北师大版高中数学必修第二册2 章末检测卷（含答案）

第二章 章末检测卷

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知向量a＝（2，3），b＝（x，4），若a⊥（a-b），则x＝（　）

A.1            B.               C.2               D.3

2.在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为， 则等于 （　）

A.           B.            C.             D.

3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，A＝，sin C＝2sin B，则△ABC的周长为（　）

A.3+        B.3+         C.3+           D.3+

4.在△OAB中，C为线段AB上的一点，满足＝，若＝+，则（　）

A.x＝，y＝     B.x＝，y＝     C.x＝，y＝       D.x＝，y＝

5.设x，y∈R，向量a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，-4），且a⊥c，b∥c，则|a+b|＝（　）

A.            B.           C.             D.10

6.在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点E，F分别是AB，AC的中点，则（+）·＝（　）

A.-6             B.6             C.-12              D.12

7.已知向量a，b满足2a+b＝（1，2m），b＝（1，m），且a在b方向上的投影数量是，则实数m＝（　）

A.±2            B.2             C.±             D.

8.在平面四边形ABCD中，已知△ABC的面积是△ACD的面积的2倍.若存在正实数x，y使得＝+成立，则2x+y的最小值为（　）

A.1              B.2             C.3                D.4

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2-b2）· tan B＝ac，则角B的值为（　）

A.              B.              C.              D.

10.已知向量a＝（2，1），b＝（-3，1），则（　）

A.（a+b）∥a                        B.向量a在向量b方向上的投影向量为-b

C.a与a-b的夹角余弦值为         D.若c＝，则a⊥c

11.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的有（　）

A.若＝＝，则△ABC一定是等边三角形

B.若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形

C.若bcos C+ccos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形

D.若a2+b2-c2>0，则△ABC一定是锐角三角形

12.等边三角形ABC中，＝，＝，AD与BE相交于点F，则下列结论正确的有（　）

A.＝（+）    B.＝+     C.＝　   D.＝+

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知a＝（2，0），b＝（1，2），实数满足|ab|＝，则＝　　　　.

14.在△ABC中，A＝，AC＝4，AB＝6，D在CB边上，若＝，·＝-17，则实数的值为　　　　.

15.在△ABC中，D是AC的中点，且BC＝2BD，cos A＝，则＝　　　　；若△BCD的面积为，则BD＝　　　　.

16.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路

北侧一山顶D在北偏西45°的方向上，仰角为，行驶300米后到达

B处，测得此山顶在北偏西15°的方向上，仰角为β，若＝45°，则此

山的高度CD＝　　　　米，仰角的正切值为　　　　.

四、解答题（本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤）

17.（10分）已知a，b，c在同一平面内，且a＝（1，2）.

（1）若|c|＝，且a∥c，求c；

（2）若|b|＝，且（a+2b）⊥（a-b），求a与b的夹角的余弦值.

18.（12分）在△ABC中，c＝2，∠C＝30°，条件① ：2b ＝a；条件② ：∠A＝45°；条件③ ：b＝.从条件① 、条件② 、条件③ 这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.

求：（1）a的值；（2）△ABC的面积.

19.（12分）如图，若E，F，G，H分别是平面四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.

（1）求的值；（2）证明：四边形EFGH为平行四边形.

20.（12分）如图所示，一辆汽车从A市出发 沿海岸一条笔直公路以100 km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500 km且与海岸距离为300 km的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件送给这辆汽车的司机.

（1）快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？

（2）在（1）的条件下，求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角.

21.（12分）如图所示，在△ABC中，已知点D在边BC上，且∠DAC＝90°，cos ∠DAB＝，AB＝6.

（1）若sin C＝，求线段BC的长；

（2）若点E是BC的中点，AE＝，求线段AC的长.

22.（12分）已知向量a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），且a，b满足关系|ka+b|＝|a-kb|，其中.

（1）求a与b的数量积用k表示的解析式f（k）.

（2）a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的k值.

（3）求a与b夹角的最大值.

第一章 章末检测卷

参考答案

1. B 　  2.B 　  3.C    4.B    5.B   　6.B 　  7.A　   8.A

9.BD 　  10.BCD 　   11.AC 　   12.AC

13.1或- 　   14. 　   15.　2　   16. 　-1

17.解：（1）因为a＝（1，2），a∥c，故可设c＝a＝（，2）.

因为|c|＝，所以2+42＝45，

解得＝±3，所以c＝（3，6）或c＝（-3，-6）.

（2）因为a＝（1，2），所以|a|＝.

又（a+2b）⊥（a-b），|b|＝，所以（a+2b）·（a-b）＝a2+a·b-2b2＝5+a·b-2×2＝0，

所以a·b＝-1，所以cos 〈a，b〉＝＝＝-.

18.解：选择条件①：2b＝a.

（1）在△ABC中，因为2b＝a，所以b＝a.

因为c＝2，∠C＝30°，根据余弦定理得cos C＝，

即cos 30°＝＝，整理得a2＝16，所以a＝4.

（2）由（1）可知，b＝.

又因为a＝4，c＝2，所以a2＝b2+c2，所以∠A＝90°，

因此△ABC是直角三角形，所以S△ABC＝bc＝××2＝.

选择条件②：∠A＝45°.

（1）在△ABC中，因为∠A＝45°，∠C＝30°，c＝2，

根据正弦定理＝，得a＝＝＝＝.

（2）在△ABC中，由余弦定理a2＝b2+c2-2bccos A，

得8＝b2+4-b，即b2-b-4＝0，解得b＝+，

故S△ABC＝absin C＝××（+）×＝1+.

选择条件③：b＝.

（1）在△ABC中，由余弦定理得cos C＝，即cos 30°＝＝，

整理得a2-6a+8＝0，解得a＝2或a＝4.

（2）由（1）可知，当a＝2，b＝，∠C＝30°时，S△ABC＝absin C＝×2××＝；

当a＝4，b＝，∠C＝30°时，S△ABC＝absin C＝× 4××＝.

综上，△ABC的面积为或.

19. （1）解：因为H，F是边AD，BC的中点，所以＝-，＝-.

又因为＝++，＝++，

所以+＝+++++＝，所以＝＝2.

（2）证明：如图，连接DB，

因为E，F，G，H分别是平面四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，

所以在△ABD和△BCD中，由中位线定理得＝，＝，所以＝＝.

因为H，E，G，F不共线，所以HE∥GF，HE＝GF，

所以四边形EFGH为平行四边形.

20.解：（1）设快艇以v km/h的速度从B处出发，沿BC方向，t h后与汽车在C处相遇，

过点B作AC的垂线BD，如图，则BD＝300，在△ABC中，AB＝500，AC＝100t，BC＝vt，设∠BAC＝α，则sin α＝＝，cos α＝.

由余弦定理，得BC2＝AC2+AB2-2AB·ACcos α，

∴ v2t2＝（100t）2+5002-2×500×100t·.

整理得v2＝-+10 000＝250 ＝250 +3 600.

当＝，即t＝时，v2取得最小值3 600，∴ vmin＝60（km/h），

∴ 快艇至少以60 km/h的速度行驶才能把稿件送到司机手中.

（2）当v＝60 km/h时，在△ABC中，AB＝500，AC＝100×＝625，BC＝60×＝375，

由余弦定理，得cos ∠ABC＝＝0，

∴ ∠ABC＝90°，∴ 快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角为90°.

21.解：（1）由条件可得sin∠BAC＝sin（90°+∠DAB）＝cos∠DAB＝.

在△ABC中，＝，所以＝，得BC＝.

（2）由（1）知sin∠BAC＝，因为∠BAC为钝角，所以cos∠BAC＝-.

因为+＝，所以（+）2＝||2+||2+2||·||·cos∠BAC＝4||2，

所以36+||2+2×6××||＝68，

整理得||2-4||-32＝0，解得||＝8，所以线段AC的长为8.

22.解：（1）∵ |ka+b|＝|a-kb|，两边平方，得|ka+b|2＝3|a-kb|2，

∴ k2a2+2ka·b+b2＝3（a2-2ka·b+k2b2）.

∵ a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），

∴ a2＝1，b2＝1，代入得k2+2ka·b+1＝3（1-2ka·b+k2）＝3-6ka·b+3k2，

化简得4ka·b＝1+k2，即a·b＝，∴ f（k）＝（k>0）.

（2）a与b不垂直，a与b平行.

若a⊥b，则a·b＝＝0，方程无解，故a与b不垂直；

若a∥b，∵＝，∴＝1，

解得k＝2±，即当k＝2±时，a∥b.

（3）设a与b夹角为θ，则cos θ＝＝＝+≥，k>0，即cos θ≥.

∵ 0≤θ≤π，∴ a与b夹角的最大值为.