北师大版数学 必修第2册 模块综合测评课件PPT

模块综合测评

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若i为虚数单位，则复数z＝5i(3－4i)在复平面内对应的点所在的象限为(　A　)

A．第一象限　 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[解析]　z＝5i(3－4i)＝20＋15i，则复数z＝5i(3－4i)在复平面内对应的点为(20,15)，所以复数z＝5i(3－4i)在复平面内对应的点在第一象限．

2．已知向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则|a－b|的值为(　B　)

A． B．1　

C．2 D．3

[解析]　如图，将向量a，b的起点都移到原点，即a＝，b＝，则|a－b|＝||且∠xOA＝75°，∠xOB＝15°，于是∠AOB＝60°，又因为|a|＝|b|＝1，则△AOB为正三角形，从而||＝|a－b|＝1．

3．函数y＝3sin＋cos的最小正周期为(　A　)

A． B．

C．8 D．4

[解析]　y＝3sin＋cos ＝

2sin，所以T＝＝.

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝，a＝，sin2B＝2sin Asin C，则△ABC的面积S＝(　B　)

A． B．3

C． D．6

[解析]　由sin2B＝2sin Asin C及正弦定理，得b2＝2ac，①

又B＝，所以a2＋c2＝b2.②

联立①②解得a＝c＝，所以S＝××＝3.

5．已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，如图，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，则||为(　A　)

A． B．

C．7 D．18

[解析]　∵＝(＋)＝(6p－q)，

∴||＝＝

＝

＝＝.

6．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(　B　)

A．有且只有一个 B．至多有一个

C．有一个或无数多个 D．不存在

[解析]　当异面直线互相垂直时满足条件的平面有1个，当异面直线互相不垂直时满足条件的平面有0个．故选B．

7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1－BD－C的大小为(　A　)

A．30° B．45°

C．60° D．90°

[解析]　如图，连接AC交BD于点O，连接OC1．因为AB＝AD＝2，所以AC⊥BD，又易知BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥OC1，所以∠COC1为二面角C1－BD－C的一个平面角．因为在△COC1中，OC＝，CC1＝，所以tan∠COC1＝，所以二面角C1－BD－C的大小为30°.

8．函数y＝－sin在一个周期内的图象是(　B　)

[解析]　y＝·＝cos x·(－sin x)＝－2sin xcos x＝－sin 2x，故选B．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9．已知复数z＝，则以下说法正确的是(　CD　)

A．复数z的虚部为

B．z的共轭复数＝－

C．|z|＝

D．在复平面内与z对应的点在第二象限

[解析]　∵z＝＝＝－＋i，

∴复数z的虚部为，z的共轭复数＝－－，|z|＝＝，复平面内与z对应的点的坐标为，在第二象限．故选CD．

10．已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是(　ABD　)

A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α

B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB

C．lα，A∈l⇒Aα

D．A∈α，A∈l，lα⇒l∩α＝A

[解析]　对于选项A：由基本事实2知，l⊂α，故选项A正确；

对于选项B：因为α，β表示不同的平面，由基本事实3知，平面α，β相交，且α∩β＝AB，故选项B正确；

对于选项C：lα分两种情况：l与α相交或l∥α.当l与α相交时，若交点为A，则A∈α，故选项C错误；

对于选项D：由基本事实2逆推可得结论成立，故选项D成立；故选ABD．

11．已知函数f(x)＝2cos22x－2，下列命题中的真命题有(　BC　)

A．∃β∈R，f(x＋β)为奇函数

B．∃α∈，f(x)＝f(x＋2α)对x∈R恒成立

C．∀x1，x2∈R，若|f(x1)－f(x2)|＝2，则|x1－x2|的最小值为

D．∀x1，x2∈R，若f(x1)＝f(x2)＝0，则x1－x2＝kπ(k∈Z)

[解析]　由题意f(x)＝2cos22x－2＝cos 4x－1；

∵f(x)＝cos 4x－1的图象如图所示；

函数f(x＋β)的图象是f(x)的图象向左或向右平移|β|个单位，

它不会是奇函数，故A错误；

若 f(x)＝f(x＋2α)，∴cos 4x－1＝cos (4x＋8α)－1，∴8α＝2kπ，∴α＝，k∈Z；又∃α∈，∴取α＝或时，f(x)＝f(x＋2α)对x∈R恒成立，故B正确；

|f(x1)－f(x2)|＝|cos4x1－cos4x2|＝2时，

|x1－x2|的最小值为＝＝，故C正确；

当f(x1)＝f(x2)＝0时， x1－x2＝kT＝k·＝(k∈Z)，故D错误；故选BC．

12．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为边AB的中点．将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE(点A1不落在底面BCDE内)．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，以下命题正确的是(　ABC　)

A．四棱锥A1－BCDE体积最大值为

B．线段BM长度是定值

C．MB∥平面A1DE一定成立

D．存在某个位置，使DE⊥A1C

[解析]　△ADE是等腰直角三角形，A到DE的距离是，当平面A1DE⊥平面BCDE时，A1到平面BCDE的距离最大为，又S四边形BCDE＝2×1－×1×1＝，

∴V最大值＝××＝.A正确；

取CD中点N，连接MN，BN，∵M是A1C的中点，

∴MN∥A1D，而MN平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，

∴MN∥平面A1DE，

由DN与EB平行且相等得四边形DNBE是平行四边形，BN∥DE，同理得BN∥平面A1DE，

而BN∩MN＝N，∴平面BMN∥平面A1DE，BM⊂平面BMN，∴MB∥平面A1DE，C正确；

在上述过程中得∠MNB＝∠A1DE＝45°，又BN＝DE＝，MN＝A1D＝，

∴BM＝＝为定值，B正确；

假设存在某个位置，使DE⊥A1C，取DE中点O，连接A1O，CO，显然A1O⊥DE，而A1O∩A1C＝A1，∴DE⊥平面A1OC，OC⊂平面A1OC，∴ DE⊥OC，则CE＝CD，但CE＝，CD＝2，不可能相等，所以不可能有DE⊥A1C．D错．故选ABC．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝！！！！　　####.

[解析]　∵(1＋2i)z＝－3＋4i，∴|1＋2i|·|z|＝|－3＋4i|，则|z|＝＝.

14．设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝ ±3 .

[解析]　因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.

15．如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝ 7 .

[解析]　取AB的中点E，连接PE.

∵PA＝PB，∴PE⊥AB．

又平面PAB⊥平面ABC，

∴PE⊥平面ABC．连接CE，

∴PE⊥CE.

又∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝2，PE＝＝，

CE＝＝，PC＝＝7.

16．关于函数f(x)＝cos＋cos，有下列说法：

①y＝f(x)的最大值为；

②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；

③y＝f(x)在区间上是减少的；

④将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度后，将与已知函数的图象重合．

其中正确说法的序号是 ①②③ .

[解析]　f(x)＝cos＋cos

＝cos＋cos

＝cos－sin

＝cos＝cos，

所以①②③正确，④错误．

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)设向量e1，e2的夹角为60°且|e1|＝|e2|＝1，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)．

(1)证明：A，B，D三点共线；

(2)试确定实数k的值，使k的取值满足向量2e1＋e2与向量e1＋ke2垂直．

[解析]　(1)证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝5e1＋5e2，

所以＝5，即，共线，又，有公共点B，所以A，B，D三点共线．

(2)因为(2e1＋e2)⊥(e1＋ke2)，所以(2e1＋e2)·(e1＋ke2)＝0，

2e＋2ke1·e2＋e1·e2＋ke＝0，即2＋k＋＋k＝0，解得k＝－.

18．(本小题满分12分)已知函数

f(x)＝cos－sin.

(1)判断函数f(x)的奇偶性，并给出证明；

(2)若θ为第一象限角，且f＝，求

cos的值．

[解析]　(1)结论：函数f(x)为定义在R上的偶函数．

证明：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，

f(x)＝cos－sin＝

cos＝cos x，

所以f(－x)＝cos(－x)＝cos x，

所以f(－x)＝f(x)．

因此，函数f(x)为定义在R上的偶函数．

(2)因为f＝cos＝，

所以cos＝.

由于θ为第一象限角，故sin＝.

所以cos＝cos

＝sin＝2sincos

＝2××＝.

19．(本小题满分12分)已知函数y＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)的图象的一条对称轴是直线x＝.

(1)求φ；

(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；

(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．

[解析]　(1)因为x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，

所以sin＝±1，即＋φ＝kπ＋，k∈Z.因－π<φ<0，所以k＝－1时得φ＝－.

(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin.由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，(k∈Z)

所以函数y＝sin的单调增区间为，k∈Z.

(3)由y＝sin知：令z＝2x－，x∈[0，π]．

①列表如下：

②描点连线得函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．

20．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB．过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．

求证：(1)平面EFG∥平面ABC；

(2)BC⊥SA．

[解析]　(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．

又因为E是SA的中点，所以EF∥AB．

因为EF平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．

同理EG∥平面ABC．又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC．

(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC．

因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC．

又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB．

因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA．

21．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.

(1)求cos∠ADB；

(2)若DC＝2，求BC．

[解析]　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，

由题设知，＝，所以sin∠ADB＝.

由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝＝.

(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.

在△BCD中，由余弦定理得

BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，

所以BC＝5.

22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，AB＝2A1A＝4，以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A1D，DC1．

(1)求证：DC1∥平面A1ABB1；

(2)若二面角A1－DC－A为45°；

①求证：平面A1C1D⊥平面A1AD；

②求直线AB1与平面A1AD所成角的正切值．

[解析]　 (1)证明：连接AB1，∵AD∥BC∥B1C1且AD＝BC＝B1C1，

∴四边形ADC1B1为平行四边形，∴AB1∥DC1，

又∵AB1⊂平面A1ABB1，DC1平面A1ABB1，

∴DC1∥平面A1ABB1．

(2)①证明：取DC的中点M，连接A1M，AM.

易知Rt△A1AD≌Rt△A1AC，∴A1D＝A1C，∴A1M⊥DC，

又AM⊥DC，∴∠A1MA为二面角A1－DC－A的平面角，∴∠A1MA＝45°.

∴在Rt△A1AM中，AA1＝AM＝2，∴AD＝AC＝2，

∴AC2＋AD2＝DC2，∴AC⊥AD，又∵AC⊥AA1，AD∩AA1＝A，

∴AC⊥平面A1AD，又∵AC∥A1C1，∴A1C1⊥平面A1AD．

∵A1C1⊂平面A1C1D，∴平面A1C1D⊥平面A1AD．

②∵AB1∥C1D，

∴C1D与平面A1AD所成角与AB1与平面A1AD所成角相等．

由①知C1A1⊥平面A1AD，

∴A1D为C1D在平面A1AD内的射影，

故∠A1DC1为直线DC1与平面A1AD所成角，

在Rt△A1DC1中，tan∠A1DC1＝＝，

∴直线AB1与平面A1AD所成角的正切值为.