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高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 抛物线的简单几何性质课时训练
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这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 抛物线的简单几何性质课时训练,共5页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
课后素养落实(十六) 抛物线的简单几何性质(建议用时:40分钟)一、选择题1.已知点F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点.若|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )A. B. C. D.1B [设A(xA,yA),B(xB,yB),则|AF|+|BF|=xA++xB+=xA+xB+p=3,则AB的中点C到y轴的距离d===.故选B.]2.抛物线y=12x2上的点到焦点F的距离的最小值为( )A.3 B.6 C. D.C [将方程化为标准形式是x2=y,则p=.设M是抛物线y=12x2上的一点,则=x0+≥=,当且仅当x0=0时,取等号,故抛物线y=12x2上的点到焦点F的距离最小值为.]3.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作弦AB,其所在直线的倾斜角为,则|AB|等于( )A. B.4p C.6p D.8pD [由抛物线的焦点弦公式得,|AB|===8p.]4.动点到点(3,0)的距离比它到直线 x=-2的距离大1,则动点的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线C.双曲线的一支 D.抛物线D [已知条件等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x=-3的距离”,由抛物线的定义可判断,动点的轨迹为抛物线,故选D.]5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=( )A. B. C.- D.-D [由得x2-5x+4=0,∴x=1或x=4.不妨设A(4,4),B (1,-2),则||=5,=2,·=(3,4)·(0,-2)=-8.cos∠AFB===-.]二、填空题6.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|=________.8 [|AB|=x1+x2+p=6+2=8.]7.线段AB是抛物线y2=x的一条焦点弦,且|AB|=4,则线段AB的中点C到直线x+=0的距离为________. [设A(x1,y1),B(x2,y2),由于|AB|=x1+x2+p=4,∴x1+x2=4-=,∴中点C(x0,y0)到直线x+=0的距离为x0+=+=+=.]8.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则kOA·kOB的值是________.-4 [kOA·kOB=·=,根据焦点弦的性质x1x2=,y1y2=-p2,故kOA·kOB==-4.]三、解答题9.在抛物线y2=2x上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.[解] 法一:设P(x0,y0)是y2=2x上任一点,则点P到直线l的距离d===,当y0=1时,dmin=,∴P.法二:设与抛物线相切且与直线x-y+3=0平行的直线方程为x-y+m=0,由得y2-2y+2m=0,∵Δ=(-2)2-4×2m=0,∴m=.∴平行直线的方程为x-y+=0,此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离,则dmin==,此时点P的坐标为.10.如图所示,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,求此抛物线的方程.[解] 过A、B分别作准线的垂线AA′、BD,垂足分别为A′、D,则|BF|=|BD|,又2|BF|=|BC|,∴在Rt△BCD中,∠BCD=30°.又|AF|=3,∴|AA′|=3,|AC|=6,|FC|=3.∴F到准线距离p=|FC|=.∴y2=3x.11.设AB为过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为( )A. B.p C.2p D.无法确定C [当AB垂直于对称轴时,|AB|取最小值,此时AB即为抛物线的通径,长度等于2p.]12.有一张长为8,宽为4的矩形纸片ABCD,按图中所示的方法进行折叠,使折叠后的点B落在边AD上,此时将B记为B′(注:图中EF为折痕,点F也可能落在边CD上).过点B′ 作B′T∥CD交EF于点T,则点T的轨迹是以下哪种曲线的一部分( )A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线B [由于B′T∥CD,故B′T⊥AD,连接TB(图略),由折叠关系,知|B′T|=|TB|,即动点T到直线AD 的距离等于到定点B的距离.由抛物线的定义,知动点T的轨迹是以B为焦点,以AD为准线的抛物线在矩形ABCD内的部分.故选B.]13.(多选题)设抛物线C:y2=3x的焦点为F,点A为C上一点,若|FA|=3,则直线FA的倾斜角可能是( )A. B. C. D.AC [如图,作AH⊥l于H,则|AH|=|FA|=3,作FE⊥AH于E,则|AE|=3-=,在Rt△AEF中,cos∠EAF==,∴∠EAF=,即直线FA的倾斜角为,同理点A在x轴下方时,直线FA的倾斜角为.]14.(一题两空)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=________,cos∠AFB=________. [设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,∴x1x2=4, ①∵|FA|=x1+=x1+2,|FB|=x2+=x2+2,且|FA|=2|FB|,∴x1=2x2+2. ②由①②得x1=4,x2=1,∴A(4,4),B(1,2),将B(1,2)代入y=k(x+2),得k=.由两点间的距离公式得|AB|=,又|FA|=2|FB|=6,由余弦定理得,cos∠AFB==.]15.已知点O为抛物线y2=2x的顶点,点A,B都在抛物线上,且∠AOB=90°,证明:直线AB必过一定点.[证明] 设OA所在直线的方程为y=kx,则直线OB的方程为y=-x,由题意知k≠0.由解得或即点A的坐标为,同样由解得点B的坐标为(2k2,-2k).故AB所在直线的方程为y+2k=(x-2k2),化简并整理,得y=x-2.不论实数k取任何不等于0的实数,当x=2时,恒有y=0.故直线过定点P(2,0).
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