苏科版2.4 圆周角同步练习题
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这是一份苏科版2.4 圆周角同步练习题,共23页。试卷主要包含了已知AB是⊙O的直径等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.4圆周角解答题优生辅导专题突破训练卷
1.如图,AB是⊙O的直径,弦BC、DE的延长线交于点F,AB⊥DE于H,连接BE、CE.
(1)求证:∠BEC=∠F.
(2)连OE,若OE∥BC,CE=13,DE=24,求⊙O的半径.
2.如图,BC是⊙O的直径,点A、D在⊙O上,DB∥OA,BC=10,AC=6.
(1)求证:BA平分∠DBC;
(2)求DB的长.
3.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DE的延长线交⊙O于点G,DF⊥DG,且交BC于点F.
(1)求证:AE=BF;
(2)连接EF,求证:∠FEB=∠GDA.
4.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,BD⊥AC,垂足为E,连接CD;
(1)若∠CAD=23°,求∠BAC的度数;
(2)若∠ACD=45°,AC=13,求CD的长.
5.如图,在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=62°,∠APD=86°.
(1)求∠B的大小;
(2)已知AD=6,求圆心O到BD的距离.
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC,AB于点E,F.
(1)求∠ODB的度数;
(2)若BD=2,BF=2,求圆O的半径.
7.已知AB是⊙O的直径.
(Ⅰ)如图①,==,∠MON=35°,求∠AON的大小;
(Ⅱ)如图②,E,F是⊙O上的两个点,AD⊥EF于点D,若∠DAE=20°,求∠BAF的大小.
8.如图△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,,以BC为直径作⊙O,交AB于点D,连接CD.
(1)求BD的长;
(2)射线DO交直线AC于点E,连接BE,求BE的长.
9.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,G是弧AC上的点,AG,DC延长线交于点F.
(1)求证:∠FGC=∠AGD.
(2)若BE=2,CD=8,求AD的长.
10.如图所示,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.
(1)若∠AOD=56°,求∠DEB的度数;
(2)若DC=2,OA=5,求AB的长.
11.已知,AB为⊙O的直径,AB=10,C为⊙O上一点,D为的中点,连接AD.
(Ⅰ)如图①,若∠CAB=60°,求AD的长;
(Ⅱ)如图②,若AC=6,OD与CB相交于点P,求PB、PD的长.
12.半圆O的直径AB=8,C为半圆上一点.
(1)若AC=6,则BC的长是 ;
(2)①如图①,若D是的中点,且AD=2,求BC的长;
②如图②,若D、E是的三等分点,且AD=2,直接写出BC的长.
13.如图1,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,D为的中点,连接BC,OD.
(1)求证:OD∥BC;
(2)如图2,过点D作AB的垂线与⊙O交于点E,作直径EF交BC于点G.若G为BC中点,⊙O的半径为2,求弦BC的长.
14.如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上的一点,连接AC,BC.D是的中点,过D作DE⊥AB于点E,交BC于点F.
(1)求证:BC=2DE;
(2)若AC=6,AB=10,求DF的长.
15.如图,已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E,且E是OB的中点,连接CO并延长交AD于点F.
(1)求证:CF⊥AD;
(2)若AB=12,求CD的长.
16.如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,且OC∥BD,AD分别与BC,OC相交于点E,F.
(1)求证:CB平分∠ABD;
(2)若AB=8,AD=6,求CF的长.
17.如图,在⊙O中,点P为弧AB的中点,弦AD,PC互相垂直,垂足为M.BC分别与AD,PD相交于点E,N.
(Ⅰ)求∠DNE的大小;
(Ⅱ)求证EN=BN.
18.如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上两点,且AD平分∠CAB,作DE⊥AB于E.
(1)求证:AC∥OD;
(2)求证:OE=AC.
19.如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且=,连接CD,交AB于点E,连接BC,BD.
(1)若∠AOD=130°,求∠BEC的度数;
(2)∠ABD的平分线交CD于点F,求证:BC=CF.
20.如图,设四边形ABCD内接于⊙O,BC为⊙O的直径,E为DC上一点,若AE∥BC,AE=EC=5,AB=4,
(1)求AD的长;
(2)求△ABE的面积.
参考答案
1.(1)证明如图,连接AC.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∵AB⊥DE,
∴∠BHF=90°,
∴∠F+∠ABC=90°,∠ABC=90°,
∴∠F=∠BAC,
∵∠BEC=∠BAC,
∴∠BEC=∠F.
(2)解:连接AE,OE,设OA=OE=r.
∵OE∥BC,
∴∠OEB=∠EBC,
∵OB=OE,
∴∠OBE=∠OEB,
∴∠OBE=∠EBC,
∴=,
∴AE=EC=13,
∵AB⊥DE,
∴DH=EH=12,AH===5,
在Rt△OEH中,∵OE2=OH2+EH2,
∴r2=122+(r﹣5)2,
∴r=,
∴⊙O的半径为.
2.解:(1)∵OA∥BD,
∴∠ABD=∠OAB,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
∴∠OBA=∠ABD,
∴BA平分∠DBC.
(2)如图,作AH⊥BC于H,OE⊥BD于E,则BD=2BE,
∵BC为直径,
∴∠CAB=90°,
∴,
∵,
∴,
在Rt△OAH中,,
∵OA∥BD,
∴∠AOH=∠EBO,
在△AOH和△OBE中,
,
∴△AOH≌△OBE(AAS),
∴,
∴.
3.解:(1)证明:连接BD,如图,
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠A=∠C=45°.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,即BD⊥AC,
∴BD=AD=CD,∠CBD=∠C=45°,
∵DF⊥DG,∠FDG=90°,
∴∠FDB+∠BDG=90°,
又∵∠EDA+∠BDG=90°,
∴∠EDA=∠FDB,
在△AED和△BFD中,
,
∴△AED≌△BFD(ASA),
∴AE=BF;
(2)证明:如图,由(1)知△AED≌△BFD,
∴DE=DF.
∵∠EDF=90°.
∴△EDF是等腰直角三角形,
∴∠DEF=45°,
∵∠G=∠A=45°.
∴∠G=∠DEF,
∴GB∥EF,
∵∠FEB=∠EBG,
∵∠EBG=∠GDA,
∴∠FEB=∠GDA.
4.解:(1)∵AC⊥BD,
∴∠BEC=90°,
∵∠CAD=∠CBE=23°,
∴∠ACB=90°﹣23°=67°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=67°,
∴∠BAC=180°﹣67°﹣67°=46°.
(2)∵AC⊥BD,
∴∠AEB=∠CED=90°,
∵∠ACD=∠ABD=45°,
∴△ABE,△CED都是等腰直角三角形,
∵AC=AB=13,
∴AE=AB=,
∴EC=AC﹣AE=13﹣,
∴CD=EC=13﹣13.
5.解:(1)∵∠APD=∠CAB+∠C,
∴∠C=∠APD﹣∠CAB=86°﹣62°=24°,
∴∠B=∠C=24°;
(2)作OE⊥BD于E,如图所示:
则DE=BE,
∵OA=OB,
∴OE是△ABD的中位线,
∴OE=AD=×6=3,
即圆心O到BD的距离为3.
6.解:(1)∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠CAB,
∴∠OAD=∠CAD,
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD∥AC,
∵∠C=90°,
∴∠ODB=90°.
(2)设⊙O的半径为R,
则OD=OF=R,
在Rt△BDO中,由勾股定理得:OB2=BD2+OD2,
即,
解得:R=2,
即⊙O的半径是2.
7.解:(I)∵==,∠MON=35°,
∴∠MON=∠MOC=∠BOC=35°,
∴∠AON=180°﹣∠MON﹣∠MOC﹣∠BOC=180°﹣35°﹣35°﹣35°=75°;
(II)连接BF,
∵AD⊥直线l,
∴∠ADE=90°,
∵∠DAE=20°,
∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=110°,
∵A、E、F、B四点共圆,
∴∠ABF+∠AEF=180°,
∴∠ABF=70°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AFB=90°,
∴∠BAF=180°﹣∠AFB﹣∠ABF=20°.
8.解:(1)∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴AB=2BC,∠ABC=60°,
∵,AC2+BC2=AB2,
∴(4)2+BC2=(2BC)2,
∴BC=4,
∵BC为直径,
∴∠CDB=90°,
∴∠DCB=∠A=30°,
∴BD=BC=2;
(2)∵OD=OB,
∴∠CBD=∠EDB=60°,
∴∠DOB=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴∠COE=∠DOB=60°,
∵∠OCE=180°﹣∠ACB=180°﹣90°=90°,
∴∠CEO=30°,
∵OC=OB=BC==2,
∴OE=2CO=4,
∴CE===2,
∴BE===2.
9.(1)证明:∵弦CD⊥AB,
∴,
∴∠AGD=∠ADC,
∵四边形ABCG是圆内接四边形,
∴∠FGC=∠ADC,
∴∠FGC=∠AGD;
(2)解:连接OD,如图,
∵CD⊥AB,CD=8
∴DE=CE=4,
在Rt△DOE中,∵DO2=OE2+ED2,
∴DO2=(OD﹣2)2+42,解得OD=5,
∴AE=10﹣2=8,
∴AD=.
10.解:(1)∵OD⊥AB,
∴=,
∴∠DEB=∠AOD=×56°=28°;
(2)∵OD⊥AB,
∴AC=BC,
∵DC=2,OA=5,
∴OC=3,
在Rt△OAC中,AC==4,
∴AB=2AC=8.
11.解:(Ⅰ)如图①中,连接DB.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵=,∠CAB=60°,
∴∠CAD=∠DAB=30°,
∴BD=AB=5,
∴AD===5.
(Ⅱ)如图②中,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴CB===8,
∵=,
∴∠BAD=∠CAD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CAD=∠ODA,
∴OD∥AC,
∴∠OPB=∠ACB=90°,
∴OD⊥BC,
∴PB=BC=4,
又O为AB的中点,
∴OP=AC=3,
∴PD=OD﹣OP=2.
12.解:(1)如图1中,连接AC.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴BC===2.
故答案为2.
(2)如图1中,连接OD交AC于H,连接OC,则OA=OC=OD=4.
∵D是的中点,
∴=,
∴CD=AD=2,OD垂直平分线段AC,
设DH=x,则OH=4﹣x,
∵AC⊥OD,
∴∠CHD=∠CHO=90°,
∴CD2﹣DH2=CO2﹣OH2,
∴22﹣x2=42﹣(4﹣x)2,
解得x=,
∴CH===,
∵OD垂直平分AC,
∴AC=2CH=,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴BC===7.
②连接AE,AC,过点A作AH⊥ED交ED的延长线于H,过的C作CI⊥DE交DE的延长线于I.
∵D,E,C是的三等分点,
∴==,
∴EC=DE=AD=2,∠DEA=∠EAC,
∴DE∥AC,
∵∠H=∠I=90°,
∴∠HAC=180°﹣90°=90°,
∴四边形AHIC是矩形,
∴AH=CI,AC=HI,
∵AD=CE,∠H=∠I=90°,
∴Rt△AHD≌Rt△CIE(HL),
∴EI=DH,设DH=x,则HE=x+2,
∵∠H=90°,
∴AE2﹣EH2=AH2=AD2﹣DH2,
∴()2﹣(x+2)2=22﹣x2,
解得x=,
∵EI=DH=,
∴HI=DH+DE+EI=+2+=,
∴AC=HI=,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴BC===.
13.(1)证明:连接BD,如图1所示:
∵D为的中点,
∴=,
∴∠ABD=∠CBD,
∵OD=OB,
∴∠ABD=∠BDO,
∴∠CBD=∠BDO,
∴OD∥BC;
(2)解:∵G为BC中点,
∴OF⊥BC,
由(1)得:OD∥BC,
∴DO⊥EF,
∴△DOE是等腰直角三角形,
∴∠OED=45°,
∵DE⊥AB,
∴∠EOA=∠BOG=45°,
∴△OGB是等腰直角三角形,
∴BG=OB=×2=,
∴BC=2BG=2.
14.(1)证明:延长DE交⊙O于点G,如图所示:
∵AB为⊙O的直径,DE⊥AB,
∴DE=GE,=,
∵D是的中点,
∴==,
∴=,
∴BC=DG=2DE;
(2)解:连接BD、OD,如图所示:
∵=,
∴∠DBC=∠BDF,
∴DF=BF,
∵AB为⊙O的直径,AB=10,
∴∠ACB=90°,OB=OD=5,
∴BC===8,
由(1)得:DE=BC=4,
∵DE⊥AB,
∴OE===3,
∴BE=OB﹣OE=2,
设DF=BF=a,则EF=4﹣a,
在Rt△BEF中,由勾股定理得:22+(4﹣a)2=a2,
解得:a=,
∴DF=.
15.(1)证明:连接BC,
∵AB⊥CD,E为OB的中点,
∴BC=OC,
∴∠BCD=∠OCE=BCO,
∵OC=OB,
∴OC=BC=OB,
∴△OBC是等边三角形,
∴∠BOC=∠BCO=60°,
∴∠AOF=∠BOC=60°,∠BCD=∠BAD=30°,
∴∠AFO=180°﹣∠AOF﹣∠BAD=180°﹣60°﹣30°=90°,
∴CF⊥AD;
(2)解:∵AB=12,
∴OB=6,
∵E为OB的中点,
∴OE=OB=3,
在Rt△OCE中,CE===3,
∵AB⊥CD,
∴CD=2CE=6.
16.(1)证明:∵OC∥BD,
∴∠OCB=∠DBC,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠OBC=∠DBC,
∴CB平分∠ABD;
(2)解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
由勾股定理得:DB===2,
∵OC∥BD,AO=BO,
∴AF=DF,
∴OF=BD==,
∵直径AB=8,
∴OC=OB=4,
∴CF=OC﹣OF=4﹣.
17.(I)解:∵点P为弧AB的中点,
∴=,
∴∠C=∠NDE,
∵AD⊥CP,
∴∠EMC=90°,
∵∠CEM=∠DEN,
∴∠DNE=180°﹣∠NDE﹣∠DEN=180°﹣∠C﹣∠CEM=∠EMC=90°;
(II)证明:∵∠DNE=90°,
∴∠DNE=∠DNB=90°,
∵=,
∴∠EDN=∠BDN,
在△EDN和△BDN中,
,
∴△EDN≌△BDN(ASA),
∴EN=BN.
18.证明:(1)∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠BAD,
∵AO=DO,
∴∠BAD=∠ADO,
∴∠CAD=∠ADO,
∴AC∥OD;
(2)过O作OF⊥AC于F
∵DE⊥AB,OF⊥AC,
∴∠AFO=∠DEO=90°,
∵AC∥OD,
∴∠FOD=∠AFO=90°,
∴∠FAO+∠FOA=90°,∠FOA+∠EOD=90°,
∴∠FAO=∠EOD,
在△AFO和△OED中,
,
∴△AFO≌△OED(AAS),
∴AF=OE,
∵OF⊥AC,OF过O,
∴AF=CF=AC,
∴OE=AC.
19.解:(1)连接AC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵=,
∴∠A=∠ABC=45°,
∵∠AOD=130°,
∴∠ACD=65°,
∵∠BEC是△ACE的外角,
∴∠BEC=∠A+∠ACD=110°.
(2)证明:∵BF平分∠ABD,
∴∠EBF=∠DBF,
∵,
∴∠ABC=∠CDB,
又∵∠CFB=∠FBD+∠FDB,∠CBF=∠ABC+∠EBF,
∴∠CBF=∠CFB,
∴CF=BC.
20.解:(1)∵AE∥BC,
∴∠EAC=∠ACB,
∵EA=EC,
∴∠EAC=∠ECA,
∴∠ACB=∠ECA,
∴=,
∴AD=AB=4;
(2)连接OA、OE,过A点作AF⊥BC于F,如图,
∵EA=EC,OA=OC,
∴OE垂直平分AC,
∵∠ECA=∠OCA,CA⊥OE,
∴CE=CO=5,
∵BC为直径,
∴∠BAC=90°,
∵∠ABF=∠CBA,
∴BF=,
在Rt△ABF中,AF==,
∴△ABE的面积=AE•AF=××5=2.
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