北师大版高中数学必修第二册6章末检测卷（含答案）

第六章　章末检测卷

（时间：120分钟　 分值：150分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面α，β，有如下命题：

①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α⊥β，l⊥β，则l⊂α.

其中正确的命题个数为（　　）

A.0     B.1     C.2     D.3

2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为              （　　）

A.          B.          C.     D.

3.已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（　　）

A.4π          B.36π       C.48π        D.24π

4.如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角B′-AD-C，此时

∠B′AC＝60°，那么这个二面角的大小是（　　）

A.90°      B.60°      C.45°        D.30°

5.数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为              （　　）

A.16        B.      C.        D.

6.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，

AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（　　）

A.90°     B.60°      C.45°     D.30°

7.已知正四面体A-BCD外接球的表面积为12π，则该正四面体的表面积为（　　）

A.     B.      C.        D.

8.如图，用一边长为的正方形硬纸，沿各边中点连线垂直折起四个小三角形，做成一

个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心

（球心）与蛋巢底面的距离为（　　）

A.    B.    C.     D.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知m，n是两条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的有 （　　）

A.若m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交

B.若α⊥β，m⊥α，m⊄β，则m∥β

C.若m∥α，α⊥β，则m⊥β

D.若m⊥α，α∥β，则m⊥β

10.在正四面体D-ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CA的中点，则（　　）

A.平面DEG⊥平面ABC      B.平面DEG⊥平面DAF

C.BC∥平面DEG       D.二面角D-BC-A的大小为60°

11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是 （　　）

A.直线BC与平面ABC1D1所成的角等于     B.点C到面ABC1D1的距离为

C.两条异面直线D1C和BC1所成的角为  D.三棱柱AA1D1-BB1C1的外接球半径为

12.如图（1），在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C重合于点P，如图（2）.则下列结论正确的是              （　　）

（1）          （2）

A.PD⊥EF         B.平面PDE⊥平面PDF

C.二面角P-EF-D的余弦值为    D.点P在平面DEF上的投影是△DEF的外心

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，且内接于球O，若正三棱柱ABC-A1B1C1的体积是，则球O的表面积为　　　　.

14.已知三棱锥P-ABC，若PA⊥平面ABC，PA＝AB＝AC＝BC，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为　　　　.

15.已知正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如右图，且图

中三角形（正四面体的截面）的面积是，则该球的表面积为　　　　.

16.若侧面积为4π的圆柱有一外接球O，当球O的半径R＝　　　　时，球的体积取得最小值，此时圆柱的表面积为　　　　.

四、解答题（本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤）

17.（10分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，四边形BDEF是等腰梯形，且DE＝EF＝FB＝1，AC⊥BF.

（1）证明：平面BDEF⊥平面ABCD.

（2）求该多面体的体积.

18.（12分）如图，已知在四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD，AP＝AD，AB∥CD，CD＝2AB，M是PD的中点.

（1）求证：AM∥平面PBC.
（2）求证：平面PBC⊥平面PCD.

19.（12分）如图，已知C是以AB为直径的圆周上一点，∠ABC＝，PA⊥平面ABC.

（1）求证：平面PBC⊥平面PAC.

（2） 若异面直线PB与AC所成的角为，求二面角C-PB-A的余弦值.

20.（12分）如图（1） ，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝6，过A，B分别作CD的垂线，垂足分别为E，F，已知DE＝1，AE＝3，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，使得平面ADE⊥平面ABFE，平面ADE∥平面BCF，得到图（2） .

                              （1）                     （2）

（1）证明：BE∥平面ADC.
（2）求三棱锥C-AED的体积.

21.（12分）已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，AC＝BD＝2，BC＝1，点M在线段BD上，且BM＝，平面ABC和平面ACD将圆锥截去部分后的几何体如图所示.

（1）求证：CM⊥AD.

（2）求AC与底面所成的角.

（3）求该几何体的体积.

22.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，E为AD的中点，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB⊥AP，CD＝AD＝2AB＝2.

（1）求证：平面PAB⊥平面PAD.

（2）求四棱锥P-ABCD的体积.
（3）在棱PB上是否存在点M，使得ME∥平面PCD？说明理由

第六章　章末检测卷

参考答案

1.B　  2.C　 3.B　  4.A　  5.C　  6.A　  7.C　  8.D　  9.BD　  10.BC　  11.ABD　  12.ABC

13.　   14.　   15.24π　    16.　6π　

17.（1）证明：因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD.

又因为AC⊥BF，且BF∩BD＝B，所以AC⊥平面BDEF.

又AC⊂平面ABCD，故平面BDEF⊥平面ABCD.

（2）解：等腰梯形BDEF的高为＝，S等腰梯形BDEF＝＝.

多面体的体积V＝2VA-BDEF，所以V＝2××S等腰梯形BDEF×＝××＝.

18.证明：（1）取PC的中点N，连接MN，BN，如图.

因为点M是PD的中点，所以MN∥CD且MN＝CD.

又AB∥CD，CD＝2AB，可知MN∥AB且MN＝AB，

所以四边形ABNM为平行四边形，所以AM∥BN.

又BN⊂平面PBC，AM⊄平面PBC，所以AM∥平面PBC.

（2）因为CD⊥平面PAD，AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.

又AP＝AD，所以AM⊥PD.

因为PD，CD⊂平面PCD，所以AM⊥平面PCD.

由（1）可知AM∥BN，所以BN⊥平面PCD.

又BN⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD.

19.（1）证明：因为AB为圆的直径，所以AC⊥BC.

又PA⊥平面ABC，而BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.

又AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.

而BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.

（2）解：过B作AC的平行线BM交圆于M，连接PM，AM（图略），

所以异面直线PB与AC所成的角即为PB与BM所成的角.

因为AB为圆的直径，所以AM⊥BM.

又PA⊥平面ABC，而BM⊂平面ABC，所以PA⊥BM.

又AM∩PA＝A，所以BM⊥平面PAM.而PM⊂平面PAM，所以BM⊥PM.

令AB＝2t，且∠ABC＝，∠PBM＝，

所以AC＝BM＝t，AM＝BC＝t，PM＝t·tan＝3t，PA＝＝t，

PB＝＝t，PC＝＝t.

过A作AN⊥PC交PC于点N，过N作NQ⊥PB交PB于点Q，连接AQ（图略），易知AQ⊥PB，

所以∠AQN即为二面角C-PB-A的平面角.

因为AQ＝＝＝t，AN＝＝＝t，

所以sin∠AQN＝＝·＝，cos∠AQN＝.即二面角C-PB-A的余弦值为.

20.（1）证明：设AF∩BE＝O，取AC的中点M，连接OM，DM（图略）.

∵ 四边形ABFE为正方形，∴ O为AF中点.

∵ M为AC的中点，∴ OM∥CF且OM＝CF.

∵ 平面ADE⊥平面ABFE，平面ADE∩平面ABFE＝AE，DE⊥AE，DE⊂平面ADE，∴ DE⊥平面ABFE.

又∵ 平面ADE∥平面BCF，∴ 平面BCF⊥平面ABFE.

同理，CF⊥平面ABFE.∴ DE∥CF.

又∵ DE＝1，FC＝2，∴ DE＝CF，∴ OM∥DE，且OM＝DE，

∴ 四边形DEOM为平行四边形，∴ DM∥BE.

∵ DM⊂平面ADC，BE⊄平面ADC，∴ BE∥平面ADC.

（2）解：∵ CF∥DE，DE⊂平面ADE，CF⊄平面ADE，∴ CF∥平面ADE，

∴ 点C到平面ADE的距离等于点F到平面ADE的距离，∴ V三棱锥C-AED＝×× 3×1×3＝.

21.（1）证明：∵ C是底面圆周上一点，∴ BC⊥CD.

又∵ BC＝BD，∴ ∠BDC＝30°，∴ ∠CBD＝60°.

在△BCM中，由余弦定理得CM 2＝BC 2+BM 2-2BC· BM·cos∠CBM＝，

∴ BC 2＝BM 2+CM 2，∴ CM⊥BD.

设O为BD的中点，连接AO（图略），则AO⊥平面BCD.

∵ CM⊂平面BCD，∴ CM⊥AO.

又AO∩BD＝O，∴ CM⊥平面BAD.

又AD⊂平面BAD，∴ CM⊥AD.

（2）解：连接CO（图略），则∠ACO为AC与底面所成的角.

由已知可得AB＝AD＝AC＝BD＝2，

∴ △ABD为正三角形，AO＝，而CO＝1，∴ tan∠ACO＝，∴ AC与底面所成的角为60°.

（3）解：由题设知，∠CBD＝60°，

故△BCD的面积S△BCD＝BC·BD·sin 60°＝，底面半圆的面积S半圆＝π·OB2＝，

∴ 该几何体的体积V＝××+××＝.

22.（1）证明：因为AB⊥AD，AB⊥AP，AD∩AP＝A，所以AB⊥平面PAD.

因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

（2）解：如图，连接PE.

因为△PAD是等边三角形，E为AD的中点，所以PE⊥AD.

因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PE.

因为AD∩AB＝A，所以PE⊥平面ABCD，所以V四棱锥P-ABCD＝S梯形ABCD·PE.

在等边三角形PAD中，PE＝PAsin 60°＝，S梯形ABCD＝＝3，

所以V四棱锥P-ABCD＝S四棱锥ABCD·PE＝× 3×＝.

（3）解：棱PB上存在点M，使得ME∥平面PCD，此时点M为PB的中点.理由如下：

取BC的中点F，连接MF，ME，EF，如图.

因为E为AD的中点，所以EF∥CD.

因为EF⊄平面PCD，所以EF∥平面PCD.

因为M为PB的中点，所以MF∥PC.

因为MF⊄平面PCD，所以MF∥平面PCD.

因为MF∩EF＝F，MF，EF⊂平面MEF，所以平面MEF∥平面PCD.

因为ME⊂平面MEF，所以ME∥平面PCD.