初中数学人教版九年级上册21.2.2 公式法课时练习

21.2.2解一元二次方程（公式法）同步练习

一．用公式法解一元二次方程

1.．                 2.                       3.

4.；                     5.．                6. ．

7.                   8.                    9.

二．填空题。

1．方程的解是___________．

2．当________时，关于的方程可用公式法求解．

3．方程（）的根是___________．

4．方程中，的值为__________，根是___________．

5．若关于x的一元二次方程有实数根，则n的值可能是_______．

6．M（a，b）是一次函数y=x+3图像上一点，则关于x的方程ax2+bx+1=0的根的情况是____

7．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0的根的情况是_____．

8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是____________．

9．已知命题：“关于的一元二次方程，当时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是___．

10．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的最小值是___________．

11．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．

12．若关于的方程有两个相等的实数根，则__________．

三．解答题。

1．已知关于的一元二次方程．

（1）当时，求方程的根；

（2）如果方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

2.不解方程，判断下列关于x的方程根的情况：

（1）；           （2）．

3.已知关于x的方程有两个实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．

4.关于x的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．

5.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若方程的两根都为整数，求正整数的值．

6．已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求k的值

解一元二次方程（公式法）同步练习答案解析

一．用公式法解一元二次方程

1.【答案】 ．     2.【答案】x1=，x2=    3.【答案】x1=，x2=

4. 【答案】；    5.【答案】 ．             6.【答案】．

7.【答案】，    8.【答案】 ，；      （2）【答案】 无实数根

二．填空题。

1．，

2．

3．

4．5     

5．1（答案不唯一）

6．有实数根

7．有两个不相等的实数根

8．

9．b=1（答案不唯一）

10．0．

11．m＜

12．−

三．解答题.

1.【答案】（1）x1=，x2=；（2）m＞

【分析】（1）当m=3时，方程为，得到一个一元二次方程，解之即可，（2）根据“方程有两个不相等的实数根”，得到判别式△＞0，得到关于m的一元一次不等式，解之即可．

   解：（1）把m=3代入方程中，得：，

∵a=3，b=2，c=-2，

∴△=4-4×3×（-2）=28，

∴x=，

∴x1=，x2=；

（2）∵方程有两个不相等的实数根，

∴△＞0，

∴4-4×3×（-m+1）＞0，

解得m＞．

2.【答案】（1）没有实数根；（2）有两个不相等的实数根

【分析】（1）根据根的判别式即可判断；（2）根据根的判别式即可判断；

  解：（1）由题得：

∴原方程没有实数根；     

（2）由题得：         

∴原方程有两个不相等的实数根．

3.【答案】（1）；（2）该方程有两个不相等的实数根

【分析】（1）将代入，解方程即可得出k的值；（2）利用一元二次方程根的判别式即可得出结论．

 解：（1）将代入得：，

解得；

（2）∵，，，

∴，

∵，

∴，

∴该方程有两个不相等的实数根．

4.【答案】（1）且；（2）

【分析】(1)因为一元二次方程有两个实数根,所以必须满足下列条件:二次项系数不为零且判别式，列出不等式求解即可确定k的取值范围．

(2）在k的取值范围内确定最大整数，代入原方程，再运解方程即可．

 解：（1）∵关于x的方程有两个实数根，

∴且．

．

∴且．

∴且．          

（2）当k取最大整数时，，

此时，方程为，

解得．

∴当时，方程的根为．

【答案】（1）见详解；（2）k＜-1

【分析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k−3）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝-3，x2＝-k，根据方程有一根大于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．

（1）证明：∵在方程中，△＝（k＋3）2−4×1×3k＝k2−6k＋9＝（k−3）2≥0，

∴方程总有两个实数根；

（2）解：∵，

∴x1＝-3，x2＝-k．

∵方程有一根大于1，

∴-k＞1，解得：k＜-1，

∴k的取值范围为k＜-1．

5.【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）直接运用一元二次方程根的判别式列不等式解答即可；

（2）先运用求根公式求解，然后根据根为整数以及二次根式有意义的条件列式解答即可．

 解：（1）∵关于的方程有两个实数根，

∴，解得，；

（2）由题意得，

，

∵为整数，且为正整数，

∴或，

又∵

∴．

6.【答案】（1）见解析；（2）12或3

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；

（2）利用因式分解法可求出AB，AC的长，分BC为直角边及BC为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论．

【详解】解：（1）证明：∵△=[-（2k+1）]2-4×（k2+k）=1＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

（2）∵x2-（2k+1）x+k2+k=0，即（x-k）[x-（k+1）]=0，

解得：x1=k，x2=k+1．

当BC为直角边时，k2+52=（k+1）2，

解得：k=12；

当BC为斜边时，k2+（k+1）2=52，

解得：k1=3，k2=-4（不合题意，舍去）．

答：k的值为12或3．