北师大版高中数学必修第二册4　章末检测卷（含答案）

第四章　章末检测卷

（时间：120分钟　分值：150分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知sin（π+θ）＝ -cos（2π-θ），|θ|<，则θ等于（　　）

A.-        B.-      C.      D.

2.钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝30°，则C＝（　　）

A.30°           B.45°    C.60°     D.30°或90°

3.已知sin＝，则cos＝ （　　）

A.-     B.     C.      D.

4.已知α是第二象限角，＝-7，则＝（　　）

A.    B.    C.     D.

5.的值为（　　）

A.1     B.2     C.3      D.4

6.已知＝，则的值为（　　）

A.     B.-     C.      D.-

7.函数f（x）＝cos 2x+的最大值为  （　　）

A.4     B.5     C.6      D.7

8.在△ABC中，·＝9，sin B＝cos Asin C，S△ABC＝6，P为线段AB上的动点，且＝x·+y·，则+的最小值为              （　　）

A. +    B. +    C.      D.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.下列选项中，与sin（-330°）的值相等的是（　　）

A.2cos215°        B.cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42°

C.2sin 15°sin 75°       D.tan 30°+tan 15°+tan 30°tan 15°

10.已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos（α+β）＝ -，则（　　）

A.cos α＝-   B.sin α-cos α＝  C.β-α＝　    D.cos αcos β＝-

11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（　　）

A.若A>B，则sin A>sin B

B.若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解

C.若△ABC为钝角三角形，则a2+b2>c2

D.若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为

12.已知函数f（x）＝sin 2x+2cos2x-1，下列四个结论正确的是（　　）

A.函数f（x）在区间上是增函数

B.点是函数f（x）的图象的一个对称中心

C.函数f（x）的图象可以由函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到

D.若x∈，则f（x）的值域为［0，］

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知2cos2x+sin 2x＝Asin（ωx+φ）+b（A>0），则A＝　　　　，b＝　　　　.

14.在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，BC＝4，M是BC的中点，则AM＝　　　　.

15.已知向量a＝（2，sin θ），b＝（cos θ，-1），若a⊥b，则＝　　　　.

16.右图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，

大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ＝　　　　.

四、解答题（本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤）

17.（10分）在△ABC中，已知b＝5，cos B＝，从条件① 、条件② 中选择一个为已知，解答下列问题.

条件① ：cos C＝，条件② ：a＝4.

注：如果选择条件① 和条件② 分别解答，按第一个解答计分.

（1）求sin A.
（2）求△ABC的面积.

18.（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥ 0时，f（x）＝2sin x.

（1）求x<0时，函数f（x）的解析式；
（2）已知＝，＝-，α∈，β∈，求f（α+β）的值.

19.（12分）如图，锐角三角形ABC的外接圆的半径为2，点D在边BC的延长线上，AB＝3，AC＝，△ACD的面积为.

（1）求sin ∠BAC；（2）求AD的长.

20.（12分）已知函数f（x）＝+2（sin2 x-1）.

（1）求函数y＝f（x）的单调减区间和其图象的对称轴；
（2）若不等式f（x）+1<m在上有解，求m的取值范围.

21.（12分） 如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且，  ∠AOB＝α.

（1）求的值；

（2）设∠AOP＝，四边形OAQP为菱形，面积为S，f（θ）＝+2S2-，求f（θ）的最值及此时θ的值.

22.（12分）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acos A-bcos C＝ccos B.

（1）求角A的大小；

（2）若a＝2，求b+c的取值范围.

第四章　章末检测卷

参考答案

1.D　 2.A　  3.C    4.C   5.D   6.A   7.B　   8.B　  9.BC  　10.BC　  11.ABD　   12.AB　

13.　1　  14.　    15.-　    16.　

17.解：选择条件①，

（1）∵ cos B＝，∴ sin B＝＝.∵ cos C＝，∴ sin C＝＝，

∴ sin A＝sin（B+C）＝sin Bcos C+cos Bsin C＝×+×＝.

（2） 由正弦定理，得＝，∴ a＝＝＝4，

∴ S△ABC＝absin C＝×4×5×＝.

选择条件②，

（1）∵ cos B＝，∴ sin B＝＝.

由正弦定理，得＝，∴ sin A＝＝＝.

（2）由余弦定理可得b2＝a2+c2-2accos B，即25＝16+c2-2×4c×，解得c＝-（舍去）或c＝6，

∴ S△ABC＝bcsin A＝×5×6×＝.

18.解：（1）设x<0，则-x>0，故f（-x）＝2sin（-x）＝-2sin x.∴ 当x<0时，f（x）＝-2sin x.

（2）∵ α∈，β∈，∴ -α∈， +β∈，α+β∈，

∴＝-＝，化简得＝-，则＝；

＝＝-，化简得＝-，则＝-，

∴ f（α+β）＝2sin（α+β）＝-＝-＝.

19.解：（1）由正弦定理可得＝4，所以sin ∠ABC＝.

又因为△ABC为锐角三角形，所以cos ∠ABC＝＝.

因为＝4，所以sin ∠ACB＝，所以cos ∠ACB＝＝，

所以sin ∠BAC＝sin（∠ABC+∠ACB）＝sin ∠ABC·cos ∠ACB+cos ∠ABC·sin ∠ACB＝.

（2）因为∠ACB为锐角，所以∠ACD为钝角.

由（1）知sin ∠ACD＝sin（π-∠ACB）＝sin ∠ACB＝，所以cos ∠ACD＝-.

因为△ACD的面积为，所以AC·CD·sin ∠ACD＝，解得CD＝.

由AD2＝AC2+CD2-2AC·CD·cos ∠ACD＝54，得AD＝.

20.解：（1）f（x）＝+2（sin2x-1）＝sin 2x+ cos 2x+1-cos 2x-2

＝sin 2x- cos 2x-1＝-1.

由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，

∴ 函数y＝f（x）的单调减区间为kπ+，kπ+，k∈Z.

令2x-＝kπ+，k∈Z，得x＝+，k∈Z，∴ 函数y＝f（x）的图象的对称轴为直线x＝+，k∈Z.

（2）f（x）+1＝.∵ 0≤x≤，∴ -≤2x-≤，∴ -≤≤1.

∴ 要使不等式有解，必须m>-.∴ m的取值范围为.

21.解：（1）因为tan α＝＝-2，所以＝＝-.

（2）由已知得P（cos θ，sin θ），

因为四边形OAQP为菱形，所以S＝2S△AOP＝sin θ，

所以f（θ）＝+2S2-＝+2sin2θ-＝cos2θ+cos θ++2（1-cos2θ）-

＝-cos2θ+cos θ+＝-+2.

因为≤θ≤，所以-≤cos θ≤，所以当cos θ＝，即θ＝时，f（θ）max＝2；

当cos θ＝-，即θ＝时，f（θ）min＝1.

22.解：（1）由正弦定理得2sin Acos A-sin Bcos C＝sin Ccos B，

即2sin Acos A＝sin Bcos C+sin Ccos B＝sin（B+C）＝sin A.

又∵ sin A≠0，∴ cos A＝.∵ A∈，∴ A＝.

（2）b+c＝（sin B+sin C）＝＝

＝＝.

∵ B∈，∴ B+∈，∴∈，∴ b+c∈（，4］.