高中数学模块综合测评A作业含解析新人教A版必修2

这是一份人教版新课标A必修2本册综合课后练习题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在空间直角坐标系O-xyz中,点A(2,2,1)关于xOy平面对称的点的坐标为( )

A.(1,2,2)B.(-2,-2,1)
C.(2,2,-1)D.(-2,-2,-1)
解析关于xOy平面对称的点横坐标、纵坐标不变,竖坐标变为它的相反数,从而有点A(2,2,1)关于xOy平面对称的点的坐标为(2,2,-1).
答案C
2.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,异面直线AD与CB1所成的角是( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
解析异面直线AD与CB1所成的角为∠BCB1,而△BCB1为等腰直角三角形,所以∠BCB1=45°.
答案B
3.直线y=mx+(2m+1)恒过一定点,则此点是( )
A.(1,2)B.(2,1)
C.(-2,1)D.(1,-2)
解析直线y=mx+(2m+1)的方程可化为m(x+2)-y+1=0,
当x=-2,y=1时,方程恒成立.所以直线mx-y+2m+1=0恒过定点(-2,1).故选C.
答案C
4.若球的半径扩大到原来的2倍,则体积扩大到原来的( )
A.64倍B.16倍
C.8倍D.4倍
解析设球原来的半径为r,体积为V,则V=43πr3,当球的半径扩大到原来的2倍后,其体积变为原来的23=8倍.
答案C
5.直线l1:2x+3my-m+2=0和直线l2:mx+6y-4=0,若l1∥l2,则l1与l2之间的距离为( )
A.55B.105C.255D.2105
解析因为l1∥l2,所以3m×m=2×6,m≠-2,解得m=2,因此两条直线方程分别化为x+3y=0,x+3y-2=0,则l1与l2之间的距离=|-2-0|10=105,故选B.
答案B
6.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为7,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( )
A.7B.4
C.9D.3
解析设圆台较小底面的半径为r,
则S圆台侧=π(r+3r)l=84π.∵l=7,∴r=3.
答案D
7.一个多面体的三视图如图所示,则多面体的体积是( )
A.233B.476C.6D.7
解析由题意知该多面体是正方体挖去两个角所成的图形,如图所示,
所以该几何体的体积为V=2×2×2-2×13×12×1×1×1=233.故选A.
答案A
8.圆x2+y2-8x+6y+16=0与圆x2+y2=16的位置关系是( )
A.相交B.相离
C.内切D.外切
解析设圆x2+y2=16的圆心为O,半径为r1,则点O的坐标为(0,0),r1=4.
设圆x2+y2-8x+6y+16=0的圆心为C,半径为r2,则点C的坐标为(4,-3),r2=3.
∴|OC|=(4-0)2+(-3-0)2=5,
∴|r1-r2|<|OC|答案A
9.(2018·全国1,文10)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为( )
A.8B.62C.82D.83
解析在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面BCC1B1,连接BC1,则∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角,∠AC1B=30°,
所以在Rt△ABC1中,BC1=ABtan∠AC1B=23,又BC=2,
所以在Rt△BCC1中,CC1=(23)2-22=22,
所以该长方体体积V=BC×CC1×AB=82.
答案C
10.如图,关于正方体ABCD-A1B1C1D1,下面结论错误的是( )
A.BD⊥平面ACC1A1
B.AC⊥BD
C.A1B∥平面CDD1C1
D.该正方体的外接球和内接球的半径之比为2∶1
解析由正方体ABCD-A1B1C1D1知,在A中,∵BD⊥AC,BD⊥AA1,AC∩AA1=A,∴BD⊥平面ACC1A1,故A正确;在B中,∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD,故B正确;在C中,∵A1B∥D1C,A1B⊄平面CDD1C1,D1C⊂平面CDD1C1,故A1B∥平面CDD1C1,故C正确;在D中,该正方体的外接球和内接球的半径之比为32∶12=3∶1,故D错误.故选D.
答案D
11.与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是( )
A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=4
C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=4
解析圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1),半径为2,过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,所求的圆心在此直线上,又圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为62=32,则所求圆的半径为2,设所求圆心为(a,b),且圆心在直线x-y-4=0的左上方,则|a-b-4|2=2,且a+b=0,解得a=1,b=-1(a=3,b=-3不符合,舍去),故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2,选C.
答案C
12.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=1
D.(x+2)2+(y-1)2=1
解析设圆上任意一点为(x1,y1),中点为(x,y),则x=x1+42,y=y1-22,即x1=2x-4,y1=2y+2,
代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.
答案A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0垂直,则实数a的值为 .
解析∵l1⊥l2,∴a×1=-2×(a-1),得a=23.
答案23
14.(2018·全国2,文16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8.则该圆锥的体积为 .
解析
∵SA⊥SB,
∴S△SAB=12·SA·SB=8.
∴SA=4.过点S连接底面圆心O,则∠SAO=30°.
∴SO=2,OA=23.
∴V=13πr2h=13×π×(23)2×2=8π.
答案8π
15.圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为23,则圆C的标准方程为 .
解析∵圆心在直线x-2y=0上,
∴可设圆心为(2a,a).
∵圆C与y轴正半轴相切,
∴a>0,半径r=2a.
又圆C截x轴的弦长为23,
∴a2+(3)2=(2a)2,
解得a=1(a=-1舍去).
∴圆C的圆心为(2,1),半径r=2.
∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
答案(x-2)2+(y-1)2=4
16.设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,给出下列命题:
①若PA⊥BC,PB⊥AC,则H是△ABC的垂心;
②若PA,PB,PC两两互相垂直,则H是△ABC的垂心;
③若∠ABC=90°,H是AC的中点,则PA=PB=PC;
④若PA=PB=PC,则H是△ABC的外心.
请把正确命题的序号填在横线上: .
解析①因为PH⊥底面ABC,
所以PH⊥BC,
又PA⊥BC,
所以BC⊥平面PAH,
所以AH⊥BC.
同理BH⊥AC,可得H是△ABC的垂心,正确.
②若PA,PB,PC两两互相垂直,
所以PA⊥平面PBC,
所以PA⊥BC,
由此推出AH⊥BC,
同理BH⊥AC,可得H是△ABC的垂心,正确.
③若∠ABC=90°,H是AC的中点,可推出△PHA≌△PHB≌△PHC,
则PA=PB=PC,正确.
④若PA=PB=PC,
由此推出AH=BH=CH,
则H是△ABC的外心,正确.
答案①②③④
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)(2018·天津卷)如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=23,∠BAD=90°.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;
(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.
(1)证明由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.
(2)解取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.
在Rt△DAM中,AM=1,故DM=AD2+AM2=13.
因为AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.
在Rt△DAN中,AN=1,
故DN=AD2+AN2=13.
在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cs∠DMN=12MNDM=1326.
所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为1326.
(3)解连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM=3.又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM⊂平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.
在Rt△CAD中,CD=AC2+AD2=4.
在Rt△CMD中,sin∠CDM=CMCD=34.
所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为34.
18.(本小题满分12分)已知圆M的半径为3,圆心在x轴正半轴上,直线3x-4y+9=0与圆M相切,
(1)求圆M的标准方程;
(2)过点N(0,-3)的直线l与圆M交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),而且满足x12+x22=212x1x2,求直线l的方程.
解(1)设圆心为M(a,0)(a>0),|3a+9|32+(-4)2=3,
解得a=2或-8.
因为a>0,
所以a=2,
所以圆M的标准方程为(x-2)2+y2=9.
(2)当直线l的斜率不存在时,直线l:x=0,与圆M交于A(0,5),B(0,-5).
此时x1=x2=0,满足x12+x22=212x1x2,
所以x=0符合题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx-3.
由y=kx-3,(x-2)2+y2=9,
消去y,得(x-2)2+(kx-3)2=9,
整理,得(1+k2)x2-(4+6k)x+4=0,①
所以x1+x2=4+6k1+k2,x1x2=41+k2.
由已知x12+x22=212x1x2,得(x1+x2)2=252x1x2,
即4+6k1+k22=252×41+k2,
整理,得7k2-24k+17=0,
解得k=1或177.
把k值代入到方程①中的判别式Δ=(4+6k)2-16(1+k2)=48k+20k2中,
判别式的值都为正数,
所以k=1或177,
所以直线l的方程为y=x-3或y=177x-3,
即x-y-3=0或17x-7y-21=0.
综上,直线l的方程为x-y-3=0或17x-7y-21=0或x=0.
19.(本小题满分12分)已知圆O:x2+y2=9和点M(1,a)(a>0).
(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切,求实数a的值,并求出切线方程;
(2)当a=-23时,试判断过点M,且倾斜角为60°的直线l与圆O的位置关系.若相交,求出相交弦AB长;若不相交,求出圆O上的点到直线l的最远距离.
解(1)由题意,点M在圆上,即1+a2=9(a>0).所以a=22.
此时kOM=22,设点M处切线为l1,其斜率为k,因为OM⊥l1,所以kOM·k=-1,解得k=-24.
所以切线方程为y-22=-24(x-1),化简得x+22y-9=0.
(2)当a=-23时,直线l:y+23=tan60°(x-1),即3x-y-33=0.
因为d=|-33|(3)2+(-1)2=332<3,所以直线l与圆O相交.
又|AB|22=R2-d2=9-274=94,
所以|AB|=3.
20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点,且PA=AB=2.
(1)证明:BC⊥平面AMN.
(2)求三棱锥N-AMC的体积.
(3)在线段PD上是否存在一点E,使得NM∥平面ACE?若存在,求出PE的长;若不存在,请说明理由.
(1)证明∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=BC.
又∠ABC=60°,
∴AB=BC=AC.
又M为BC的中点,
∴BC⊥AM,
而PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,
∴PA⊥BC.
又PA∩AM=A,
∴BC⊥平面AMN.
(2)解∵S△AMC=12AM·CM=12×3×1=32,
又PA⊥底面ABCD,PA=2,
∴AN=1,
∴三棱锥N-AMC的体积V=13S△AMC·AN=13×32×1=36.
(3)解存在点E.
取PD的中点E,连接NE,EC,AE.
∵N,E分别为PA,PD的中点,
∴NE?12AD.
又在菱形ABCD中,CM?12AD,
∴NE?MC,
即四边形MCEN是平行四边形,
∴NM∥EC.
又EC⊂平面ACE,NM⊄平面ACE,
∴MN∥平面ACE,
即在PD上存在一点E,使得NM∥平面ACE,
此时PE=12PD=2.
21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x-1)2+y2=25和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=16.
(1)若直线l1经过点P(2,-1)和圆C1的圆心,求直线l1的方程;
(2)若点P(2,-1)为圆C1的弦AB的中点,求直线AB的方程;
(3)若直线l过点A(6,0),且被圆C2截得的弦长为43,求直线l的方程.
解(1)圆C1:(x-1)2+y2=25的圆心坐标(1,0),直线l1经过点P(2,-1)和圆C1的圆心,所以直线l1的方程为y-0x-1=11-2,
即x+y-1=0.
(2)因为点P(2,-1)和圆心C1的连线的斜率为k=0+11-2=-1,
所以直线AB的斜率为1,
所以直线AB的方程为y+1=x-2,
即x-y-3=0.
(3)因为直线l过点A(6,0),且被圆C2截得的弦长为43,
圆C2:(x-4)2+(y-5)2=16的圆心坐标(4,5),半径为4,
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-6),则弦心距为|4k-5-6k|1+k2=|2k+5|1+k2.
由于圆C2的半径、半弦长以及圆心到直线的距离满足勾股定理,
故16=(23)2+|2k+5|1+k22,
解得k=-2120,
则直线l的方程为21x+20y-126=0.
当直线l的斜率不存在时,方程为x=6,此时也满足题意.
故直线l的方程为x=6或21x+20y-126=0.
22.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.
(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)求证:C1F∥平面ABE;
(3)求三棱锥E-ABC的体积.
(1)证明在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.
所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC,BC∩BB1=B,
所以AB⊥平面B1BCC1.
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)证明取AB的中点G,连接EG,FG.
因为E,F分别是A1C1,BC的中点,
所以FG∥AC,且FG=12AC.
因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,
所以FG∥EC1,且FG=EC1.
所以四边形FGEC1为平行四边形.
所以C1F∥EG.
又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,
所以C1F∥平面ABE.
(3)解因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,
所以AB=AC2-BC2=3.
所以三棱锥E-ABC的体积V=13S△ABC·AA1=13×12×3×1×2=33.