北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 椭圆及其标准方程练习题

课后素养落实(十一)　椭圆及其标准方程

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)

A．(3，＋∞)　　　 B．(－∞，－2)

C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－6，－2)∪(3，＋∞)

D　[由于椭圆的焦点在x轴上，所以即解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D．]

2．平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：|MA|＋|MB|为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么(　　)

A．p是q的充分不必要条件

B．p是q的必要不充分条件

C．p是q的充要条件

D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件

B　[若|MA|＋|MB|为定值，只有定值大于|AB|时，点M轨迹才是椭圆．故p为q的必要不充分条件．]

3．设D为椭圆x2＋＝1上任意一点，A(0，－2)，B(0，2)，延长AD至点P，使得|PD|＝|BD|，则点P的轨迹方程为(　　)

A．x2＋(y－2)2＝20 B．x2＋(y＋2)2＝20

C．x2＋(y－2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5

B　[∵D为椭圆x2＋＝1上一点，且易知A，B为椭圆的焦点，

∴|DA|＋|DB|＝2a＝2．又|PD|＝|BD|，

∴|PA|＝|PD|＋|DA|＝2，

∴点P的轨迹方程为x2＋(y＋2)2＝(2)2＝20．故选B．]

4．若已知椭圆＋＝1，长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于(　　)

A．4　　　　B．5　　　　C．7　　　　D．8

A　[椭圆焦点在x轴上，∴a2＝10－m，b2＝m－2．又c＝2，∴(10－m)－(m－2)＝4．

∴m＝4．]

5．2<m<6是方程＋＝1表示椭圆的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件

B　[若＋＝1表示椭圆，

则有∴2<m<6且m≠4．

故2<m<6是＋＝1表示椭圆的必要不充分条件．]

二、填空题

6．椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为________．

(0，－)，(0，)　[方程可化为＋＝1，所以a2＝8，b2＝3，且焦点在y轴上，又c＝＝，

所以，其焦点坐标为(0，－)，(0，)．]

7．△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，－6)，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是－，则顶点A的轨迹方程是________．

＋＝1(y≠±6)　[设顶点A的坐标为(x，y)，由题意得·＝－，化简整理，得＋＝1，

又A，B，C是△ABC的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，因此y≠±6，所以顶点A的轨迹方程为＋＝1(y≠±6)．]

8．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为________．

5　[易知B为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一焦点为B′，则B′(0，1)，如图，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，所以|PB|＝4－|PB′|，因此，|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋|PA|－|PB′|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5，当且仅当点P在AB′的延长线上时，等号成立，所以|PA|＋|PB|的最大值为5．]

三、解答题

9．已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．

[解]　由已知a＝2，b＝，所以c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2，

在△PF1F2中，由余弦定理得

|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|． ①

由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，

即|PF2|＝4－|PF1|． ②

将②代入①解得|PF1|＝，

∴S＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝××2×＝．

因此所求△PF1F2的面积是 ．

10．已知动圆M过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．

[解]　设动圆M和定圆B内切于点C，

由|MA|＝|MC|得|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8，即动圆圆心M到两定点A(－3，0)，B(3，0)的距离之和等于定圆的半径，

∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝8，2c＝6，b＝＝，

∴M的轨迹方程是＋＝1．

11．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)

A．2　　 　B．6　　 　C．4　　 　D．12

C　[由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，

∴周长为4a＝4(F是椭圆的另外一个焦点)．]

12．过点M(－2，0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为(　　)

A．2　　B．－2　　C．　　D．－

D　[设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则＋y＝1，＋y＝1．

两式相减，得＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0．

依题意x1－x2≠0，x1＋x2≠0，∴＋·＝0．

又k1＝，k2＝＝，

∴＋k1k2＝0，∴k1k2＝－．]

13．(多选题)若方程3x2＋ky2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的可能取值为(　　)

A．1　　B．　　C．2　　D．3

ABC　[方程可化为＋＝1，依题意>，解得0<k<3，故选ABC．]

14．(一题两空)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．

2　120°　[由题意知a＝3，b＝，c＝．

由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝6．

∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2．又∵|F1F2|＝2，

在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－，

∴∠F1PF2＝120°．]

15．在椭圆＋＝1内有一点A(2，1)，过点A的直线l的斜率为－1，且与椭圆交于B，C两点，线段BC的中点恰好是A，试求椭圆的方程．

[解]　设过A点的直线l与椭圆交于B(x1，y1)，C(x2，y2)，如图所示．

设＋＝1， ①

＋＝1， ②

①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，

∴·＝－．∵A为BC的中点，

∴kOA＝，即kBC·kOA＝－． ③

由题意：kBC＝－1，kOA＝，代入③得－1×＝－t，即t＝4．

∴所求椭圆方程为＋＝1.