人教B版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量初步6.1 平面向量及其线性运算本节综合与测试课时练习

6.1平面向量及其线性运算同步练习人教 B版（2019)高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 下列说法正确的是

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则与不是共线向量

2. 如图所示的中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则       

A.  B.  C.  D.

3. 如图所示，已知在中，D是边AB上的中点，则   

A.
B.
C.
D.

4. 在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 

A.  B.  C.  D.

5. 下列命题正确的是     

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则与可能共线
D. 若，则一定不与共线

6. 如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则 

A.
B.
C.
D.

7. 化简   

A.  B.  C.  D.

8. 在矩形ABCD中，，，则

A. 3 B. 4 C. 7 D. 5

9. 如图，在平行四边形ABCD中，为EF的中点，则

A.  B.  C.  D.

10. 设O是等边三角形ABC的中心，则向量，，是    

A. 有相同起点的向量 B. 模相等的向量
C. 平行向量 D. 相等向量

11. 我国东汉末数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则

A.  B.  C.  D.

12. 在中，D是AB边上的中点，则  

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则          ．
14. 已知，则与方向相同的单位向量是          
15. 当非零向量，满足          时，平分与的夹角．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 化简：                    
17. 在横线上填写恰当的向量，使下列等式成立：          ，          ．
18. 已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且，，则          ，          用，表示．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 如图，在中，，点E是CD的中点，设，，用表示．

20. 已知点P是边长为2的等边三角形ABC的边AC上的一个动点，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中

与向量相等的向量

与向量共线的向量

与向量平行的向量．






 

22. 如图所示，D、E是中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知，，试用分别表示、和．

23. 如图，F为线段BC的中点，，，设，，试用，表示，，．
     

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的相关概念，向量不能比较大小，向量共线不一定相等，不相等也可能共线属于基础题．

【解答】

解：向量不能比较大小，故A错
向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错
不相等的向量也可能是共线向量，故D错
C显然正确．
故选C．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的加法、减法、数乘运算，属于基础题．
根据，从而利用向量的加减运算即可．

【解答】

解：依题意，

．
故选C．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的运算，共线定理，平面向量的基本定理，属于基础题．
方法一：由D是AB的中点，得到，然后根据平面向量的运算法则即可求解；
方法二：根据D是AB的中点，可以得到，然后根据平面向量的运算法则即可求解．

【解答】

解：方法一：是AB的中点，
，
．

方法二：

．
故选B．

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是向量的运算，直接结合向量的加减和数乘求解即可，属于基础题．

【解答】

解：如图，由E为AD的中点，得，
．

又为BC的中点，

．
．
故选A．

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的基本概念，与向量共线，相等的概念，属于基础题．
对选项进行分析即可求解．

【解答】

解：因为向量既有大小又有方向，只有方向相同、大小长度相等的两个向量才相等，
因此A项错误．
两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B项错误．
不论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C项正确，D项错误．
故选C．

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的线性运算，属于基础题．
根据向量运算加法运算求解即可．

【解答】

解：根据题意得，
又，，
所以
．
故选D．

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的加法运算，属于基础题．
根据向量加法运算法则进行求解即可．

【解答】

解：．
故选D．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查平面的加法运算，考查向量求模，属于基础题．
首先求得，再求出的模即可．

【解答】解：由题意，，
由平行四边形法则可知，
所以，
所以，
故选D．  

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的加法原理与向量的减法原理，以及平面向量基本定理，属于基础题．
解题的关键是运用向量加法和减法的三角形法则或平行四边形法则，将要求的向量一步一步向已知的向量转化．

【解答】

解：，，G为EF的中点，





．
故选A．

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的模，以及平面向量基本概念，属基础题．
易知O是等边三角形ABC外接圆的圆心，从而为外接圆的半径，由此可得结论．

【解答】

解：因为O是等边三角形的中心，
所以O是等边三角形ABC外接圆的圆心，
所以为外接圆的半径，
所以向量是模相等的向量，
故选B．

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的加减运算以及数乘运算，属于基础题．
过F作于G，不妨设，，则，，从而根据即可得出结论．

【解答】

解：过F作于G，不妨设，，则，，
所以，，，
所以，，
所以．
故选B．
 

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
根据向量加减法运算法则可得．
【解答】
解：由D是AB的中点可得，，

所以．
故选C．

13.【答案】2
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的加法、减法、数乘运算，属于基础题．
由条件可得，根据O为AC的中点，可得，即可得的值．

【解答】

解：因为四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
所以，
又O为AC的中点，

所以，
所以．
因为，
所以．
故答案为2．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

根据向量共线以及向量模长公式进行求解即可．
本题主要考查向量共线的应用，结合向量模长公式是解决本题的关键．

【解答】

解：设与方向相同的单位向量是，
则，
则，
即，
即，则，
则，
故答案为：

15.【答案】模相等且不共线
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的加法及夹角问题，属于基础题．
根据平面向量性质求解即可．

【解答】

解：由题得平分与的夹角，
即模相等且不共线，
故答案为模相等且不共线．
 

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的加法运算，属于基础题．
通过平面向量的加法的三角形法则计算即可得到答案；
通过平面向量的加法的三角形法则计算即可得到答案．

【解答】

解：根据平面向量的加法的三角形法则可以得到：
，
 根据平面向量的加法的三角形法则可以得到：
．

 

17.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的加法与减法，利用向量的三角形法则可解决，是容易题．
根据向量的加减法运算直接化简求解．

【解答】

解：因为，，

所以；

因为，，
所以，
即．

故答案为，．

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的加法、减法、数乘运算以及平面向量的基本定理及其应用，属于基础题．
根据平面向量的加法、减法、数乘运算，即可得到答案．
 

【解答】

解：如图，

，
．

19.【答案】解：，

．

【解析】本题考查了向量的运算和平面向量的基本定理，是基础题．
根据向量的加减运算法则，，分别代换即可．
 

20.【答案】解：如图所示，由加法的平行四边形法则，
设O为PC的中点，．
因为点P从C运动到A时，点O从C运动到AC的中点，
所以当点P在A点时，点O在AC的中点．
因为是等边三角形，
所以此时．
所以此时BO取得最小值
当点P在C点时，BO取得最大值2．
所以的取值范围是．

【解析】本题考查向量的加法运算，考查向量的模，属于基础题利用向量加法的平行四边形法则求出
再分情况求出BO的最值，即可解得的取值范围．
 

21.【答案】解：，

，，，，

，，，，．

【解析】本题考查相等、共线向量的概念以及向量的模，属于基础题．
在图中给出的长度为的向量中，
  根据相等向量的概念，写出与向量相等的向量即可；
根据共线向量的概念，写出与向量共线的向量即可；
根据共线平行向量的概念，写出向量平行的向量．
 

22.【答案】解：由三角形中位线定理，知，
即，

，


．
 

【解析】本题主要考查向量加法、减法的计算法则，向量的几何运用．
由三角形中位线定理，知，即，又，，从而得解．
 

23.【答案】解：为线段BC的中点，，，
又，，
；
是BC的中点，
，
又，
； 
．
 

【解析】本题考查向量的线性运算，属于基础题．
利用向量的加减、数乘运算法则求解即可．