2020-2021学年第五章 三角函数5.3 诱导公式测试题

习题课——任意角、三角函数与诱导公式

课后训练巩固提升

A组

1.已知角α=738°,则角是(　　)

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角

解析:∵α=738°,∴=369°=360°+9°.

∴的终边和9°的终边相同.

答案:A

2.若cos(π-α)=,且α∈,则sin(π+α)=(　　)

A.- B.- C.- D.±

解析:∵cos(π-α)=-cosα=,∴cosα=-.

又α∈,

∴sinα=.

∴sin(π+α)=-sinα=-.

答案:B

3.已知角α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cos α=x,则sin α=(　　)

A. B.- C. D.-

解析:因为|PO|=(O为坐标原点),所以cosα=x,解得x=3或x=-3,又因为α是第二象限角,所以x=-3.所以sinα=.

答案:A

4.在0~2π内,与角-终边相同的角是(　　)

A. B. C. D.

解析:与角-终边相同的角是2kπ+,k∈Z.令k=1,可得与角-终边相同的角是.

答案:A

5.已知α∈(0,π),tan α=-2,则cos α=(　　)

A. B.- C. D.-

解析:因为α∈(0,π),tanα=-2,所以α为钝角.

由解得cosα=-.

答案:B

6.若tan α=,则=(　　)

A. B. C. D.

解析:∵tanα=,

∴.

答案:C

7.已知角α是第三象限角,且=-sin,则角是第　　　　　象限角. 

解析:因为α是第三象限角,所以2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z).所以kπ+<kπ+(k∈Z).

所以是第二象限角或第四象限角.

又因为=-sin,所以sin<0.

所以是第四象限角.

答案:四

8.若tan α=-2,则的值为　　　　　. 

解析:∵tanα=-2,

∴==-.

答案:-

9.已知扇形AOB的周长为8.

(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小;

(2)当这个扇形的面积取得最大值时,求圆心角的大小和弦长AB.

解:设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α.

(1)由题意可得解得

∴α=或α==6.

(2)∵2r+l=8,∴S扇=lr=r(8-2r)=r(4-r)=-(r-2)2+4≤4,当且仅当r=2,即α==2时,扇形面积取得最大值4.

∴弦长AB=2sin1×2=4sin1.

10.已知tan θ+=3,求:

(1)sin θ+cos θ的值;

(2)(sin θ-cos θ)2的值.

解:(1)由tanθ+=3,得sinθcosθ=.

∵π<θ<,∴cosθ<0,sinθ<0.

∵(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,

∴sinθ+cosθ=-.

(2)(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=.

B组

1.给出下列四个命题:

①-是第二象限角;②是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的命题有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析:-是第三象限角,故①错误.=π+,从而是第三象限角,所以②正确.-400°=-360°-40°,是第四象限角,从而③正确.-315°=-360°+45°,是第一象限角,从而④正确.

答案:C

2.已知sin+3cos(π-θ)=sin(-θ),则sin θcos θ+cos2θ=(　　)

A. B. C. D.

解析:∵sin+3cos(π-θ)=sin(-θ),

∴cosθ-3cosθ=-sinθ,∴tanθ=2.

∴sinθcosθ+cos2θ==.

答案:C

3.已知正角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小值为(　　)

A. B. C. D.

解析:∵,

∴角α为第四象限角,且sinα=-,cosα=.

∴角α的最小值为.

答案:D

4.若sin α是5x2-7x-6=0的根,则=(　　)

A. B. C. D.

解析:∵方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-,x2=2,∴sinα=-.

∴原式==-.

答案:B

5.已知角α终边上的一点P(m,-2m)(m≠0),则2+sin α·cos α-cos2α的值为　　　　　. 

解析:∵角α终边上的一点P(m,-2m)(m≠0),

∴tanα==-.

∴2+sinα·cosα-cos2α=2+=2+=2-.

答案:

6.在平面直角坐标系xOy中,已知单位圆上动点P(sin(150°-2t),cos(150°-2t)).当t由0°增大到60°时,求动点P的轨迹的长度.

解:∵0°≤t≤60°,

∴30°≤150°-2t≤150°.

如图,可知∠POP'=120°=,

∴动点P的轨迹的长度为的长,即为1×.

7.已知角α的终边在第二象限,且与单位圆相交于点P.

(1)求实数m的值;

(2)求的值.

解:(1)∵角α的终边在第二象限,且与单位圆相交于点P,

∴m<0,m2+=1,解得m=-.

(2)由(1)可知sinα=,cosα=-,

∴==-.