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初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理课时作业
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这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理课时作业，共24页。
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要300元，问总共需投入多少元？
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．
（1）通过计算判断△ABC的形状．
（2）△ABC的面积为 ．
（3）求AB边上的高．
3．如图，已知AB＝10，BC＝24，CD＝26，DA＝20，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
4．四边形ABCD中，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，∠C＝90°．
（1）求证：∠ABD＝90°；
（2）求四边形ABCD的面积．
5．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾AE到大厦墙面CD），升起云梯到火灾窗口B．已知云梯AB长17米，云梯底部距地面的高AE＝1.5米，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？
6．如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．
7．随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品．某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝1.8m，BC＝2m，一辆装满货物的运输车，其外形高2.3m，宽1.6m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由．
8．如图，小明准备把一支笔放入铅笔盒ABCD，竖放时笔的顶端E比铅笔盒的宽AB还要长2cm，斜着放入时笔的顶端F与铅笔盒的边缘AB距离为6cm，求铅笔盒的宽AB的长度．
9．如图，在四边形ABCD中，AB＝7cm，AD＝24cm，∠BAD＝90°，BC＝20m，CD＝15cm．
（1）连接BD，求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
10．如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10m，BD＝14m，AB＝16m，AE＝2m．
（1）求DE的长；
（2）求四边形ABDE的面积．
11．如图，一棵高10m的大树倒在了高8m的墙上，大树的顶端正好落在墙的最高处，如果随着大树的顶端沿着墙面向下滑动，请回答下列各题．
（1）如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了2m，那么大树的另一端点是否也向左滑动了2m？说明理由，
（2）如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了am，那么大树的另一端点是否也向左滑动了am？说明理由．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
13．如图，铁路上A，B两点相距23km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝8km．现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
14．阅读下面的情景对话，然后解答问题：
（1）①根据“奇异三角形”的定义，请判断小红提出的命题是否正确，并填空 （填“正确”或“不正确”）；
②若某三角形的三边长分别是2、4、，则该三角形 （是或不是）奇异三角形；
（2）若Rt△ABC是奇异三角形，且其两边长分别为2、2，则第三边边长为 ；且此直角三角形的三边之比为 （请按从小到大排列，不得含有分母）；
（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形．求a：b：c．
15．如图，距学校A的正南方向240m的B处有一列火车，且该火车正以80m/s的速度沿北偏东30°的方向往C移动，火车在行进的过程中发出巨大的噪音，若火车周围200m以内认为受到噪音的影响，请问：
（1）该学校是否受到噪音影响？请说明理由；
（2）若会受到噪音影响，求噪音影响该学校的持续时间有多长？
16．已知点A（﹣2，3），B（4，3），C（﹣1，﹣3）．
（1）求A，B两点之间的距离；
（2）求点C到x轴的距离；
（3）求三角形ABC的面积；
（4）观察线段AB与x轴的关系，若点D是线段AB上一点（不与A，B重合），则点D的坐标有什么特点？
17．如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，FD＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．
18．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b．如图1，若∠C＝90°时，根据勾股定理有a2+b2＝c2．
（1）如图2，当△ABC为锐角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；
（2）如图3，当△ABC为钝角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；
（3）如图4，一块四边形的试验田ABCD，已知∠B＝90°，AB＝80米，BC＝60米，CD＝90米，AD＝110米，求这块试验田的面积．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC长．
20．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10．
（1）求四边形ABCD的面积．
（2）求对角线BD的长．
21．如图，小东将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约4米，请算出旗杆的高度．
22．如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．
23．如图，湖的两岸有A，B两点，在与AB成直角的BC方向上的点C处测得AC＝60米，BC＝48米．
（1）求A，B两点间的距离；
（2）求点B到直线AC的距离．
24．如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离．
25．如图，武汉市七一中学为迎接校庆50周年，拟对学校校园中的一块空地进行美化施工，已知AB＝3米，BC＝4米，∠ABC＝90°，AD＝12米，CD＝13米，学校欲在此空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
26．一艘轮船以30千米/时的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以40千米/时的速度航行，它们离开港口一个半小时后相距75千米，求第二艘船的航行方向．
27．去年某省将地处A、B的两所大学合并成一所综合性大学，为方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地修筑一条笔直公路（公路宽度忽略不计，如所示图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园，为什么？
参考答案
1．解：（1）连接AC，
在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝32+42＝52，
在△ABC中，AB2＝132，BC2＝122，
而52+122＝132，
即AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD＝C•BC﹣AD•CD
＝×5×12﹣×4×3＝24（m2）．
（2）需费用24×300＝7200（元），
答：总共需投入7200元．
2．解：（1）△ABC是直角三角形，
理由：∵A（﹣1，5），B（﹣5，2），C（﹣3，1），
∴AB＝＝5，BC＝＝，AC＝＝2，
∴AC2+BC2＝（2）2+（）2＝25＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴S△ABC＝AC•BC＝×2×＝5．
故答案为：5；
（3）设AB边上的高为h，
则S△ABC＝×5h＝5，
∴h＝2，
∴AB边上的高为2．
3．解：连接AC，过C作CE⊥AD于E，
∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝26，
∵CD＝26，
∴AC＝CD，
∵DA＝20，CE⊥AD，
∴AE＝DE＝AD＝10，
由勾股定理得：CE＝＝＝24，
∴四边形ABCD的面积是S＝S△ABC+S△ACD＝10×24+20×24＝360．
4．解：（1）∵∠C＝90°，BC＝3，CD＝4，
∴BD＝＝＝5，
在△ABD中，∵AB2+BD2＝122+52＝144+25＝169＝AD2，
∴△ABD是直角三角形，∠ABD＝90°；
（2）由图形可知：S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝AB•BD+BC•CD＝×12×5+×3×4＝30+6＝36．
5．解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°；
根据勾股定理，得
BC＝（米），
∴BD＝15+1.5＝16.5（米）；
答：发生火灾的住户窗口距离地面16.5米．
6．解：不正确；
理由：如答图，延长FC交AB于点G，
则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，
设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，
在Rt△BGC中，
∵BG2+CG2＝CB2，
∴x2+152＝（26﹣1﹣x）2，
解得x＝8，
∴BA＝BG+GA＝8+1＝9（米），
∴小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米．
7．解：能通过；
理由：由题意得，运输车从中间过更容易通过储藏室，能通过的最大高度为EF的长度，
如图，设点O为半圆的圆心，点P为运输车的外边沿，
则OP＝0.8m，OE＝1m，∠OPE＝90°，
在Rt△OPE中，由勾股定理得，EP2＝OE2﹣OP2＝1﹣0.82＝0.36，
∴EP＝0.6（m），
∴EF＝0.6+1.8＝2.4（m），
∵2.4＞2.3，
∴运输车通过储藏室的门．
8．解：设铅笔盒的宽AB的长度为xcm，则笔长为（x+2）cm，
根据题意得，x2+62＝（x+2）2，
解得：x＝8，
答：铅笔盒的宽AB的长度8cm．
9．解：（1）连接BD，
∵AB＝7cm，AD＝24cm，∠BAD＝90°，
∴BD＝（cm）；
（2）∵BC＝20m，CD＝15cm，BD＝25cm，
∴202+152＝252，
∴BC2+CD2＝DB2，
∴△BCD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝
＝＝84+150＝234（cm2）．
10．解：（1）在Rt△EDC中，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10m，
∴m；
（2）如图，连接BE，
在Rt△EBD中，BD＝14m，ED＝8m，
∴BE2＝BD2+ED2＝142+82＝260，
∵AB＝16m，AE＝2m，
∴AB2+AE2＝162+22＝260，
∴AB2+AE2＝BE2，
∴△ABE是直角三角形，∠A＝90°，
∴S△ABE＝×16×2＝16（m2）．
又∵S△BDE＝×14×8＝56（m2）．
∴四边形ABDE的面积＝S△ABE+S△BDE＝72（m2）．
11．解：（1）是，理由如下：
由题意可知，△ABC是直角三角形，
∵AC＝8m，AB＝DE＝10m，
由勾股定理得，BC＝（m），
∵AD＝2m，
∴CD＝AC﹣AD＝8﹣2＝6（m），
∴CE＝（m），
∴BE＝CE﹣BC＝8﹣6＝2（m），
∴大树的另一端点也向左滑动了2m；
（2）不一定，理由如下：
∵AD＝am，
∴CD＝AC﹣AD＝（8﹣a）m，
∴CE＝（m），
∴BE＝CE﹣BC＝（）m，
当BE＝AD时，，
解得：a＝2或a＝0（舍去），
∴只有当a＝2时，大树的顶端沿着墙面向下滑动了am，那么大树的另一端点也向左滑动了am．
12．解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝8（cm）；
（2）由题意知BP＝2tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，
AP2＝62+（2t﹣8）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，
解得：t＝，
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；
（3）①当AB＝BP时，t＝5；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，
解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．
13．解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（23﹣x），
∵DA＝15km，CB＝8km，
∴x2+152＝（23﹣x）2+82，
解得：x＝8，
∴AE＝8km．
答：E站应建在离A站8km处．
14．解：（1）①设等边三角形的一边为a，则a2+a2＝2a2，
∴符合“奇异三角形”的定义；
故答案为：正确．
②∵22+42＝2×，
∴符合“奇异三角形”的定义．
故答案为：是．
（2）∵22+＝2×；
∴第三边的边长为2；
此直角三角形的三边之比为2：2：2＝1：：，
故答案为：2；1：：．
（3）∵∠C＝90°，
则a2+b2＝c2，
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a2+c2＝2b2，
∴b＝a，c＝a，
∴a：b：c＝1：：．
15．解：（1）该学校受到噪音影响，理由如下：
如图：过点A作AD⊥BC，
∵∠ABC＝30°，AB＝240米，
∴AD＝120米，
故该学校受到噪音影响；
（2）过点A作AE＝AF＝200m，
由勾股定理得：DE＝＝＝160（米），
则DF＝160米，
则EF＝320米，
则影响时间：320÷80＝4（秒）．
答：噪音影响该学校的持续时间有4秒．
16．解：（1）∵点A（﹣2，3），B（4，3），
∴AB＝＝6；
（2）∵点C坐标为（﹣1，﹣3），
∴点C到x轴的距离为|﹣3|＝3；
（3）过C作CD⊥AB，
∵A（﹣2，3），B（4，3），C（4，3），
∴CD＝|﹣2﹣4|＝6，AB＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6，
∴S△ABC＝AB•CD＝×6×6＝18；
（4）∵A（﹣2，3），B（4，3），
∴AB∥x轴，
∵点D在线段AB上，
∴点D横坐标的范围是﹣2＜x＜4，纵坐标为3．
17．解：由题意可得，∠ACF＝∠EDF＝90°，∠AFC＝∠EFD，
∴∴CD＝，
由题意可得，∠BCG＝∠EDG＝90°，∠BGC＝∠EGD，
∴BC＝14，
∴这座建筑物的高BC为14米．
18．解：（1）a2+b2＞c2，
理由如下：过点A作AD⊥BC 于D，
设CD＝x，则BD＝a﹣x，
由勾股定理得，b2﹣x2＝AD2，c2﹣（a﹣x）2＝AD2，
∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，
整理得：a2+b2＝c2+2ax，
∵2ax＞0，
∴a2+b2＞c2；
（2）a2+b2＜c2，
理由如下：作AE⊥BC交BC的延长线于E，
设CE＝x，
则c2﹣（a+x）2＝AE2＝b2﹣x2，
整理得：a2+b2＝c2﹣2ax，
∵2ax＞0，
∴a2+b2＜c2；
（3）连接AC，作DF⊥AC于F，
由勾股定理得，AC＝＝100，
由（1）可知，AD2﹣AF2＝DC2﹣CF2，即1102﹣（100﹣CF）2＝902﹣CF2，
解得，CF＝30，
则DF＝＝60，
∴这块试验田的面积＝×60×80+×100×60＝（2400+3000）米2
19．（1）证明：∵BC＝15，BD＝9，CD＝12，
∴BD2+CD2＝92+122＝152＝BC2,
∴∠CDB＝90°,
∴CD⊥AB；
(2)解：∵AB＝AC，
∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+9,
∵∠ADC＝90°,
∴AC2＝AD2+CD2,
∴(AD+9)2＝AD2+122,
∴AD＝,
∴AC＝+9＝．
20．解：（1）连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵CD＝10，AD＝10，
∴CD2+AC2＝102+102＝200，AD2＝（10）2＝200，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积是：＝＝24+50＝74，
即四边形ABCD的面积是74；
（2）作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DEC＝90°，
∵△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CAB+∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠CAB，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝CE，BC＝ED，
∵AB＝6，BC＝8，
∴CE＝6，ED＝8，
∴BE＝BC+CE＝8+6＝14，
∴BD＝＝＝2．
21．解：设旗杆的高度为x米，
根据勾股定理，得x2+122＝（x+4）2，
解得：x＝16；
答：旗杆的高度为16米．
22．解：设OA＝OB＝x尺，
∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，
∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，
在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，
根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，
整理得：8x＝116，
即2x＝29，
解得：x＝14.5，
则秋千绳索的长度为14.5尺．
23．解：（1）∵△ABC是直角三角形，
由勾股定理，得AC2＝BC2+AB2．
∵AC＝60米，BC＝48米，
∴AB2＝602﹣482＝1296．
∵AB＞0，
∴AB＝36米．
即A，B两点间的距离是36米．
（2）过点B作BD⊥AC于点D．
因为S△ABC＝AB•BC＝AC•BD，
所以AB•BC＝AC•BD．
所以BD＝＝28.8（米），
即点B到直线AC的距离是28.8米．
24．解：∵AB⊥l于B，AB＝3千米，AD＝5千米．
∴BD＝＝＝4（千米）．
设CD＝x千米，则CB＝（4﹣x）千米，
x2＝（4﹣x）2+32，
x2＝16+x2﹣8x+32，
解得：x＝3.125（千米）．
答：物品中转站与车站之间的距离为3.125千米．
25．解：连接AC，在Rt△ABC中，AB＝3米，BC＝4米，
∵AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，
∴AC＝5，
∵AC2+AD2＝52+122＝169，CD2＝132＝169，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴∠DAC＝90°，
该区域面积＝S△ACD﹣S△ABC＝30﹣6＝24（平方米），
铺满这块空地共需花费＝24×80＝1920（元）．
答：用该草坪铺满这块空地共需花费1920元．
26．解：如图，根据题意，得
OA＝30×1.5＝45（千米），OB＝40×1.5＝60（千米），AB＝75千米．
∵452+602＝752，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，即第二艘船的航行方向与第一艘船的航行方向成90°，
∴第二艘船的航行方向为东北或西南方向．
27．解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，由题意可得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，
在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，
∴∠CBA＝∠BCD，
∴BD＝CD．
在Rt△ACD中，∠CAB＝30°，
∴AC＝2CD．设CD＝DB＝x，
∴AC＝2x．由勾股定理得AD＝＝＝x．
∵AD+DB＝2，
∴x+x＝2，
∴x＝﹣1＞0.7，
∴计划修筑的这条公路不会穿过公园
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要300元，问总共需投入多少元？
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．
（1）通过计算判断△ABC的形状．
（2）△ABC的面积为 ．
（3）求AB边上的高．
3．如图，已知AB＝10，BC＝24，CD＝26，DA＝20，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
4．四边形ABCD中，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，∠C＝90°．
（1）求证：∠ABD＝90°；
（2）求四边形ABCD的面积．
5．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾AE到大厦墙面CD），升起云梯到火灾窗口B．已知云梯AB长17米，云梯底部距地面的高AE＝1.5米，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？
6．如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．
7．随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品．某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝1.8m，BC＝2m，一辆装满货物的运输车，其外形高2.3m，宽1.6m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由．
8．如图，小明准备把一支笔放入铅笔盒ABCD，竖放时笔的顶端E比铅笔盒的宽AB还要长2cm，斜着放入时笔的顶端F与铅笔盒的边缘AB距离为6cm，求铅笔盒的宽AB的长度．
9．如图，在四边形ABCD中，AB＝7cm，AD＝24cm，∠BAD＝90°，BC＝20m，CD＝15cm．
（1）连接BD，求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
10．如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10m，BD＝14m，AB＝16m，AE＝2m．
（1）求DE的长；
（2）求四边形ABDE的面积．
11．如图，一棵高10m的大树倒在了高8m的墙上，大树的顶端正好落在墙的最高处，如果随着大树的顶端沿着墙面向下滑动，请回答下列各题．
（1）如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了2m，那么大树的另一端点是否也向左滑动了2m？说明理由，
（2）如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了am，那么大树的另一端点是否也向左滑动了am？说明理由．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
13．如图，铁路上A，B两点相距23km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝8km．现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
14．阅读下面的情景对话，然后解答问题：
（1）①根据“奇异三角形”的定义，请判断小红提出的命题是否正确，并填空 （填“正确”或“不正确”）；
②若某三角形的三边长分别是2、4、，则该三角形 （是或不是）奇异三角形；
（2）若Rt△ABC是奇异三角形，且其两边长分别为2、2，则第三边边长为 ；且此直角三角形的三边之比为 （请按从小到大排列，不得含有分母）；
（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形．求a：b：c．
15．如图，距学校A的正南方向240m的B处有一列火车，且该火车正以80m/s的速度沿北偏东30°的方向往C移动，火车在行进的过程中发出巨大的噪音，若火车周围200m以内认为受到噪音的影响，请问：
（1）该学校是否受到噪音影响？请说明理由；
（2）若会受到噪音影响，求噪音影响该学校的持续时间有多长？
16．已知点A（﹣2，3），B（4，3），C（﹣1，﹣3）．
（1）求A，B两点之间的距离；
（2）求点C到x轴的距离；
（3）求三角形ABC的面积；
（4）观察线段AB与x轴的关系，若点D是线段AB上一点（不与A，B重合），则点D的坐标有什么特点？
17．如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，FD＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．
18．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b．如图1，若∠C＝90°时，根据勾股定理有a2+b2＝c2．
（1）如图2，当△ABC为锐角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；
（2）如图3，当△ABC为钝角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；
（3）如图4，一块四边形的试验田ABCD，已知∠B＝90°，AB＝80米，BC＝60米，CD＝90米，AD＝110米，求这块试验田的面积．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC长．
20．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10．
（1）求四边形ABCD的面积．
（2）求对角线BD的长．
21．如图，小东将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约4米，请算出旗杆的高度．
22．如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．
23．如图，湖的两岸有A，B两点，在与AB成直角的BC方向上的点C处测得AC＝60米，BC＝48米．
（1）求A，B两点间的距离；
（2）求点B到直线AC的距离．
24．如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离．
25．如图，武汉市七一中学为迎接校庆50周年，拟对学校校园中的一块空地进行美化施工，已知AB＝3米，BC＝4米，∠ABC＝90°，AD＝12米，CD＝13米，学校欲在此空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
26．一艘轮船以30千米/时的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以40千米/时的速度航行，它们离开港口一个半小时后相距75千米，求第二艘船的航行方向．
27．去年某省将地处A、B的两所大学合并成一所综合性大学，为方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地修筑一条笔直公路（公路宽度忽略不计，如所示图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园，为什么？
参考答案
1．解：（1）连接AC，
在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝32+42＝52，
在△ABC中，AB2＝132，BC2＝122，
而52+122＝132，
即AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD＝C•BC﹣AD•CD
＝×5×12﹣×4×3＝24（m2）．
（2）需费用24×300＝7200（元），
答：总共需投入7200元．
2．解：（1）△ABC是直角三角形，
理由：∵A（﹣1，5），B（﹣5，2），C（﹣3，1），
∴AB＝＝5，BC＝＝，AC＝＝2，
∴AC2+BC2＝（2）2+（）2＝25＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴S△ABC＝AC•BC＝×2×＝5．
故答案为：5；
（3）设AB边上的高为h，
则S△ABC＝×5h＝5，
∴h＝2，
∴AB边上的高为2．
3．解：连接AC，过C作CE⊥AD于E，
∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝26，
∵CD＝26，
∴AC＝CD，
∵DA＝20，CE⊥AD，
∴AE＝DE＝AD＝10，
由勾股定理得：CE＝＝＝24，
∴四边形ABCD的面积是S＝S△ABC+S△ACD＝10×24+20×24＝360．
4．解：（1）∵∠C＝90°，BC＝3，CD＝4，
∴BD＝＝＝5，
在△ABD中，∵AB2+BD2＝122+52＝144+25＝169＝AD2，
∴△ABD是直角三角形，∠ABD＝90°；
（2）由图形可知：S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝AB•BD+BC•CD＝×12×5+×3×4＝30+6＝36．
5．解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°；
根据勾股定理，得
BC＝（米），
∴BD＝15+1.5＝16.5（米）；
答：发生火灾的住户窗口距离地面16.5米．
6．解：不正确；
理由：如答图，延长FC交AB于点G，
则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，
设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，
在Rt△BGC中，
∵BG2+CG2＝CB2，
∴x2+152＝（26﹣1﹣x）2，
解得x＝8，
∴BA＝BG+GA＝8+1＝9（米），
∴小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米．
7．解：能通过；
理由：由题意得，运输车从中间过更容易通过储藏室，能通过的最大高度为EF的长度，
如图，设点O为半圆的圆心，点P为运输车的外边沿，
则OP＝0.8m，OE＝1m，∠OPE＝90°，
在Rt△OPE中，由勾股定理得，EP2＝OE2﹣OP2＝1﹣0.82＝0.36，
∴EP＝0.6（m），
∴EF＝0.6+1.8＝2.4（m），
∵2.4＞2.3，
∴运输车通过储藏室的门．
8．解：设铅笔盒的宽AB的长度为xcm，则笔长为（x+2）cm，
根据题意得，x2+62＝（x+2）2，
解得：x＝8，
答：铅笔盒的宽AB的长度8cm．
9．解：（1）连接BD，
∵AB＝7cm，AD＝24cm，∠BAD＝90°，
∴BD＝（cm）；
（2）∵BC＝20m，CD＝15cm，BD＝25cm，
∴202+152＝252，
∴BC2+CD2＝DB2，
∴△BCD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝
＝＝84+150＝234（cm2）．
10．解：（1）在Rt△EDC中，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10m，
∴m；
（2）如图，连接BE，
在Rt△EBD中，BD＝14m，ED＝8m，
∴BE2＝BD2+ED2＝142+82＝260，
∵AB＝16m，AE＝2m，
∴AB2+AE2＝162+22＝260，
∴AB2+AE2＝BE2，
∴△ABE是直角三角形，∠A＝90°，
∴S△ABE＝×16×2＝16（m2）．
又∵S△BDE＝×14×8＝56（m2）．
∴四边形ABDE的面积＝S△ABE+S△BDE＝72（m2）．
11．解：（1）是，理由如下：
由题意可知，△ABC是直角三角形，
∵AC＝8m，AB＝DE＝10m，
由勾股定理得，BC＝（m），
∵AD＝2m，
∴CD＝AC﹣AD＝8﹣2＝6（m），
∴CE＝（m），
∴BE＝CE﹣BC＝8﹣6＝2（m），
∴大树的另一端点也向左滑动了2m；
（2）不一定，理由如下：
∵AD＝am，
∴CD＝AC﹣AD＝（8﹣a）m，
∴CE＝（m），
∴BE＝CE﹣BC＝（）m，
当BE＝AD时，，
解得：a＝2或a＝0（舍去），
∴只有当a＝2时，大树的顶端沿着墙面向下滑动了am，那么大树的另一端点也向左滑动了am．
12．解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝8（cm）；
（2）由题意知BP＝2tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，
AP2＝62+（2t﹣8）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，
解得：t＝，
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；
（3）①当AB＝BP时，t＝5；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，
解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．
13．解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（23﹣x），
∵DA＝15km，CB＝8km，
∴x2+152＝（23﹣x）2+82，
解得：x＝8，
∴AE＝8km．
答：E站应建在离A站8km处．
14．解：（1）①设等边三角形的一边为a，则a2+a2＝2a2，
∴符合“奇异三角形”的定义；
故答案为：正确．
②∵22+42＝2×，
∴符合“奇异三角形”的定义．
故答案为：是．
（2）∵22+＝2×；
∴第三边的边长为2；
此直角三角形的三边之比为2：2：2＝1：：，
故答案为：2；1：：．
（3）∵∠C＝90°，
则a2+b2＝c2，
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a2+c2＝2b2，
∴b＝a，c＝a，
∴a：b：c＝1：：．
15．解：（1）该学校受到噪音影响，理由如下：
如图：过点A作AD⊥BC，
∵∠ABC＝30°，AB＝240米，
∴AD＝120米，
故该学校受到噪音影响；
（2）过点A作AE＝AF＝200m，
由勾股定理得：DE＝＝＝160（米），
则DF＝160米，
则EF＝320米，
则影响时间：320÷80＝4（秒）．
答：噪音影响该学校的持续时间有4秒．
16．解：（1）∵点A（﹣2，3），B（4，3），
∴AB＝＝6；
（2）∵点C坐标为（﹣1，﹣3），
∴点C到x轴的距离为|﹣3|＝3；
（3）过C作CD⊥AB，
∵A（﹣2，3），B（4，3），C（4，3），
∴CD＝|﹣2﹣4|＝6，AB＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6，
∴S△ABC＝AB•CD＝×6×6＝18；
（4）∵A（﹣2，3），B（4，3），
∴AB∥x轴，
∵点D在线段AB上，
∴点D横坐标的范围是﹣2＜x＜4，纵坐标为3．
17．解：由题意可得，∠ACF＝∠EDF＝90°，∠AFC＝∠EFD，
∴∴CD＝，
由题意可得，∠BCG＝∠EDG＝90°，∠BGC＝∠EGD，
∴BC＝14，
∴这座建筑物的高BC为14米．
18．解：（1）a2+b2＞c2，
理由如下：过点A作AD⊥BC 于D，
设CD＝x，则BD＝a﹣x，
由勾股定理得，b2﹣x2＝AD2，c2﹣（a﹣x）2＝AD2，
∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，
整理得：a2+b2＝c2+2ax，
∵2ax＞0，
∴a2+b2＞c2；
（2）a2+b2＜c2，
理由如下：作AE⊥BC交BC的延长线于E，
设CE＝x，
则c2﹣（a+x）2＝AE2＝b2﹣x2，
整理得：a2+b2＝c2﹣2ax，
∵2ax＞0，
∴a2+b2＜c2；
（3）连接AC，作DF⊥AC于F，
由勾股定理得，AC＝＝100，
由（1）可知，AD2﹣AF2＝DC2﹣CF2，即1102﹣（100﹣CF）2＝902﹣CF2，
解得，CF＝30，
则DF＝＝60，
∴这块试验田的面积＝×60×80+×100×60＝（2400+3000）米2
19．（1）证明：∵BC＝15，BD＝9，CD＝12，
∴BD2+CD2＝92+122＝152＝BC2,
∴∠CDB＝90°,
∴CD⊥AB；
(2)解：∵AB＝AC，
∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+9,
∵∠ADC＝90°,
∴AC2＝AD2+CD2,
∴(AD+9)2＝AD2+122,
∴AD＝,
∴AC＝+9＝．
20．解：（1）连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵CD＝10，AD＝10，
∴CD2+AC2＝102+102＝200，AD2＝（10）2＝200，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积是：＝＝24+50＝74，
即四边形ABCD的面积是74；
（2）作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DEC＝90°，
∵△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CAB+∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠CAB，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝CE，BC＝ED，
∵AB＝6，BC＝8，
∴CE＝6，ED＝8，
∴BE＝BC+CE＝8+6＝14，
∴BD＝＝＝2．
21．解：设旗杆的高度为x米，
根据勾股定理，得x2+122＝（x+4）2，
解得：x＝16；
答：旗杆的高度为16米．
22．解：设OA＝OB＝x尺，
∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，
∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，
在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，
根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，
整理得：8x＝116，
即2x＝29，
解得：x＝14.5，
则秋千绳索的长度为14.5尺．
23．解：（1）∵△ABC是直角三角形，
由勾股定理，得AC2＝BC2+AB2．
∵AC＝60米，BC＝48米，
∴AB2＝602﹣482＝1296．
∵AB＞0，
∴AB＝36米．
即A，B两点间的距离是36米．
（2）过点B作BD⊥AC于点D．
因为S△ABC＝AB•BC＝AC•BD，
所以AB•BC＝AC•BD．
所以BD＝＝28.8（米），
即点B到直线AC的距离是28.8米．
24．解：∵AB⊥l于B，AB＝3千米，AD＝5千米．
∴BD＝＝＝4（千米）．
设CD＝x千米，则CB＝（4﹣x）千米，
x2＝（4﹣x）2+32，
x2＝16+x2﹣8x+32，
解得：x＝3.125（千米）．
答：物品中转站与车站之间的距离为3.125千米．
25．解：连接AC，在Rt△ABC中，AB＝3米，BC＝4米，
∵AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，
∴AC＝5，
∵AC2+AD2＝52+122＝169，CD2＝132＝169，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴∠DAC＝90°，
该区域面积＝S△ACD﹣S△ABC＝30﹣6＝24（平方米），
铺满这块空地共需花费＝24×80＝1920（元）．
答：用该草坪铺满这块空地共需花费1920元．
26．解：如图，根据题意，得
OA＝30×1.5＝45（千米），OB＝40×1.5＝60（千米），AB＝75千米．
∵452+602＝752，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，即第二艘船的航行方向与第一艘船的航行方向成90°，
∴第二艘船的航行方向为东北或西南方向．
27．解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，由题意可得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，
在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，
∴∠CBA＝∠BCD，
∴BD＝CD．
在Rt△ACD中，∠CAB＝30°，
∴AC＝2CD．设CD＝DB＝x，
∴AC＝2x．由勾股定理得AD＝＝＝x．
∵AD+DB＝2，
∴x+x＝2，
∴x＝﹣1＞0.7，
∴计划修筑的这条公路不会穿过公园
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