人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用本章综合与测试达标测试

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第五章   一元函数的导数及其应用 单元检测A 解析版

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知函数在处的导数为1，则（    ）

A．0 B． C．1 D．2

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知结合导数的定义即可直接求解.

【详解】

解：因为函数在处的导数为1，

则.

故选：B.

【点睛】

本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．

2．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据原函数图像，由导函数与原函数图像之间关系，逐项判断，即可得出结果.

【详解】

由图可知，函数在上单调递减，所以在上恒成立，排除选项B和D；

函数在上先递减后递增再递减，所以在上应为负、正、负的趋势，即选项A错误，C正确；

故选：C．

【点睛】

本题主要考查导数与原函数图像之间关系的判定，属于基础题型.

3．函数在区间上的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用导数分析函数在区间上的单调性，进而可求得函数在区间上的最大值.

【详解】

对于函数，.

当时，；当时，.

所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.

所以，.

故选：C.

【点睛】

利用导数求解函数在区间上的最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．

4．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先将函数在区间内存在单调递增区间，转化为在区间上有解，再转化为，进而可求出结果.

【详解】

因为在区间内存在单调递增区间，

所以在区间上成立，

即在区间上有解，

因此，只需，解得.

故选D

【点睛】

本题主要考查由导数在某区间内的单调性求参数的问题，只需对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性即可，属于常考题型.

5．曲线在点处的切线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

求导得到，再根据切线方程的公式计算得到答案.

【详解】

曲线为，所以；当时，，

曲线在点处的切线方程为，即，

故选：D.

【点睛】

本题考查了切线方程，属于简单题.

6．已知函数的导函数，若在处取得极大值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

分四种情况讨论，分别判断两边导函数值的符号，判断在处是否取得极大值，即可筛选出的取值范围.

【详解】

由在处取得极大值可知，当时，；

当时，，

其等价于①存在，使得，

且②存在，使得；

若时，的解集为，不满足②即不存在，使得，故时在不是极大值；

若时，的解集为，的解集为，满足①②，故时，在处取得极大值；

若，恒小于等于0，不满足①，故时，在取不到极大值；

若时，的解集为，不满足②，故时，在处取不到极大值.

综上，的取值范围是.

故选：A.

【点睛】

求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4)检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.

7．已知函数，设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可得是偶函数，当时，，可得在单调递增，又，，，根据函数的单调性可得出答案.

【详解】

由，则是偶函数，

当时，，所以在单调递增，

由，，，

则，所以

又，所以

故选：D

【点睛】

本题考查利用单调性比较函数值大小，考查利用导数分析函数单调性，考查指数、对数的的大小的比较，属于中档题.

8．已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

试题分析：令,因,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.又因,故,即,所以,故应选D.

考点：导数在研究函数的单调性方面的运用.

【易错点晴】本题将导数的知识和函数的单调性及不等式的解法等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将巧妙地构造函数,再运用求导法则求得,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.再运用检验的方法逐一验证四个答案的真伪,从而使得问题获解.

二、多选题

9．已知定义在上的函数满足，则下列式子成立的是（    ）

A． B．

C．是上的增函数 D．若，则有

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据已知不等式，结合选项构造函数，利用导数的性质、特例法逐一判断即可.

【详解】

由，得，即，所以函数为增函数，故，所以，故A正确，B不正确；

函数为增函数时，不一定为增函数，如是增函数，但

是减函数，所以C不正确；

因为函数为增函数，所以时，有，

故有成立，所以D正确.

故选：AD.

【点睛】

本题考查了导数的性质，考查了构造法的应用，考查了数学运算能力.

10．若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】

【分析】

求得已知直线的斜率，对选项中的函数分别求导，可令导数为，解方程即可判断结论

【详解】

解：直线的斜率为，

由的导数为，即切线的斜率小于0，故A不正确；

由的导数为，而，解得，故B正确；

由的导数为，而有解，故C正确；

由的导数为，而，解得，故D正确，

故选：BCD

【点睛】

此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题

11．已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（    ）

A．是函数的极小值点

B．是函数的极小值点

C．函数在区间上单调递增

D．函数在处切线的斜率小于零

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择.

【详解】

由图象得时，，时，，

故在单调递减，在单调递增，

故是函数的极小值点.

对选项：显然，故错误.

故选：BC．

【点睛】

本题考查由导数涵图象研究函数性质，属基础题.

12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是（    ）.

A．当时，

B．函数在上有且仅有三个零点

C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是

D．，

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据函数的性质结合图象，逐项判断，即可得到本题答案.

【详解】

令，则，所以，得，所以选项A错误；

观察在时的图象，令，得，

可知在上单调递减，在上递增，且在上，，在上，，由此可判断在仅有一个零点，由函数的对称性可知在上也有一个零点，又因为，故该函数有三个零点，所以选项B正确；

由图可知，若关于的方程有解，则，所以选项C错误；

由图可知，的值域为，所以对，恒成立，所以选项D正确.

故选：BD

【点睛】

本题主要考查函数的性质和导数在研究函数中的应用，体现了数形结合的数学思想，综合性较强.

三、填空题

13．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于__________.

【答案】

【解析】

【分析】

先对求导，再将代入即可求解.

【详解】

由题意可得，

令得，

即.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了导数的运算，属于基础题.

14．生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图像，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．

【答案】(4)    (1)    (3)    (2)   

【解析】

【分析】

【详解】

容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，根据导数的几何意义可知，

函数图象切线斜率变化故先慢后快，与(4)对应；

容器为球形，水高度变化为快—慢—快，根据导数的几何意义可知，

应与(1)对应；

容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，

但容器细，容器粗，故水高度的变化为：

容器快，与(3)对应，容器慢，与(2)对应.

故答案为(4)；(1)；(3)；(2)．

15．经过原点作函数图像的切线，则切线方程为__________．

【答案】y=0或9x+4y=0

【解析】

【分析】

分原点（0，0）是切点与原点（0，0）不是切点讨论，利用导数得出切线的斜率，写出切线方程即可．

【详解】

解：∵f′（x）＝3x2+6x，

①若原点（0，0）是切点，则切线的斜率为f′（0）＝0，则切线方程为y＝0；

②若原点（0，0）不是切点，设切点为P（x0，y0），

则切线的斜率为，因此切线方程为，

因为切线经过原点（0，0），∴，∵x0≠0，解得．

∴切线方程为，化为9x+4y＝0．

∴切线方程为y＝0或9x+4y＝0．

故答案为y＝0或9x+4y＝0．

【点评】

本题考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率.解题时一定注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别．

16．已知一个圆柱的轴截面是周长为12米的长方形，则满足这个条件的圆柱的最大体积是______立方米.

【答案】

【解析】

【分析】

设圆柱的高为，底面圆的半径为，可得，，圆柱的体积，构造函数，，求导并判断单调性，可求出最大值，即可求出答案.

【详解】

设圆柱的高为，底面圆的半径为，则，即，

由，可得，

圆柱的体积，将代入，可得，

构造函数，，求导得，

则时，，函数单调递增；时，，函数单调递减，

所以的最大值为.

即时，该圆柱的体积最大，最大体积是立方米.

故答案为：.

【点睛】

本题考查柱体体积的计算，考查利用导函数求最大值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

四、解答题

17．已知（）在处取得极值.

（1）求实数的值；

（2）求的单调区间；

（3）求在区间上的最大值和最小值.

【答案】（1）1；（2）增区间为，，减区间为；（3）最大值为9，最小值为.

【解析】

【分析】

（1）求导，由已知得，解得的值，再代入检验可得结论.

（2）由（1）得，求导，分析导函数取得正负的区间可得原函数的单调区间.

（3）由（2）得出的函数的单调性可求得函数的极值，从而求得函数的最值.

【详解】

（1），由于在处取得极值，故，解得，经检验，当时，在处取得极值，故.

（2）由（1）得，，由得或；由得.

故的单调增区间为，，单减区间为.

（3）由（2）得函数的极大值为，得函数的极小值为，又，所以函数在区间上的最大值为9，最小值为.

【点睛】

本题考查运用导函数研究函数的极值、单调性、最值，属于中档题.

18．设函数．

（1）求函数的单调区间．

（2）若方程有且仅有三个实根，求实数的取值范围．

【答案】（1）增区间（-∞,1）和（2，+∞），减区间为（1，2）;（2）

【解析】

试题分析：（1），解或的解集；（2）先求极值点，判断单调性，然后根据图形，判定轴于图像有三个交点时的位置，从而列不等式.

试题解析：（1），当时，或.当时，.

（2）由（1）知，函数在（-∞,1）为增，为减函数，为增函数，根据函数的图像特征，判断轴应在极值之间，得,

考点：1.导数的应用；2.函数的图像；3.函数的零点.

19．已知函数，.

（Ⅰ）函数，分析在上的单调性.

（Ⅱ）若函数.

（i）当时，求的最小值；

（ii）当时，求零点的个数.

【答案】（Ⅰ）在上单调递减；（Ⅱ）（i）；（ii）有且只有一个零点.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）求出，根据导数与函数单调性之间的关系即可求解.

（Ⅱ）求出，（i）判断的符号得到函数的单调区间，根据函数的单调性即可求出最值；（ii）利用导数判断函数在上单调递减，再利用零点存在性定理即可求解.

【详解】

（Ⅰ），

则，

当时，，所以，

所以在上单调递减.

（Ⅱ），

则.

（i），

当时，，，

所以，在上单调递增，

所以的最小值为.

（ii）.

因为时，，，，

所以，函数在上单调递减，

又，，

因此，函数在上有且只有一个零点.

【点睛】

本题考查导数的运算法则，及导数在研究函数单调性、最值以及函数零点中的应用，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

20．如图，公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地（圆心O在道路上，为直径），现要在荒地的基础上改造出一处景观.在半圆上取一点C，道路上B点的右边取一点D，使垂直于，且的长不超过20米.在扇形区域内种植花卉，三角形区域内铺设草皮.已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元.

（1）设（单位：弧度），将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取值范围；

（2）当x为何值时，总费用最低？并求出最低费用.

【答案】（1），；（2）当时，改造景观的费用最低，最低费用为元.

【解析】

【分析】

（1）分别计算扇形和三角形的面积，再计算总费用，根据的长不超过20米得到定义域，得到答案.

（2）求导得到，根据导数正负得到函数的单调性，再计算最值得到答案.

【详解】

（1）因为扇形的半径为，，且的长不超过20米，

当时，，故.

所以扇形的面积：，.

在中，，，

所以的面积，

从而，；

设，，

则，，

令，解得，

从而当时，，当，，

因此在区间上单调递减，在区间上单调递增，

当时，取得最小值，，

所以y的最小值为元.

【点睛】

本题考查了三角函数的应用，扇形面积，利用导数求函数的最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

21．已知函数.

（1）求函数的极值；

（2）若函数有两个零点，且，证明：.

【答案】（1）答案详见解析；（2）证明详见解析.

【解析】

【分析】

（1）求出，分两种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值；

（2），为函数零点，可得，要证，只需证，，构造函数利用单调性可得结论.

【详解】

（1）函数的定义域为，.

当时，，在上是减函数，所以在上无极值；

当时，若，，在上是减函数.

当，，在上是增函数，

故当时，在上的极小值为，

无极大值.

（2）当时，，

由（1）知，在上是减函数，在上是增函数，是极值点，

又，为函数零点，所以，要证，只需证.

∵ ，又

∵，∴，

令，则，

∴在上是增函数，∴，∴，

∴，即得证.

【点睛】

本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，

22．已知函数(其中)，为的导数.

（1）求导数的最小值；

（2）若不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

【分析】

（1）先求导数，再构造，利用导数和函数的单调性确定函数的最值．

（2）令，通过求导分类讨论，根据导数和最值的关系即求．

【详解】

（1），令，

当时，则.

故时，，为增函数，故，

即导数的最小值为1.

（2）令，，

当时，若，则由（1）可知，，

所以为增函数，故恒成立，即．

当时，由（1）可知在上为增函数，且，，

故存在唯一，使得．

则当时，，为减函数，所以，此时与恒成立矛盾．

综上所述，．

【点睛】

关键点点睛：本题考查利用导数解决恒成立问题，解题关键是构造函数,通过求进而得解，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．