数学必修 第二册第五章 统计与概率5.3 概率本节综合与测试巩固练习

5.3概率同步练习人教 B版（2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 从集合1，2，中随机地取一个数a，从集合4，中随机地取一个数b，则向量与垂直的概率为       

A.  B.  C.  D.

2. 从装有2个红球和2个白球的袋内任取两个球，那么下列事件中，对立事件的是

A. 至少有一个白球；都是白球
B. 至少有一个白球；至少有一个红球
C. 恰好有一个白球；恰好有2个白球
D. 至少有1个白球；都是红球

3. 某社区为了更好的开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表．假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟．

则在某一天，第三位居民恰好等待4分钟才开始办理业务的概率为   

A.  B.  C.  D.

4. 某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机产生之间的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示该天下雪，其概率为，每3个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的20组随机数．

则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为 

A.  B.  C.  D.

5. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：
   977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，
   431，257，394，027，556，488，730，113，537，908．
   由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为 

A.  B.  C.  D.

6. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为

A.  B.  C.  D.

7. 在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是   

A.
B.
C.
D.

8. 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，则至少需要志愿者   

A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名

9. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是

A.  B.  C.  D.

10. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为

A.  B.  C.  D.

11. 甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 

A.  B.  C.  D.

12. 下列叙述正确的是

A. 互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B. 若事件A发生的概率为，则
C. 频率是稳定的，概率是随机的
D. 5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品，从这批产品中任意抽5件，记A为“恰有1件次品”，B为“至少有2件次品”，C为“至少有1件次品”，D为“至多有1件次品”现给出下列结论：；是必然事件；；其中正确的结论为          写出序号即可
14. 某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为          ．
15. 若随机事件A，B互斥，且A，B发生的概率均不为0，，，则实数a的取值范围为          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为          ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为          ．
17. 通过模拟试验产生了20组随机数：
    
    
    
    如果恰好有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示恰好有三次击中目标，则四次射击中恰好有三次击中目标的概率约为          ，四次射击全都击中目标的概率约为          ．
18. 已知7件产品中有5件合格品，2件次品，为找出这2件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，则第一次和第二次都检验出次品的概率为          ；恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品的概率为          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 某大学生命科学学院为激发学生重视和积极参与科学探索的热情和兴趣，提高学生生物学实验动手能力，举行生物学实验技能大赛．大赛先根据理论笔试和实验操作两部分进行初试，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有理论笔试和实验操作两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的比赛．在初试部分，甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．
    假设甲、乙、丙三人同时进行理论笔试与实际操作两项考试，谁获得下一轮比赛的可能性最大？
    这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，求恰有两人获得下一轮比赛的概率．
    
    
    
    
    
    
     
20. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立在某局双方平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．

求；

求事件“且甲获胜”的概率．






 

21. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
    累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
    经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．
    求甲连胜四场的概率；
    求需要进行第五场比赛的概率；
    求丙最终获胜的概率．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知袋中装有5个小球，其中3个黑球记为A，B，C，2个红球记为a，b，现从中随机摸出两个球．

写出所有的基本事件；

求两个球中恰有一个黑球的概率；

求两个球中至少有一个黑球的概率．






 

23. 在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、，且各轮问题能否正确回答互不影响．

Ⅰ求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
Ⅱ求该选手至多进入第三轮考核的概率；

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量垂直的坐标表示及古典概率的求解公式的简单应用，属于基础试题．
先求出基本事件的个数，然后求解满足向量的个数，结合古典概率的求解公式可求．

【解答】

解：从集合1，2，中随机地取一个数a，从集合4，中随机地取一个数b，基本事件总数．
当向量与向量垂直时，，满足条件的基本事件有，，共两个，
则所求概率．
故选D．

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】

从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有3种：“2个白球”、“一个白球和一个红球”、“2个红球”．
由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生，结合所给的选项，逐一进行判断，从而得出结论．
本题主要考查对立事件的定义，属于基础题．

【解答】

解：从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球，
所有的情况有3种：“2个白球”、“一个白球和一个红球”、“2个红球”．
由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生，
从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球，
则“至少有一个白球”和“都是红球”是对立事件，
故选D．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了相互独立事件同时发生的概率，属于中档题．
设事件A表示“第三位居民恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：第一个居民办理业务所需时间为1分钟，且第二个居民办理业务所需的时间为3分钟；第一个居民办理业务所需的时间为3分钟，且第二个居民办理业务所需的时间为1分钟；第一个和第二个居民办理业务所需的时间均为2分钟，由此可求概率．

【解答】

解：设Y表示居民办理业务所需的时间，用频率估计概率，如下：

设A表示事件“第三个居民恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：

第一个居民办理业务所需时间为1分钟，且第二个居民办理业务所需的时间为3分钟；

第一个居民办理业务所需的时间为3分钟，且第二个居民办理业务所需的时间为1分钟；

第一个和第二个居民办理业务所需的时间均为2分钟．

所以．
故选C．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了概率的求解，解题的关键是正确理解题意，找到表示三天中有两天下雪的随机数的个数，属于基础题．
根据题中的条件，找出20个随机数中表示三天中有两天下雪的随机数，确定其个数，利用概率计算公式求解即可．

【解答】

解：在20组随机数中，三位数中有2个数字为1，2或3的即可，
故表示三天中有两天下雪的随机数有：522，135，531，423，521，142，125，324，325，一共有9个，
据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为．
故选：B．

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查模拟方法估计概率，考查古典概型．
由题意在20组随机数中表示三天都不下雨的随机数共6组，根据对立事件的概率公式，得到结果．

【解答】

解：代表今后三天都不下雨的随机数有977，864，458，569，556，488，共6组，
记“今后三天中至少有一天下雨”为事件A，“今后三天都不下雨”为事件B，则A与B为对立事件．
所以，
故选B．

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
所有的可能结果有种，列举出第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的结果，即可求解．

【解答】

解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
所有的可能结果有种，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的结果有：
，，，，，，，，，，
共有种，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．
故选A．

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查事件的关系及概率计算．
设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件，
由于A，B，C相互独立，可得ABC，，互斥，即可得
，
计算即可求得结果．

【解答】

解：设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，
则灯亮这一事件，
且A，B，C相互独立，ABC，，互斥，
所以

．
故选B．

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查对概率的理解，属于基础题．
通过条件容易得出第二天需配送的总订单数，进而可求出所需至少人数．

【解答】

解：因为公司可以完成配货1200份订单，
则至少需要志愿者为名

故选B．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查积事件与和事件的概率求解，属于基础题．
记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果．

【解答】

解：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，
则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，
“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，

则，，，

所以
，

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为．

故选：C．

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了古典概率的问题，采用一一列举法，属于基础题．
从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，列举出所有的基本事件共有10种，其中全是女生的有3种，根据概率公式计算即可，

【解答】

解：2名男同学设为，，3名女同学设为，，，
从5个人中任选2人参加社区服务，包含的基本事件为：
，，，，，，，，，，共10个，
其中，选中的2人都是女同学有：，，，共3个，
故选中的2人都是女同学的概率．
故选：D．

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了相互独立事件同时发生的概率，属于中档题．
根据题意，两个零件中恰有一个一等品，即甲加工的零件为一等品而乙不是，或乙加工的零件为一等品而甲不是，结合对立事件和互相独立事件的概率公式计算即可得解．

【解答】

解：设事件A：甲实习生加工的零件为一等品，
事件B：乙实习生加工的零件为一等品，
则，，
所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为

．
故选B．

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了概率的含义，概率的基本性质，互斥事件与对立事件和等可能事件的判断与概率计算，属于基础题．
利用互斥事件与对立事件的定义对A进行判断，利用概率的基本性质对B进行判断，利用概率和频率的含义对C进行判断，再利用等可能事件的概率计算对D进行判断，从而得结论．

【解答】

解：对于A、互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，因此A错误；
对于B、事件A发生的概率为，则，因此B正确；
对于C、频率是随机的，概率是稳定的，因此C错误；
对于D、5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性都为，因此D错误．
故选B．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查互斥事件、对立事件间的定义，事件间的相互关系，属于中档题．
根据互斥事件、对立事件间的定义，事件间的相互关系，判断各个命题是否正确，从而得出结论．

【解答】

解：由于事件：A：“恰有1件次品”和事件B：“至少有2件次品”的和表示事件：“至少有1件次品”，即事件C，故有：成立．
由于事件B：“至少有2件次品”和事件D：“至多有1件次品”的和是必然事件，故是必然事件成立．
由于事件表示事件C，而，不成立．
由于表示事件“至多有一件次品”，即事件D，而，故不成立．
故答案为．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
在甲、乙、丙处投中分别记为事件A，B，C，恰好投中两次为事件，，发生，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．

【解答】

解：在甲、乙、丙处投中分别记为事件A，B，C，
恰好投中两次为事件，，发生，
故恰好投中两次的概率：
，
解得．
故答案为：．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查概率的基本性质性质，属于基础题．
由题意可得即可求解．

【解答】

解：由题意可得

解得．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了互斥事件的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题．
根据互斥事件的概率公式计算即可．

【解答】

解：因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为和，
则甲、乙两球都落入盒子的概率，
甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为，
故答案为：，．

17.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查随机模拟与古典概型的计算．
由题意，在20组随机数中，表示恰有三次击中目标的随机数有3013、2604、5725、6576、6754共5组，四次全击中有4422、3346共两组，再由古典概型概率公式计算概率．

【解答】

解：由题意知四次射击中恰有三次击中目标对应的随机数有3013、2604、5725、6576、6754，共5组，而随机数总共20组，

所以所求的概率约为；
四次全击中对应的随机数有4422、3346，共两组，
所以所求的概率约为．

故答案为；．

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是拔高题．
利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案；
恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品有两种可能：正次正次，正正次次，利用概率公式即可求出答案．

【解答】

解：第一次和第二次都检验出次品的概率为，
恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品有两种可能：正次正次，正正次次，其概率为，
故答案为；．

19.【答案】解：设“甲获得下一轮比赛”为事件A，“乙获得下一轮比赛”为事件B，“丙获得下一轮比赛”为事件C，
其中A、B、C的每两次考试之间彼此相互独立，
由于，，，
所以，
所以甲获得下一轮比赛的可能性最大．
设“三人考试后恰有两人获得下一轮比赛”为事件D：
则，
由，，
，
所以概率和为：．
 

【解析】直接利用相互独立事件的运算公式求出结果；
利用相互独立事件和互斥事件的概率的应用求出结果．
本题考查的知识要点：互斥事件和相互独立事件，概率的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件2，3，，
则


；
且甲获胜


．
 

【解析】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查推理能力与计算能力，是中档题．
设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件2，3，，则，由此能求出结果；
且甲获胜，由此能求出事件“且甲获胜”的概率．
 

21.【答案】甲连胜四场只能是前四场全胜，．
根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行5场比赛，
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜4场的概率为；
乙连胜4场的概率为；
丙上场后连胜3场的概率为；
所以需要进行第5场比赛的概率为，
丙最终获胜有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为，
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜，负，轮空结果有3种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，
因此丙最终获胜的概率为．
 

【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是拔高题．
甲连胜四场只能是前四场全胜，由此能求出甲连胜四场的概率．
根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行5场比赛，
比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜4场的概率为；乙连胜4场的概率为；丙上场后连胜3场的概率为，从而求出需要进行第五场比赛的概率．
丙最终获胜有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜，负，轮空结果有3种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，从而求出丙最终获胜的概率．
 

22.【答案】解：以有序实数对表示摸球的结果，列举如下：  ，，，，，，，，，．

记“两个球中恰有一个黑球”为事件M，则事件M包括，，，，，共6种情况，所以．

记“两个球中至少有一个黑球”为事件N，
则事件N的对立事件为“两个球中没有黑球”，
易知，
所以．

【解析】本题考查基本事件、古典概型的概率公式、以及对立事件概率的应用，属于基础题．
以有序实数对表示摸球的结果，用列举写出所有的基本事件；
运用列举法以及古典概型的概率公式求解即可得到所求概率；
记“两个球中至少有一个黑球”为事件N，先求出，再根据对立事件的概率公式求解，即可得到答案．
 

23.【答案】解：设事件表示“该选手能正确回答第i轮问题”．

由已知，，，．

Ⅰ设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，

则；
答：该选手进入第三轮才被淘汰的概率为；

Ⅱ设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则

．
答：该选手至多进入第三轮考核的概率．

【解析】本题考查互斥、对立、独立事件概率的求解，属于基础题．
Ⅰ记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为 2，3，，由题意得 ，，，，则该选手进入第三轮才被淘汰的概率为，代入乘法公式求解即可．
Ⅱ该选手至多进入第三轮考核的可能情况有三种，运用公式即可求解．