数学人教A版 (2019)8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系课后练习题

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8.6.1　直线与直线垂直课后·训练提升1.已知一正方体的平面展开图如图所示,则在这个正方体中,CN,BM所在直线所成的角为(　　)A.30° B.45° C.60° D.90°解析将平面展开图还原为正方体,如图,连接AN,AC,则AN∥BM,故∠ANC为CN,BM所在直线所成的角.又△ANC为等边三角形,故∠ANC=60°,即CN,BM所在直线所成的角为60°.答案C2.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AC1,BC1的中点,则以下结论不成立的是(　　)A.EF与BB1垂直B.EF与BD所成的角为45°C.EF与CD异面D.EF与A1C1异面解析显然EF∥AB,∵BB1⊥AB,∴EF⊥BB1,故A正确.∵EF∥AB,∴∠ABD为EF与BD所成的角,又∠ABD=45°,∴EF与BD所成的角为45°,故B正确.EF∥AB∥CD,故C错误.EF与A1C1异面,故D正确.答案C3.如图,正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等,E为PC的中点,则异面直线BE与PA所成角的余弦值为(　　)A. B.C. D.-解析如图,连接AC,BD相交于点O,连接OE,则O为AC的中点.因为E为PC的中点,所以OE∥PA,OE=PA,所以∠OEB为异面直线BE与PA所成的角.不妨设正四棱锥的棱长为1,则OE=PA=,OB=BD=,BE=,故cos∠OEB=,即异面直线BE与PA所成角的余弦值为.答案A4.如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为(　　)A. B.C. D.解析如图,取BC的中点H,连接EH,AH,则∠EHA=90°,不妨设AB=2,则BH=HE=1,AH=,所以AE=.连接ED,则ED=.因为BC∥AD,所以∠EAD为异面直线AE与BC所成的角.在△EAD中,cos∠EAD=.答案C5.如图,在四面体A-BCD中,AC=BD=2,AC与BD所成的角为60°,M,N分别为AB,CD的中点,则线段MN的长为(　　)A.1 B.1或C. D.1或解析如图,取BC的中点E,连接EN,EM.因为M为AB的中点,所以ME∥AC,ME=AC=1,同理,EN∥BD,EN=1.所以∠MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角,所以∠MEN=60°或∠MEN=120°.当∠MEN=60°时,因为ME=EN=1,所以△MEN为等边三角形,所以MN=1.当∠MEN=120°时,MN=.答案D6.如图,在空间四边形ABCD中,AB=CD=3,E,F分别为AD,BC上的点,且,EF=,则AB与CD所成角的大小为　　　　　,EF与AB所成角的正弦值为　　　　　. 答案90°　7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1=2,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与BC1所成角的大小为　　　　　. 解析如图,取BC的中点F,连接EF,AF,则EF∥BC1,所以∠AEF(或其补角)为异面直线AE与BC1所成的角,因为AE==3,EF=,AF=,所以cos∠AEF=.所以∠AEF=45°,即异面直线AE与BC1所成角的大小为45°.答案45°8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1B1,B1C1的中点,求证:DB1⊥EF.证明(方法一)如图①,连接A1C1,B1D1相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G,则OG∥B1D,EF∥A1C1,①故∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为GA1=GC1,O为A1C1的中点,所以GO⊥A1C1,即∠GOA1=90°.所以异面直线DB1与EF所成的角为90°,所以DB1⊥EF.②(方法二)如图②,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,HF,则HE∥DB1,HE=DB1.于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.不妨设AA1=1,则EF=,HE=.取A1D1的中点I,连接IF,IH,则HI⊥IF,所以HF2=HI2+IF2=,所以HF2=EF2+HE2,即∠HEF=90°,所以异面直线DB1与EF所成的角为90°,所以DB1⊥EF.③(方法三)如图③,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接DQ,B1Q,则B1Q∥EF.于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.不妨设AA1=1,则DQ=,B1D=,B1Q=,所以B1D2+B1Q2=DQ2,所以∠DB1Q=90°,即异面直线DB1与EF所成的角为90°,所以DB1⊥EF.9.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面ABCD是菱形,且AB=BC=2,∠ABC=120°,A1B⊥AD1,求AA1的值.解如图,连接CD1,AC,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,因为A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥CD1,所以∠AD1C(或其补角)为A1B与AD1所成的角.又A1B⊥AD1,所以异面直线A1B与AD1所成的角为90°,所以∠AD1C=90°.由题意可知,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,又AB=BC,所以△ACD1为等腰直角三角形,所以AD1=AC.因为AB=BC=2,∠ABC=120°,所以AC=2×sin 60°×2=6,所以AD1=AC=3,所以AA1=.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.(1)求证:AD1∥平面DOC1.(2)求异面直线AD1和OC1所成角的大小.(1)证明如图,连接D1C交DC1于点O1,连接OO1.因为O,O1分别为AC,D1C的中点,所以OO1∥AD1.又OO1⊂平面DOC1,AD1⊄平面DOC1,所以AD1∥平面DOC1.(2)解由(1)知,OO1∥AD1,所以∠O1OC1为异面直线AD1和OC1所成的角,不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则O1C1=OO1=,OC1=,所以cos∠O1OC1=,所以∠O1OC1=,即异面直线AD1和OC1所成角的大小为.