高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列课后复习题

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4.3.1 等比数列（1）

一、单选题

1．若各项均为正数的等比数列满足，则公比（    ）

A．1    B．2    C．3    D．4

【答案】C

【解析】因为，所以，又，所以，

又，解得.

故选C.

2．在递增等比数列中，，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】由于数列为等比数列，故，

由于数列是递增的数列，故解得，故，

故选D.

3．下列说法正确的是（    ）

A．等差数列不可能是等比数列

B．常数列必定既是等差数列又是等比数列

C．若一个数列既是等比数列又是等差数列，则这个的数列必是常数列

D．如果一个数列的前n项和是关于n的二次函数，那么这个数列必定是等差数列

【答案】C

【解析】公差为0，首项不为0的等差数列，也是等比数列，故AB错误；C正确；

等差数列的前项和为，常数项为0，故D错误；

故选C

4．在等比数列中，，公比.若，则m=（    ）

A．9    B．10    C．11    D．12

【答案】C

【解析】由等比数列的性质可知，

故选C.

5．设是等比数列，下列说法一定正确的是（    ）

A．成等比数列     B．成等比数列

C．成等比数列     D．成等比数列

【答案】D

【解析】项中，故项说法错误；项中，故项说法错误； 项中，故项说法错误；故项中，故项说法正确，

故选D.

6．已知各项均为正数的等比数列中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为（    ）

A．100    B．－100   C．10 000   D．－10 000

【答案】C

【解析】由对数的计算可得：，由等比数列性质：，

所以：，.

故选C.

7．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为（    ）

A．     B．3    C．±    D．±3

【答案】B

【解析】设等差数列公差为d，首项为，则，，，

由等比中项公式：，化简可得：.

所以：，，作比可得公比为：3.

故选B.

8．在等比数列中，则（    ）

A．81    B．   C．    D．243

【答案】A

【解析】因为等比数列中，则，

故选A

9．在等比数列中，，，则的值为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】设等比数列的公比为 ，则，，.

故选C

10．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个键到下一个键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰好构成一个等比数列的原理，高音的频率正好是中音的2倍．已知标准音的频率为，那么频率为的音名是（    ）

A．d    B．f     C．e    D．#d

【答案】D

【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比．故从起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为

由，解得，

频率为的音名是，

故选D.

11．在等差数列中，，数列是等比数列.若，则满足不等式的最小正整数n是（    ）

A．5    B．6    C．7    D．8

【答案】C

【解析】设等差数列的公差为，

因为，所以，即，所以，

所以，

设等比数列的公比为，则，所以，

由得，解得，所以.

故选C

12．等比数列的首项，公比，设表示数列前n项的积，则中最大的是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】由等比数列的首项，公比，可得，

当为奇数时，，当为偶数时，，

当时，，

当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减；

当时，可得；当时，可得.

当时，可得；当时，可得，

又由，

所以

所以当时，可得中最大的是.

故选B.

二、填空题

13．已知等比数列，则______.

【答案】2

【解析】由于数列是等比数列，故.

故填

14．若组成等比数列，则该数列的第4项的值是________．

【答案】

【解析】由组成等比数列，

可得，解得或者，

当时，等比数列前三项是，舍去；

当时，等比数列前三项是，可得该数列的第4项的值为，

故填.

15．已知，，，是以2为公比的等比数列，则______.

【答案】

【解析】由题可知，，，则

故填

16．已知是等比数列，，且，则等于______.

【答案】6

【解析】是等比数列，所以，

所以

，

所以，

而，所以，

故填6.

17．数列是等比数列，且，则______.

【答案】40

【解析】数列是等比数列，且，

则，

由对数运算及等比数列的性质化简可知

，

故填40.

18．设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为           ．

【答案】

【解析】设等比数列的公比为，由得，，解得.

所以，

于是当或时，取得最大值.

故填64

三、解答题

19．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，求的值．

【解析】因为成等差数列，

所以，即．

设数列的公比为q，

则，即．

解得或（舍去）．

．

20．在等比数列中，.

（1）求；

（2）设，求数列的前项和.

【解析】（1）设的公比为q，依题意得，

解得，因此，.

（2）因为，

所以数列的前n项和.

21．已知数列满足，，设．

（1）求；

（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；

（3）求的通项公式．

【解析】（1）由条件可得．

将代入得，，而，所以，．

将代入得，，所以，．

从而，，；

（2）是首项为，公比为的等比数列．

由条件可得，即，又，

所以是首项为，公比为的等比数列；

（3）由（2）可得，所以．

22．已知数列是公比大于1的等比数列，，且是与的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，为数列的前n项和，记，证明：．

【解析】（1）设数列公比为，，

①因为是与的等差中项，所以有

②，由①②组成方程组为：，

因为，所以方程组的解为：，

所以数列的通项公式为：；

（2），，

命题得证.