高中数学2.4 圆的方程习题课件ppt

这是一份高中数学2.4 圆的方程习题课件ppt，共52页。PPT课件主要包含了学习目标，内容索引，知识梳理，题型探究，求圆的一般方程，求动点的轨迹方程，随堂演练，课时对点练等内容，欢迎下载使用。

1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和 半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.
XUE XI MU BIAO
1.圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程 称为圆的一般方程.
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆.(　　)2.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.(　　)3.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(　　)4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.(　　)
一、圆的一般方程的辨析
例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆.(1)求实数m的取值范围；
解　由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
(2)写出圆心坐标和半径.
解　将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
跟踪训练1　(1)圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为A.r＝1，(－2,1) B.r＝2，(－2,1)C.r＝2，(2，－1) D.r＝1，(2，－1)
解析　x2＋y2－4x＋2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，所以半径和圆心分别为r＝1，(2，－1).
(2)若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是
解析　因为x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，
解　方法一　(待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P，Q的坐标分别代入上式，
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，　　　　　　　 ③
∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48. ④
故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
方法二　(几何法)由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0，∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1).又圆C的半径长
代入(*)式整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，
求圆的方程的策略(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程；(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程.
跟踪训练2　(1)圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程是____________________.
x2＋y2－4x－4y－2＝0
解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
解得D＝E＝－4，F＝－2，即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.
(2)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，则△ABC的外接圆的方程是______________________.
x2＋y2－8x－2y＋12＝0
解析　设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
例3　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，点B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；
解　设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)，
又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1.
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
解　设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
求与圆有关的轨迹问题的方程(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
跟踪训练3　已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.
解　以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点.轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为A.(4，－6)，16 B.(2，－3)，4C.(－2,3)，4 D.(2，－3)，16
2.将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是A.x＋y－1＝0 B.x＋y＋3＝0C.x－y＋1＝0 D.x－y＋3＝0
解析　要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2).A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C.
3.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为A.以(a，b)为圆心的圆B.以(－a，－b)为圆心的圆C.点(a，b)D.点(－a，－b)
解析　原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，
∴方程表示点(－a，－b).
4.已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是____________.
解析　方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1时才能表示圆.
5.若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是______________.
解析　圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.
1.知识清单：(1)圆的一般方程.(2)求动点的轨迹方程.2.方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法.3.常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件.
KE TANG XIAO JIE
1.已知圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，则点P(3,1)在A.圆内 B.圆上C.圆外 D.无法确定
2.圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为
3.方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是
解析　方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，表示圆的条件是42＋(－2)2－4×5m>0，解得m<1.
4.圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为
解析　因为圆心坐标为(1，－2)，
5.如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则有A.D＋E＝0 B.D＝EC.D＝F D.E＝F
解析　由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，
6.如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是__________.
7.若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是__________.
解析　点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部且不包括边界，则(a＋1)2＋(a－1)2－2a(a－1)－4<0，解得a<1.
8.已知直线与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<5)相交于A，B两点，且弦AB的中点Q的坐标为(0,1)，则直线AB的方程为____________.
解析　易知圆心P的坐标为(－1,2).∵AB的中点Q的坐标为(0,1)，
∴直线AB的斜率k＝1，故直线AB的方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.
9.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(－6,3)，C(3,0)，求这个三角形外接圆的一般方程.
解　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C三点都在圆上，∴A，B，C三点的坐标都满足所设方程，把A(4,1)，B(－6,3)，C(3,0)的坐标依次代入所设方程，
∴所求圆的方程为x2＋y2＋x－9y－12＝0.
10.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程.
解　设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，
于是有x0＝8－x ，y0＝6－y. ①因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.
11.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
解析　因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，
故该圆的圆心在第四象限.
12.当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是A.(x＋3)2＋y2＝4 B.(x－3)2＋y2＝1C.(2x－3)2＋4y2＝1 D.(2x＋3)2＋4y2＝1
解析　设P(x1，y1)，PQ的中点M的坐标为(x，y)，
又点P在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1，故选C.
13.已知圆x2＋y2＋4x－6y＋a＝0关于直线y＝x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是__________.
解析　由题意知，直线y＝x＋b过圆心，而圆心坐标为(－2,3)，代入直线方程，得b＝5，所以圆的方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝13－a，所以a<13，由此得a－b<8.
14.如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________.
∴当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1).
化简得(x－3)2＋y2＝8，
16.设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
解　如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，
由于平行四边形的对角线互相平分，