋cos ，有下列说法：
①y＝f(x)的最大值为；
②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；
③y＝f(x)在区间上是减少的；
④将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度后，将与已知函数的图象重合．
其中正确说法的序号是________．
①②③　[f(x)＝cos (2x－)＋cos (2x＋)＝cos (2x－)＋cos [＋(2x－)]
＝cos (2x－)－sin (2x－)＝cos (2x－＋)＝cos (2x－)，
所以①②③正确，④错误．]
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)设向量e1，e2的夹角为60°且|e1|＝|e2|＝1，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2).
(1)证明：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k的值，使k的取值满足向量2e1＋e2与向量e1＋ke2垂直．
[解]　 (1)证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝5e1＋5e2，
所以＝5，即，共线，又，有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2)因为(2e1＋e2)⊥(e1＋ke2)，所以(2e1＋e2)·(e1＋ke2)＝0，
2e＋2ke1·e2＋e1·e2＋ke＝0，即2＋k＋＋k＝0，解得k＝－.
18．(本小题满分12分)已知α∈，且sin ＋cos ＝.
(1)求cos α的值；
(2)若sin (α－β)＝－，β∈，求cos β的值．
[解]　(1)因为sin ＋cos ＝，两边同时平方，得sin α＝.
又<α<π，所以cos α＝－.
(2)因为<α<π，<β<π，所以－π<－β<－，故－<α－β<.
又sin (α－β)＝－，所以cos (α－β)＝.
cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)
＝－×＋×＝－.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4tan x sin (－x)cos －.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
[解]　(1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan x cos x cos －＝4sin x cos (x－)－
＝4sin x－＝2sin x cos x＋2sin2x－
＝sin2x＋(1－cos 2x)－＝sin 2x－cos 2x＝2sin .
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的递增区间是[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z).
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z).
设A＝，
B＝{x＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}，
易知A∩B＝[－，].
所以当x∈[－，]时，f(x)在区间[－，]上是递增的，在区间[－，－]上是递减的．
20．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S­ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．

求证：(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.
[证明]　(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．
又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.
因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.
因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.
因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.
21．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos ∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
[解]　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，
由题设知，＝，
所以sin ∠ADB＝.
由题设知，∠ADB<90°，所以cos ∠ADB＝ ＝.
(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC＝sin ∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos ∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，
所以BC＝5.
22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，AB＝2A1A＝4，以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A1D，DC1.

(1)求证：DC1∥平面A1ABB1；
(2)若二面角A1－DC－A为45°；
①求证：平面A1C1D⊥平面A1AD；
②求直线AB1与平面A1AD所成角的正切值．
[解]　(1)证明：连接AB1，∵AD∥BC∥B1C1且AD＝BC＝B1C1，
∴四边形ADC1B1为平行四边形，∴AB1∥DC1，
又∵AB1⊂平面A1ABB1，DC1⊄平面A1ABB1，∴DC1∥平面A1ABB1.
(2)①证明：取DC的中点M，连接A1M，AM.
易知Rt△A1AD≌Rt△A1AC，∴A1D＝A1C，∴A1M⊥DC，
又AM⊥DC，∴∠A1MA为二面角A1­DC­A的平面角，∴∠A1MA＝45°.
∴在Rt△A1AM中，AA1＝AM＝2，∴AD＝AC＝2，
∴AC2＋AD2＝DC2，∴AC⊥AD，又∵AC⊥AA1，AD∩AA1＝A，
∴AC⊥平面A1AD，又∵AC∥A1C1，∴A1C1⊥平面A1AD.
∵A1C1⊂平面A1C1D，∴平面A1C1D⊥平面A1AD.
②∵AB1∥C1D，
∴C1D与平面A1AD所成角与AB1与平面A1AD所成角相等．
由①知C1A1⊥平面A1AD，
∴A1D为C1D在平面A1AD内的射影，
故∠A1DC1为直线DC1与平面A1AD所成角，
在Rt△A1DC1中，tan ∠A1DC1＝＝，
∴直线AB1与平面A1AD所成角的正切值为.