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    2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.4圆周角解答题优生辅导专题突破训练卷(含解析)

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    苏科版2.4 圆周角同步练习题

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    这是一份苏科版2.4 圆周角同步练习题,共23页。试卷主要包含了已知AB是⊙O的直径等内容,欢迎下载使用。
    2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.4圆周角解答题优生辅导专题突破训练卷
    1.如图,AB是⊙O的直径,弦BC、DE的延长线交于点F,AB⊥DE于H,连接BE、CE.
    (1)求证:∠BEC=∠F.
    (2)连OE,若OE∥BC,CE=13,DE=24,求⊙O的半径.



    2.如图,BC是⊙O的直径,点A、D在⊙O上,DB∥OA,BC=10,AC=6.
    (1)求证:BA平分∠DBC;
    (2)求DB的长.

    3.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DE的延长线交⊙O于点G,DF⊥DG,且交BC于点F.
    (1)求证:AE=BF;
    (2)连接EF,求证:∠FEB=∠GDA.


    4.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,BD⊥AC,垂足为E,连接CD;
    (1)若∠CAD=23°,求∠BAC的度数;
    (2)若∠ACD=45°,AC=13,求CD的长.



    5.如图,在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=62°,∠APD=86°.
    (1)求∠B的大小;
    (2)已知AD=6,求圆心O到BD的距离.


    6.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC,AB于点E,F.
    (1)求∠ODB的度数;
    (2)若BD=2,BF=2,求圆O的半径.


    7.已知AB是⊙O的直径.
    (Ⅰ)如图①,==,∠MON=35°,求∠AON的大小;
    (Ⅱ)如图②,E,F是⊙O上的两个点,AD⊥EF于点D,若∠DAE=20°,求∠BAF的大小.

    8.如图△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,,以BC为直径作⊙O,交AB于点D,连接CD.
    (1)求BD的长;
    (2)射线DO交直线AC于点E,连接BE,求BE的长.

    9.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,G是弧AC上的点,AG,DC延长线交于点F.
    (1)求证:∠FGC=∠AGD.
    (2)若BE=2,CD=8,求AD的长.




    10.如图所示,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.
    (1)若∠AOD=56°,求∠DEB的度数;
    (2)若DC=2,OA=5,求AB的长.


    11.已知,AB为⊙O的直径,AB=10,C为⊙O上一点,D为的中点,连接AD.

    (Ⅰ)如图①,若∠CAB=60°,求AD的长;
    (Ⅱ)如图②,若AC=6,OD与CB相交于点P,求PB、PD的长.

    12.半圆O的直径AB=8,C为半圆上一点.
    (1)若AC=6,则BC的长是   ;
    (2)①如图①,若D是的中点,且AD=2,求BC的长;
    ②如图②,若D、E是的三等分点,且AD=2,直接写出BC的长.



    13.如图1,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,D为的中点,连接BC,OD.
    (1)求证:OD∥BC;
    (2)如图2,过点D作AB的垂线与⊙O交于点E,作直径EF交BC于点G.若G为BC中点,⊙O的半径为2,求弦BC的长.

    14.如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上的一点,连接AC,BC.D是的中点,过D作DE⊥AB于点E,交BC于点F.
    (1)求证:BC=2DE;
    (2)若AC=6,AB=10,求DF的长.

    15.如图,已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E,且E是OB的中点,连接CO并延长交AD于点F.
    (1)求证:CF⊥AD;
    (2)若AB=12,求CD的长.

    16.如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,且OC∥BD,AD分别与BC,OC相交于点E,F.
    (1)求证:CB平分∠ABD;
    (2)若AB=8,AD=6,求CF的长.

    17.如图,在⊙O中,点P为弧AB的中点,弦AD,PC互相垂直,垂足为M.BC分别与AD,PD相交于点E,N.
    (Ⅰ)求∠DNE的大小;
    (Ⅱ)求证EN=BN.

    18.如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上两点,且AD平分∠CAB,作DE⊥AB于E.
    (1)求证:AC∥OD;
    (2)求证:OE=AC.




    19.如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且=,连接CD,交AB于点E,连接BC,BD.
    (1)若∠AOD=130°,求∠BEC的度数;
    (2)∠ABD的平分线交CD于点F,求证:BC=CF.

    20.如图,设四边形ABCD内接于⊙O,BC为⊙O的直径,E为DC上一点,若AE∥BC,AE=EC=5,AB=4,
    (1)求AD的长;
    (2)求△ABE的面积.


    参考答案
    1.(1)证明如图,连接AC.
    ∵AB是直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∵AB⊥DE,
    ∴∠BHF=90°,
    ∴∠F+∠ABC=90°,∠ABC=90°,
    ∴∠F=∠BAC,
    ∵∠BEC=∠BAC,
    ∴∠BEC=∠F.
    (2)解:连接AE,OE,设OA=OE=r.
    ∵OE∥BC,
    ∴∠OEB=∠EBC,
    ∵OB=OE,
    ∴∠OBE=∠OEB,
    ∴∠OBE=∠EBC,
    ∴=,
    ∴AE=EC=13,
    ∵AB⊥DE,
    ∴DH=EH=12,AH===5,
    在Rt△OEH中,∵OE2=OH2+EH2,
    ∴r2=122+(r﹣5)2,
    ∴r=,
    ∴⊙O的半径为.

    2.解:(1)∵OA∥BD,
    ∴∠ABD=∠OAB,
    ∵OA=OB,
    ∴∠OAB=∠OBA,
    ∴∠OBA=∠ABD,
    ∴BA平分∠DBC.
    (2)如图,作AH⊥BC于H,OE⊥BD于E,则BD=2BE,
    ∵BC为直径,
    ∴∠CAB=90°,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    在Rt△OAH中,,
    ∵OA∥BD,
    ∴∠AOH=∠EBO,
    在△AOH和△OBE中,

    ∴△AOH≌△OBE(AAS),
    ∴,
    ∴.

    3.解:(1)证明:连接BD,如图,

    在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,
    ∴∠A=∠C=45°.
    ∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠ADB=90°,即BD⊥AC,
    ∴BD=AD=CD,∠CBD=∠C=45°,
    ∵DF⊥DG,∠FDG=90°,
    ∴∠FDB+∠BDG=90°,
    又∵∠EDA+∠BDG=90°,
    ∴∠EDA=∠FDB,
    在△AED和△BFD中,

    ∴△AED≌△BFD(ASA),
    ∴AE=BF;
    (2)证明:如图,由(1)知△AED≌△BFD,
    ∴DE=DF.
    ∵∠EDF=90°.
    ∴△EDF是等腰直角三角形,
    ∴∠DEF=45°,
    ∵∠G=∠A=45°.
    ∴∠G=∠DEF,
    ∴GB∥EF,
    ∵∠FEB=∠EBG,
    ∵∠EBG=∠GDA,
    ∴∠FEB=∠GDA.
    4.解:(1)∵AC⊥BD,
    ∴∠BEC=90°,
    ∵∠CAD=∠CBE=23°,
    ∴∠ACB=90°﹣23°=67°,
    ∵AB=AC,
    ∴∠ABC=∠ACB=67°,
    ∴∠BAC=180°﹣67°﹣67°=46°.
    (2)∵AC⊥BD,
    ∴∠AEB=∠CED=90°,
    ∵∠ACD=∠ABD=45°,
    ∴△ABE,△CED都是等腰直角三角形,
    ∵AC=AB=13,
    ∴AE=AB=,
    ∴EC=AC﹣AE=13﹣,
    ∴CD=EC=13﹣13.

    5.解:(1)∵∠APD=∠CAB+∠C,
    ∴∠C=∠APD﹣∠CAB=86°﹣62°=24°,
    ∴∠B=∠C=24°;
    (2)作OE⊥BD于E,如图所示:
    则DE=BE,
    ∵OA=OB,
    ∴OE是△ABD的中位线,
    ∴OE=AD=×6=3,
    即圆心O到BD的距离为3.

    6.解:(1)∵OA=OD,
    ∴∠OAD=∠ODA,
    ∵AD平分∠CAB,
    ∴∠OAD=∠CAD,
    ∴∠ODA=∠CAD,
    ∴OD∥AC,
    ∵∠C=90°,
    ∴∠ODB=90°.
    (2)设⊙O的半径为R,
    则OD=OF=R,
    在Rt△BDO中,由勾股定理得:OB2=BD2+OD2,
    即,
    解得:R=2,
    即⊙O的半径是2.
    7.解:(I)∵==,∠MON=35°,
    ∴∠MON=∠MOC=∠BOC=35°,
    ∴∠AON=180°﹣∠MON﹣∠MOC﹣∠BOC=180°﹣35°﹣35°﹣35°=75°;
    (II)连接BF,

    ∵AD⊥直线l,
    ∴∠ADE=90°,
    ∵∠DAE=20°,
    ∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=110°,
    ∵A、E、F、B四点共圆,
    ∴∠ABF+∠AEF=180°,
    ∴∠ABF=70°,
    ∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠AFB=90°,
    ∴∠BAF=180°﹣∠AFB﹣∠ABF=20°.
    8.解:(1)∵∠ACB=90°,∠A=30°,
    ∴AB=2BC,∠ABC=60°,
    ∵,AC2+BC2=AB2,
    ∴(4)2+BC2=(2BC)2,
    ∴BC=4,
    ∵BC为直径,
    ∴∠CDB=90°,
    ∴∠DCB=∠A=30°,
    ∴BD=BC=2;

    (2)∵OD=OB,
    ∴∠CBD=∠EDB=60°,
    ∴∠DOB=180°﹣60°﹣60°=60°,
    ∴∠COE=∠DOB=60°,
    ∵∠OCE=180°﹣∠ACB=180°﹣90°=90°,
    ∴∠CEO=30°,
    ∵OC=OB=BC==2,
    ∴OE=2CO=4,
    ∴CE===2,
    ∴BE===2.
    9.(1)证明:∵弦CD⊥AB,
    ∴,
    ∴∠AGD=∠ADC,
    ∵四边形ABCG是圆内接四边形,
    ∴∠FGC=∠ADC,
    ∴∠FGC=∠AGD;
    (2)解:连接OD,如图,
    ∵CD⊥AB,CD=8
    ∴DE=CE=4,
    在Rt△DOE中,∵DO2=OE2+ED2,
    ∴DO2=(OD﹣2)2+42,解得OD=5,
    ∴AE=10﹣2=8,
    ∴AD=.

    10.解:(1)∵OD⊥AB,
    ∴=,
    ∴∠DEB=∠AOD=×56°=28°;
    (2)∵OD⊥AB,
    ∴AC=BC,
    ∵DC=2,OA=5,
    ∴OC=3,
    在Rt△OAC中,AC==4,
    ∴AB=2AC=8.
    11.解:(Ⅰ)如图①中,连接DB.

    ∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠ADB=90°,
    ∵=,∠CAB=60°,
    ∴∠CAD=∠DAB=30°,
    ∴BD=AB=5,
    ∴AD===5.
    (Ⅱ)如图②中,

    ∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∴CB===8,
    ∵=,
    ∴∠BAD=∠CAD,
    ∵OA=OD,
    ∴∠OAD=∠ODA,
    ∴∠CAD=∠ODA,
    ∴OD∥AC,
    ∴∠OPB=∠ACB=90°,
    ∴OD⊥BC,
    ∴PB=BC=4,
    又O为AB的中点,
    ∴OP=AC=3,
    ∴PD=OD﹣OP=2.
    12.解:(1)如图1中,连接AC.

    ∵AB是直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∴BC===2.
    故答案为2.
    (2)如图1中,连接OD交AC于H,连接OC,则OA=OC=OD=4.
    ∵D是的中点,
    ∴=,
    ∴CD=AD=2,OD垂直平分线段AC,
    设DH=x,则OH=4﹣x,
    ∵AC⊥OD,
    ∴∠CHD=∠CHO=90°,
    ∴CD2﹣DH2=CO2﹣OH2,
    ∴22﹣x2=42﹣(4﹣x)2,
    解得x=,
    ∴CH===,
    ∵OD垂直平分AC,
    ∴AC=2CH=,
    ∵AB是直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∴BC===7.
    ②连接AE,AC,过点A作AH⊥ED交ED的延长线于H,过的C作CI⊥DE交DE的延长线于I.

    ∵D,E,C是的三等分点,
    ∴==,
    ∴EC=DE=AD=2,∠DEA=∠EAC,
    ∴DE∥AC,
    ∵∠H=∠I=90°,
    ∴∠HAC=180°﹣90°=90°,
    ∴四边形AHIC是矩形,
    ∴AH=CI,AC=HI,
    ∵AD=CE,∠H=∠I=90°,
    ∴Rt△AHD≌Rt△CIE(HL),
    ∴EI=DH,设DH=x,则HE=x+2,
    ∵∠H=90°,
    ∴AE2﹣EH2=AH2=AD2﹣DH2,
    ∴()2﹣(x+2)2=22﹣x2,
    解得x=,
    ∵EI=DH=,
    ∴HI=DH+DE+EI=+2+=,
    ∴AC=HI=,
    ∵AB是直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∴BC===.
    13.(1)证明:连接BD,如图1所示:
    ∵D为的中点,
    ∴=,
    ∴∠ABD=∠CBD,
    ∵OD=OB,
    ∴∠ABD=∠BDO,
    ∴∠CBD=∠BDO,
    ∴OD∥BC;
    (2)解:∵G为BC中点,
    ∴OF⊥BC,
    由(1)得:OD∥BC,
    ∴DO⊥EF,
    ∴△DOE是等腰直角三角形,
    ∴∠OED=45°,
    ∵DE⊥AB,
    ∴∠EOA=∠BOG=45°,
    ∴△OGB是等腰直角三角形,
    ∴BG=OB=×2=,
    ∴BC=2BG=2.

    14.(1)证明:延长DE交⊙O于点G,如图所示:

    ∵AB为⊙O的直径,DE⊥AB,
    ∴DE=GE,=,
    ∵D是的中点,
    ∴==,
    ∴=,
    ∴BC=DG=2DE;
    (2)解:连接BD、OD,如图所示:

    ∵=,
    ∴∠DBC=∠BDF,
    ∴DF=BF,
    ∵AB为⊙O的直径,AB=10,
    ∴∠ACB=90°,OB=OD=5,
    ∴BC===8,
    由(1)得:DE=BC=4,
    ∵DE⊥AB,
    ∴OE===3,
    ∴BE=OB﹣OE=2,
    设DF=BF=a,则EF=4﹣a,
    在Rt△BEF中,由勾股定理得:22+(4﹣a)2=a2,
    解得:a=,
    ∴DF=.
    15.(1)证明:连接BC,

    ∵AB⊥CD,E为OB的中点,
    ∴BC=OC,
    ∴∠BCD=∠OCE=BCO,
    ∵OC=OB,
    ∴OC=BC=OB,
    ∴△OBC是等边三角形,
    ∴∠BOC=∠BCO=60°,
    ∴∠AOF=∠BOC=60°,∠BCD=∠BAD=30°,
    ∴∠AFO=180°﹣∠AOF﹣∠BAD=180°﹣60°﹣30°=90°,
    ∴CF⊥AD;
    (2)解:∵AB=12,
    ∴OB=6,
    ∵E为OB的中点,
    ∴OE=OB=3,
    在Rt△OCE中,CE===3,
    ∵AB⊥CD,
    ∴CD=2CE=6.
    16.(1)证明:∵OC∥BD,
    ∴∠OCB=∠DBC,
    ∵OC=OB,
    ∴∠OCB=∠OBC,
    ∴∠OBC=∠DBC,
    ∴CB平分∠ABD;

    (2)解:∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠ADB=90°,
    由勾股定理得:DB===2,
    ∵OC∥BD,AO=BO,
    ∴AF=DF,
    ∴OF=BD==,
    ∵直径AB=8,
    ∴OC=OB=4,
    ∴CF=OC﹣OF=4﹣.
    17.(I)解:∵点P为弧AB的中点,
    ∴=,
    ∴∠C=∠NDE,
    ∵AD⊥CP,
    ∴∠EMC=90°,
    ∵∠CEM=∠DEN,
    ∴∠DNE=180°﹣∠NDE﹣∠DEN=180°﹣∠C﹣∠CEM=∠EMC=90°;
    (II)证明:∵∠DNE=90°,
    ∴∠DNE=∠DNB=90°,
    ∵=,
    ∴∠EDN=∠BDN,
    在△EDN和△BDN中,

    ∴△EDN≌△BDN(ASA),
    ∴EN=BN.
    18.证明:(1)∵AD平分∠CAB,
    ∴∠CAD=∠BAD,
    ∵AO=DO,
    ∴∠BAD=∠ADO,
    ∴∠CAD=∠ADO,
    ∴AC∥OD;
    (2)过O作OF⊥AC于F
    ∵DE⊥AB,OF⊥AC,
    ∴∠AFO=∠DEO=90°,
    ∵AC∥OD,
    ∴∠FOD=∠AFO=90°,
    ∴∠FAO+∠FOA=90°,∠FOA+∠EOD=90°,
    ∴∠FAO=∠EOD,
    在△AFO和△OED中,

    ∴△AFO≌△OED(AAS),
    ∴AF=OE,
    ∵OF⊥AC,OF过O,
    ∴AF=CF=AC,
    ∴OE=AC.
    19.解:(1)连接AC,

    ∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∵=,
    ∴∠A=∠ABC=45°,
    ∵∠AOD=130°,
    ∴∠ACD=65°,
    ∵∠BEC是△ACE的外角,
    ∴∠BEC=∠A+∠ACD=110°.
    (2)证明:∵BF平分∠ABD,
    ∴∠EBF=∠DBF,
    ∵,
    ∴∠ABC=∠CDB,
    又∵∠CFB=∠FBD+∠FDB,∠CBF=∠ABC+∠EBF,
    ∴∠CBF=∠CFB,
    ∴CF=BC.
    20.解:(1)∵AE∥BC,
    ∴∠EAC=∠ACB,
    ∵EA=EC,
    ∴∠EAC=∠ECA,
    ∴∠ACB=∠ECA,
    ∴=,
    ∴AD=AB=4;
    (2)连接OA、OE,过A点作AF⊥BC于F,如图,
    ∵EA=EC,OA=OC,
    ∴OE垂直平分AC,
    ∵∠ECA=∠OCA,CA⊥OE,
    ∴CE=CO=5,
    ∵BC为直径,
    ∴∠BAC=90°,
    ∵∠ABF=∠CBA,
    ∴BF=,
    在Rt△ABF中,AF==,
    ∴△ABE的面积=AE•AF=××5=2.

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