人教版新课标A必修5第二章数列综合与测试随堂练习题

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这是一份人教版新课标A必修5第二章数列综合与测试随堂练习题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数列1,3,7,15，…的通项an可能是( )
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2n－1
【解析】取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时，a2＝3，排除D.
【答案】 C
2．不等式x2－2x－5>2x的解集是( )
A．{x|x≤－1或x≥5}
B．{x|x<－1或x>5}
C．{x|1D．{x|－1≤x≤5}
【解析】不等式化为x2－4x－5>0，所以(x－5)(x＋1)>0，所以x<－1或x>5.
【答案】 B
3．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( )
A．16 B．32
C．64 D．256
【解析】 ∵{an}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝aeq \\al(2,10)(an>0)，∴a8·a10·a12＝aeq \\al(3,10)＝64.
【答案】 C
4．下列不等式一定成立的是( )
A．lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,4)))>lg x(x>0)
B．sin x＋eq \f(1,sin x)≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.eq \f(1,x2＋1)>1(x∈R)
【解析】
【答案】 C
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3bsin A，则△ABC的面积等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,2)
C．1 D.eq \f(3,4)
【解析】 ∵a＝3bsin A，
∴由正弦定理得sin A＝3sin Bsin A，
∴sin B＝eq \f(1,3).
∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×3×eq \f(1,3)＝eq \f(1,2)，故选 A.
【答案】 A
6．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是( )
A．T10 B．T13
C．T17 D．T25
【解析】由等比数列的性质得
a3a6a18＝a6a10a11＝a8a9a10＝aeq \\al(3,9)，而T17＝aeq \\al(17,9)，故T17为常数．
【答案】 C
7．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于( )
A．－3 B．1
C．－1 D．3
【解析】由题意：A＝{x|－1∴a＋b＝－3.
【答案】 A
8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S7＝381.
请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a1.
代入公式Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)，
即381＝eq \f(a11－27,1－2)，
∴a1＝eq \f(381,127)＝3.
∴此塔顶有3盏灯．
【答案】 B
9．若实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≤0，,x>0，))则eq \f(y,x)的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
【解析】实数x，y满足
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≤0，,x>0))的相关区域如图中的阴影部分所示．
eq \f(y,x)表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，eq \f(y,x)的取值范围为(1，＋∞)．
【答案】 C
10．在△ABC中，若c＝2bcs A，则此三角形必是( )
A．等腰三角形
B．正三角形
C．直角三角形
D．有一角为30°的直角三角形
【解析】由正弦定理得sin C＝2cs Asin B，
∴sin (A＋B)＝2cs Asin B，
即sin Acs B＋cs Asin B＝2cs Asin B，
即sin Acs B－cs Asin B＝0，
所以sin (A－B)＝0.
又因为－π所以A－B＝0，
即A＝B.
【答案】 A
11．函数y＝eq \f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值是( )
A．2eq \r(3)＋2 B．2eq \r(3)－2
C．2eq \r(3) D．2
【解析】 ∵x>1，
∴x－1>0.
∴y＝eq \f(x2＋2,x－1)＝eq \f(x2－2x＋2x＋2,x－1)
＝eq \f(x2－2x＋1＋2x－1＋3,x－1)
＝eq \f(x－12＋2x－1＋3,x－1)
＝x－1＋eq \f(3,x－1)＋2
≥2eq \r(3)＋2.
【答案】 A
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tan B＝eq \f(2－\r(3),a2－b2＋c2)，eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)，则tan B等于( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3)－1
C．2 D．2－eq \r(3)
【解析】由eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)，得accs B＝eq \f(1,2)，
∴2accs B＝1.
又由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－1，
∴a2－b2＋c2＝1，
∴tan B＝eq \f(2－\r(3),1)＝2－eq \r(3).
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式
2x＋by＋1>0表示的平面区域内，则b的取值范围是______. 【导学号：05920089】
【解析】点P(1，－2)关于原点的对称点为点P′(－1，2)．
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2×1－2b＋1>0，,－2＋2b＋1>0，))
解得eq \f(1,2)【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))
14．(2015·江苏高考)设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))前10项的和为________．
【解析】由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝eq \f(n－12＋n,2)＝eq \f(n2＋n－2,2).
又∵a1＝1，
∴an＝eq \f(n2＋n,2)(n≥2)．
∵当n＝1时也满足此式，
∴an＝eq \f(n2＋n,2)(n∈N*)．
∴eq \f(1,an)＝eq \f(2,n2＋n)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))).
∴S10＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1)－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,10)－\f(1,11)))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,11)))＝eq \f(20,11).
【答案】 eq \f(20,11)
15．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．
【解析】 ∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，a＝2，
又(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C
可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，
∴a2－b2＝c2－bc，
∴b2＋c2－a2＝bc.
∴eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2)＝cs A，
∴A＝60°.
∵在△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cs 60°
＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)·bc·sin A≤eq \f(1,2)×4×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).
【答案】 eq \r(3)
16．若eq \f(1,a)①a＋b|b|；③a2；
⑤a2>b2；⑥2a>2b.
其中正确的不等式的序号为______．
【解析】 ∵eq \f(1,a)∴b又b故②⑤错，可证①④⑥正确．
【答案】 ①④⑥
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
【解】 (1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d，
∵S12>0，S13<0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12a1＋66d>0，,13a1＋78d<0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(24＋7d>0，,3＋d<0，))
∴－eq \f(24,7)(2)∵S12>0，S13<0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a12>0，,a1＋a13<0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a6＋a7>0，,a7<0，))
∴a6>0，
又由(1)知d<0.
∴数列前6项为正，从第7项起为负．
∴数列前6项和最大．
18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，b∈R，求eq \f(b－3,a－1)的最大值和最小值．
【解】 ∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＋β＝－a，,αβ＝2b，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－α＋β，,b＝\f(αβ,2)，))
∵0≤α≤1,1≤β≤2，
∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3≤a≤－1，,0≤b≤1，))
建立平面直角坐标系aOb，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．
令k＝eq \f(b－3,a－1)，可以看成动点P(a，b)与定点A(1,3)的连线的斜率．
取B(－1,0)，C(－3,1)，
则kAB＝eq \f(3,2)，kAC＝eq \f(1,2)，
∴eq \f(1,2)≤eq \f(b－3,a－1)≤eq \f(3,2).
故eq \f(b－3,a－1)的最大值是eq \f(3,2)，最小值是eq \f(1,2).
19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2b－c)cs A－acs C＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝eq \r(3)，试求当△ABC的面积取最大值时，△ABC的形状. 【导学号：05920090】
【解】 (1)∵(2b－c)cs A－acs C＝0，
由余弦定理得(2b－c)·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)－a·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝0，
整理得b2＋c2－a2＝bc，
∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，
∵0∴A＝eq \f(π,3).
(2)由(1)得b2＋c2－bc＝3及b2＋c2≥2bc得bc≤3.
当且仅当b＝c＝eq \r(3)时取等号．
∴S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A≤eq \f(1,2)×3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),4).
从而当△ABC的面积最大时，a＝b＝c＝eq \r(3).
∴当△ABC的面积取最大值时△ABC为等边三角形．
20．(本小题满分12分)已知函数y＝eq \r(ax2＋2ax＋1)的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
【解】 (1)∵函数y＝eq \r(ax2＋2ax＋1)的定义域为R，∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
①当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；
②当a≠0时，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝4a2－4a≤0，))
解得0综上可知，a的取值范围是[0,1]．
(2)由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0.
∵0≤a≤1，
∴①当1－a>a，
即0≤aa②当1－a＝a，即a＝eq \f(1,2)时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2<0，不等式无解；
③当1－a1－a综上，当0≤a当a＝eq \f(1,2)时，原不等式的解集为∅；
当eq \f(1,2)21．(本小题满分12分)若数列{an}满足aeq \\al(2,n＋1)－aeq \\al(2,n)＝d，其中d为常数，则称数列{an}为等方差数列．已知等方差数列{an}满足an>0，a1＝1，a5＝3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\\al(2,n)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n))的前n项和．
【解】 (1)由aeq \\al(2,1)＝1，aeq \\al(2,5)＝9，
得aeq \\al(2,5)－aeq \\al(2,1)＝4d，
∴d＝2.
aeq \\al(2,n)＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∵an>0，
∴an＝eq \r(2n－1).
数列{an}的通项公式为an＝eq \r(2n－1).
(2)aeq \\al(2,n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n＝(2n－1)eq \f(1,2n)，
设Sn＝1·eq \f(1,2)＋3·eq \f(1,22)＋5·eq \f(1,23)＋…＋(2n－1)·eq \f(1,2n)，①
eq \f(1,2)Sn＝1·eq \f(1,22)＋3·eq \f(1,23)＋5·eq \f(1,24)＋…＋(2n－1)· eq \f(1,2n＋1)，②
①－②，得
eq \f(1,2)Sn＝eq \f(1,2)＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,22)＋\f(1,23)＋…＋\f(1,2n)))－(2n－1)·eq \f(1,2n＋1)
＝eq \f(1,2)＋2·eq \f(\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n－1))),1－\f(1,2))－(2n－1)·eq \f(1,2n＋1)，
即Sn＝3－eq \f(2n＋3,2n)，
即数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\\al(2,n)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n))的前n项和为3－eq \f(2n＋3,2n).
22．(本小题满分12分)如图1所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)
图1
【解】轮船从点C到点B用时80分钟，从点B到点E用时20分钟，而船始终匀速航行，
由此可见，BC＝4EB.
设EB＝x，则BC＝4x，
由已知得∠BAE＝30°，
在△AEC中，由正弦定理得
eq \f(EC,sin ∠EAC)＝eq \f(AE,sin C)，
即sin C＝eq \f(AEsin ∠EAC,EC)＝eq \f(5sin 150°,5x)＝eq \f(1,2x)，
在△ABC中，由正弦定理得
eq \f(BC,sin ∠BAC)＝eq \f(AB,sin C)，
即AB＝eq \f(BCsin C,sin 120°)＝eq \f(4x×\f(1,2x),sin 120°)＝eq \f(4,\r(3))＝eq \f(4\r(3),3).
在△ABE中，由余弦定理得
BE2＝AE2＋AB2－2AE·ABcs 30°
＝25＋eq \f(16,3)－2×5×eq \f(4\r(3),3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(31,3)，
所以BE＝eq \r(\f(31,3))(千米)．
故轮船的速度为v＝eq \r(\f(31,3))÷eq \f(20,60)＝eq \r(93)(千米/时)．
选项
具体分析
结论
A
lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,4)))≥lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(x2·\f(1,4))))＝lg x，当且仅当x2＝eq \f(1,4)时，即x＝eq \f(1,2)
不正确
B
当sin x<0时，不可能有sin x＋eq \f(1,sin x)≥2
不正确
C
由基本不等式x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|
正确
D
因为x2＋1≥1，所以eq \f(1,x2＋1)≤1
不正确