初中数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定测试题

这是一份初中数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定测试题，共27页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。

2．如图，在△ABC与△ADE中，AC＝AE，∠C＝∠E，点D在BC边上，∠1＝∠2．试判断BC与DE的数量关系，并说明理由．
3．如图，点D、C在线段BF上，且BD＝CF，AB∥EF，AB＝EF，判定AC与DE的位置关系，并说明理由．
4．如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，∠E+∠CBE＝180°，求证：AC＝DF．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＜BF．已知BE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若点D在AF的延长线上，AD＝AC，∠BAE＝30°，∠BAD＝75°，求证：AB∥DC．
6．如图，D是△ABC的边AC上一点，点E在AC的延长线上，ED＝AC，过点E作EF∥AB，并截取EF＝AB，连接DF．求证：△EFD≌△ABC．
7．如图，AD＝AC，∠1＝∠2＝40°，∠C＝∠D，点E在线段BC上．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）求∠AEC的度数．
8．如图过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：BF＝CE；
（2）若△ACE的面积为4，△CED的面积为3，求△ABF的面积．
9．如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．
（1）求证：AE＝AF；
（2）AE与AF有何位置关系．请说明理由．
10．（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；并判断BE与CD的大小关系为：BE CD．（不需说明理由）
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE、CD，BE与CD有什么数量关系？并说明理由；
11．综合与探究
如图（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D在AC上，且AD＝6cm，过点A作射线AE⊥AC（AE与BC在AC同侧），若动点P从点A出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连接PD、BD．
（1）如图①，当PD⊥BD时，求证：△PDA≌△DBC；
（2）如图②，当PD⊥AB于点F时，求此时t的值．
13．如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．
（1）求证：BE＝AC；
（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点，且BD＝DC，CD⊥AC，点M、N分别在AB、AC上，∠MDN＝∠BDC，在AC的延长线上截取了CP＝BM，并连接DP．
（1）△MBD≌△PCD吗？请说明理由；
（2）试说明MN＝NP．
15．如图AB＝36米，CB⊥AB于点B，EA⊥AB于点A，已知CB＝24米，点F从点B出发，以3米/秒的速度沿BA向点A运动（到达点A停止运动），设点F的运动时间为t秒．
（1）如图，S△BFC＝ ．（用t的代数式表示）
（2）点F从点B开始运动，点D同时从点A出发，以x米/秒的速度沿射线AE运动，是否存在这样x的值，使得△AFD与△BCF全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
16．已知∠MON＝48°，点C是∠MON的平分线上一动点，点A，B分别是边ON，OM上动点，AB交OC于点D．
（1）如图1，当AB⊥OC，AC∥OB时，图中有 对全等的三角形，∠DAC＝ °．
（2）如图2，当AB平分∠OAC，且∠DAC＝∠DCA时，求∠OBA的度数．
（3）如图3，当BA⊥AN于点A，在点C移动过程中，△ACD内有两个角相等时，求∠OAC的度数
17．在△ABC中，若最大内角是最小内角的n倍（n为大于1的整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如：在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝120°，则称△ABC为6倍角三角形．
（1）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，则△ABC为 倍角三角形；
（2）若一个等腰三角形是4倍角三角形，求最小内角的度数；
（3）如图，点E在DF上，BE交AD于点C，AB＝AD，∠BAD＝∠EAF，∠B＝∠D＝25°，∠F＝75°．找出图中所有的n倍角三角形，并写出它是几倍角三角形．
18．如图，已知在等腰△ABC中AB＝AC，点D，点E和点F分别是BC，AB和AC边上的点，且BE＝DC，∠B＝∠EDF，试说明DE＝DF．
19．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 ；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．
20．一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：
如图，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O，点P、D分别在AO和BC上，PB＝PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．
（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：
根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．
（2）特殊位置，证明结论
若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP＝CD．
21．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
22．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF；EF |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
23．已知四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），易证AE+CF＝EF；
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
24．如图，已知AB＝AC，延长AC到E，并作直线DE，使其与BC，AB分别交于点G，D．
（1）若CE＝BD，求证：GE＝GD；
25．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
参考答案
1．解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，
∴∠BCD＝∠BDC，∠BAE＝∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE＝∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，
∴②正确；
③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，
∴∠DCE＝∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE＝EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC，
∴AD＝AE＝EC，
∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直与BC，
∴EF≠EC，
∴③错误；
④由③知AD＝AE＝EC，
∴④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故答案是：①②④．
2．解：BC＝DE．
理由：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠1，
∵∠ADC＝∠ADE+∠2，∠1＝∠2，
∴∠B＝∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴BC＝DE．
3．解：AC∥DE．
理由：∵BD＝CF，
∴BD+CD＝CF+CD，
即BC＝DF，
∵AB∥EF，
∴∠B＝∠F，
在△ABC和△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD（SAS），
∴∠ACB＝∠EDF，
∴AC∥DE．
4．证明：∵∠E+∠CBE＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠E＝∠ABC，
∵AD＝BE，
∴AD+DB＝BE+DB，
即AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC＝DF．
5．证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABE＝∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，
∴∠BAE＝∠CAF＝30°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD＝75°，
∴∠BAD＝∠ADC，
∴AB∥CD．
6．证明：∵EF∥AB，
∴∠E＝∠A，
在△EFD和△ABC中，
，
∴△EFD≌△ABC（SAS）．
7．（1）证明：∵∠1＝∠2＝40°，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，
即∠BAC＝∠EAD，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（ASA）；
（2）解：由（1）得：△ABC≌△AED，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB＝（180°﹣∠1）＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠AEC＝∠1+∠B＝40°+70°＝110°．
8．解：（1）∵CE⊥AD，BF⊥AF，
∴∠CED＝∠BFD＝90°，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△CED和△BFD中，
，
∴△CED≌△BFD（AAS），
∴BF＝CE；
（2）∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD，
∵S△ACE＝4，SCED＝3，
∴S△ACD＝S△ABD＝7，
∵△BFD≌△CED，
∴S△BDF＝S△CED＝3，
∴S△ABF＝S△ABD+S△BDF＝7+3＝10．
9．（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AGB＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°，
∴∠ACD＝∠EBA，
在△AEB和△FAC中，
，
∴△AEB≌△FAC（SAS），
∴AE＝AF；
（2）解：AE⊥AF，理由如下：
由（1）知△AEB≌△FAC，
∴∠E＝∠CAF，
∵BE⊥AC，垂足为G，
∴∠AGE＝90°，
∵∠E+∠EAG＝90°，
∴∠CAF+∠EAG＝90°，
即∠EAF＝90°，
∴AE⊥AF．
27．解：（1）完成图形，如图所示：
证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE＝CD．
故答案是：＝；
（2）BE＝CD，理由同（1），
∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠CAD＝∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE＝CD；
11．解：（1）△ACP≌△BPO，PC⊥PO．
理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝7，
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝90°，
∴∠APC+∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
可得：7＝9﹣2t，2t＝xt，
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：7＝xt，2t＝9﹣2t
解得：，．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．
12．（1）证明：如图①，∵PD⊥BD，
∴∠PDB＝90°，
∴∠BDC+∠PDA＝90°，
又∵∠C＝90°，
∴∠BDC+∠CBD＝90°，
∴∠PDA＝∠CBD，
又∵AE⊥AC，
∴∠PAD＝90°，
∴∠PAD＝∠C＝90°，
又∵BC＝6cm，AD＝6cm，
∴AD＝BC，
在△PAD和△DCB中，
，
∴△PDA≌△DBC（ASA）；
（2）解：如图②，∵PD⊥AB，
∴∠AFD＝∠AFP＝90°，
∴∠PAF+∠APF＝90°，
又∵AE⊥AC，
∴∠PAF+∠CAB＝90°，
∴∠APF＝∠CAB，
在△APD和△CAB中，
，
∴△APD≌△CAB（AAS），
∴AP＝AC，
∵AC＝8cm，
∴AP＝8cm，
∴t＝8．
13．（1）证明；∵AD⊥BC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
在△BDE与△ADC中，
，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴BE＝AC；
（2）解：AC⊥MC且AC＝MC，理由如下：
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△BFE与△CFM中，
，
∴△BFE≌△CFM（SAS），
∴∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，
由（1）得：∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，
∴∠CAD＝∠BCM，AC＝MC，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BCM+∠ACD＝90°，
即∠ACM＝90°，
∴AC⊥MC，
∴AC⊥MC且AC＝MC．
14．证明：（1））△MBD≌△PCD，理由如下：
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠DCB，
∴∠ABC+∠DBC＝∠ACB+∠DCB，
即∠ABD＝∠ACD，
∵CD⊥AC，
∴∠ABD＝∠ACD＝∠DCP＝90°，
在△MBD和△PCD中，
，
∴△MBD≌△PCD（SAS）；
（2）由（1）知，△MBD≌△PCD，
∴MD＝PD，∠MDB＝∠PDC，
∵∠MDN＝∠BDC，
∴∠BDM+∠NDC＝∠PDC+∠NDC＝∠NDP＝∠BDC，
∴∠MDN＝∠NDP，
在△MDN和△PDN中，
，
∴△MDN≌△PDN（SAS），
∴MN＝NP．
15．解：（1）∵BF＝3t米，∠B＝90°，CB＝24米，
∴S△BFC＝BF•CB＝•3t•24＝36t（平方米）．
故答案为：36t平方米；
（2）由题意可得，AD＝xt米，BF＝3t米．
当△AFD与△BCF全等时，分两种情况：
①如果△AFD≌△BCF，那么AF＝BC，AD＝BF，
∴36﹣3t＝24，xt＝3t，
解得x＝3；
②如果△AFD≌△BFC，那么AF＝BF，AD＝BC，
∴36﹣3t＝3t，xt＝24，
解得t＝6，x＝4．
故所求x的值为3或4．
16．解：（1）如图1，∵OC平分∠MON，
∴∠AOD＝∠BOD＝24°，
∵AB⊥OC，
∴∠ADO＝∠BDO＝90°，
在△ADO和△BDO中，
，
∴△ADO≌△BDO（ASA），
∴BD＝AD，
∵AC∥OB，
∴∠ACO＝∠BOD＝∠AOC＝24°，
∴∠DAC＝66°，
在△BDO和△ADC中，
，
∴△BDO≌△ADC（AAS），
同理可证△ADC≌△ADO（AAS），
故答案为：3，66；
（2）设∠DCA＝x°＝∠DAC，
∵AB平分∠OAC，
∴∠DAC＝∠DAO＝x°，
由题意可得：3x°+24°＝180°，
∴x＝52，
∴∠OBA＝180°﹣48°﹣52°＝80°；
（3）当点C在AD的右侧时，∵∠ADC＝∠OAB+∠AOD＝114°，
∴∠DAC＝∠DCA＝33°，
∴∠OAC＝123°；
当点C在AD的左侧时，
若∠DAC＝∠CDA＝66°时，∠OAC＝90°﹣66°＝24°；
若∠DAC＝∠DCA时，则∠DAC＝＝57°，
∴∠OAC＝33°；
若∠ADC＝∠ACD＝66°，则∠DAC＝48°，
∴∠OAC＝42°，
综上所述：∠OAC的度数为123°或24°或33°或42°．
17．解：（1）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∵90°÷30°＝3，
∴△ABC为3倍角三角形，
故答案为：3；
（2）设最小内角的度数为x°，则最大角为4x°，
当最小角是等腰三角形的顶角时，则底角为4x°，得：
4x+4x+x＝180，
解得x＝20，
当最小角是等腰三角形的底角时，则底角为x°，得：
4x+x+x＝180，
解得x＝30，
∴最小内角的度数为20°或30°；
（3）∵∠BAD＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠DAF，
在△BAE和△DAF中，
，
∴△BAE≌△DAF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠F＝75°，
∴∠EAF＝180°﹣75°×2＝30°，
∴∠BAD＝∠EAF＝30°，
∵∠B＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝125°，
∵125°÷25°＝5，
∴△ABC为5倍角三角形，
∵∠D＝25°，∠DCE＝∠ACB＝125°，
∴∠CED＝180°﹣∠D﹣∠DCE＝30°，
∵125°÷25°＝5，
∴△DEC为5倍角三角形，
∴图中的n倍角三角形有△ABC和△DEC，它们都是5倍角三角形．
18．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝∠EDF，
∴∠C＝∠EDF，
∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，
∴∠BED＝∠CDF，
在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（ASA），
∴DE＝DF．
19．证明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
又∵AB＝AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠FAC，
又∵AB＝AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ACF＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．
即CF⊥BD．
（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）．
理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，
则∠GAC＝90°，
∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，
∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACB＝∠AGC＝45°，
∴AC＝AG，
∵∠DAG＝∠FAC（同角的余角相等），AD＝AF，
∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF＝∠AGC＝45°，
∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．
20．（1）证明：∵PB＝PD，
∴∠2＝∠PBD，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠C＝45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1＝45°，
∴∠1＝∠C＝45°，
∵∠3＝∠PBC﹣∠1，∠4＝∠2﹣∠C，
∴∠3＝∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP＝∠PED＝90°，
在△BPO和△PDE中
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
（2）证明：由（1）可得：∠3＝∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP＝∠3，
∴∠ABP＝∠4，
在△ABP和△CPD中
∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP＝CD．
21．证明：（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴AG＝AF，∠1＝∠2．
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
又∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD
（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．
（3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．
证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD
＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
22．解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF，
∵CA＝CB，∠BEC＝∠CFA；
∴△BCE≌△CAF，
∴BE＝CF；EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．
②所填的条件是：∠α+∠BCA＝180°．
证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣∠α．
∵∠BCA＝180°﹣∠α，
∴∠CBE+∠BCE＝∠BCA．
又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，
∴∠CBE＝∠ACF，
又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）
∴BE＝CF，CE＝AF，
又∵EF＝CF﹣CE，
∴EF＝|BE﹣AF|．
（2）猜想：EF＝BE+AF．
证明过程：
∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°，
∴∠BCE＝∠CAF，
又∵BC＝CA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF，EC＝FA，
∴EF＝EC+CF＝BE+AF．
23.解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，AE＝CF，

在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF；
∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF＝30°，
∴AE＝BE，CF＝BF；
∵∠MBN＝60°，BE＝BF，
∴△BEF为等边三角形；
∴AE+CF＝BE+BF＝BE＝EF；
图2成立，图3不成立．
证明图2．
延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，
在△BAE和△BCK中，
则△BAE≌△BCK，
∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，
∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠FBC+∠ABE＝60°，
∴∠FBC+∠KBC＝60°，
∴∠KBF＝∠FBE＝60°，
在△KBF和△EBF中，
∴△KBF≌△EBF，
∴KF＝EF，
∴KC+CF＝EF，
即AE+CF＝EF．
图3不成立，
AE、CF、EF的关系是AE﹣CF＝EF．
24．证明：（1）过D作DF∥CE，交BC于F，
则∠E＝∠GDF．
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC
∵DF∥CE，
∴∠DFB＝∠ACB，
∴∠DFB＝∠ACB＝∠ABC．
∴DF＝DB．
∵CE＝BD，
∴DF＝CE，
在△GDF和△GEC中，
，
∴△GDF≌△GEC（AAS）．
∴GE＝GD．
25．证明：（1）①∵∠ADC＝∠ACB＝∠BEC＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°．
∴∠CAD＝∠BCE．
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB．
②∵△ADC≌△CEB，
∴CE＝AD，CD＝BE．
∴DE＝CE+CD＝AD+BE．
解：（2）∵∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE．
又∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE．
∴CE＝AD，CD＝BE．
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE．
（3）当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE＝BE﹣AD（或AD＝BE﹣DE，BE＝AD+DE等）．
∵∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
又∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．