高中数学人教A版必修第一册4.3.2 对数的运算课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册4.3.2 对数的运算课时作业含解析，共1页。

[对应学生用书P60]
知识点1 对数的运算性质
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
(1)lga(M·N)＝lgaM＋lgaN；
(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
(3)lgaMn＝nlgaM.
[微思考]
1．运算性质中底数a能等于零或小于零吗，真数M，N呢？
提示：由对数的定义知底数a>0且a≠1，故a不能小于或等于0，M，N均为正数．
2．当M>0，N>0时，lga(M＋N)＝lgaM＋lgaN，lga(MN)＝lgaM·lgaN是否成立？
提示：不一定．
知识点2 对数的换底公式与对数恒等式
1．对数的换底公式
lgab＝eq \f(lgcb,lgca) (a>0，a≠1，b>0，c>0，c≠1)．
特别地：lgab·lgba＝1(a>0，a≠1，b>0，b≠1)；
lganbm＝eq \f(m,n)lgab(a＞0，a≠1，b＞0)．
2．对数恒等式
a lgaN＝N(a＞0，且a≠1)．
[微体验]
1．2lg23＝________.
答案 3
2．lg23·lg32＝________.
解析 lg23·lg32＝eq \f(lg 3,lg 2)×eq \f(lg 2,lg 3)＝1.
答案 1
3．若lg 3＝a，lg 2＝b，用a，b表示lg43＝________.
解析 lg43＝eq \f(lg 3,lg 4)＝eq \f(lg 3,2lg 2)＝eq \f(a,2b).
答案 eq \f(a,2b)
[对应学生用书P60]
探究一 对数恒等式的应用
计算：31＋lg35－24＋lg23＋103lg 3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))lg25.
解 31＋lg35－24＋lg23＋103lg 3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))lg25
＝3×3 lg35－24×2 lg23＋(10lg 3)3＋(2 lg25)－1
＝3×5－16×3＋33＋5－1
＝－eq \f(29,5).
[方法总结]
对数恒等式algaN＝N的应用
(1)能直接应用对数恒等式的直接求值即可．
(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．
[跟踪训练1] 求值：
(1)10lg 2＝________；(2)31＋lg34＝________；
(3)22lg25－1＝________；(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))lg43－2＝________.
解析 (1)10lg 2＝2.
(2)31＋lg34＝3×3lg34＝3×4＝12.
(3)22lg25－1＝eq \f(2lg252,2)＝eq \f(52,2)＝eq \f(25,2).
(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))lg43－2＝32－lg34＝eq \f(32,3lg34)＝eq \f(9,4).
答案 (1)2 (2)12 (3)eq \f(25,2) (4)eq \f(9,4)
探究二 对数运算性质的运用
计算下列各式的值：
(1)lg 52＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(2)eq \f(lg\r(2)＋lg 3－lg\r(10),lg 1.8).
解 (1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
(2)原式＝eq \f(\f(1,2)lg 2＋lg 9－lg 10,lg 1.8)＝eq \f(lg\f(18,10),2lg 1.8)＝eq \f(lg 1.8,2lg 1.8)＝eq \f(1,2).
[方法总结]
底数相同的对数式的化简和求值的原则、方法及注意事项
(1)基本原则．
对数的化简、求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用方法．
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
(3)注意事项．
①对于常用对数的化简要充分利用“lg 5＋lg 2＝lg 10＝1”解题．
②准确应用以下结论：
lga1＝0，lgaa＝1，algaN＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)．
[跟踪训练2] 求下列各式的值：
(1)lg25＋lg 2·lg 50；
(2)eq \f(2,3)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25.
解 (1)原式＝lg25＋lg 2·(lg 5＋lg 10)
＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2·lg 10
＝lg 10(lg 5＋lg 2)
＝lg 10·lg 10
＝1
(2)eq \f(2,3)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg25
＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg25＋lg 2＋lg 2·lg 5
＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.
探究三 对数换底公式
已知lg37＝a,2b＝3，试用a，b表示lg1456.
解 因为 2b＝3，所以b＝lg23，即lg32＝eq \f(1,b)，
lg1456＝eq \f(lg356,lg314)＝eq \f(lg323×7,lg32×7)＝eq \f(3lg32＋lg37,lg32＋lg37)＝eq \f(\f(3,b)＋a,\f(1,b)＋a)＝eq \f(3＋ab,1＋ab).
[变式探究1] 本例条件不变，试用a，b表示lg2898.
解 lg2898＝eq \f(lg398,lg328)＝eq \f(lg372×2,lg322×7)＝eq \f(2lg37＋lg32,2lg32＋lg37)＝eq \f(2a＋\f(1,b),\f(2,b)＋a)＝eq \f(2ab＋1,2＋ab).
[变式探究2] 若把本例中条件“2b＝3”换为3b＝2，其他条件不变，则结论又如何呢？
解 因为3b＝2，所以b＝lg32，又因为a＝lg37，所以lg1456＝eq \f(lg356,lg314)＝eq \f(lg323×7,lg32×7)＝eq \f(3lg32＋lg37,lg32＋lg37)＝eq \f(3b＋a,a＋b).
[方法总结]
1．利用换底公式化简、求值时应注意的问题
(1)针对具体问题，选择恰当的底数．
(2)注意换底公式与对数运算法则结合使用．
(3)换底公式的正用与逆用．
(4)恰当应用换底公式的两个常用结论．
2．利用换底公式计算、化简、求值的思路[来源:Z*xx*k.Cm]
[跟踪训练3] 已知lg23＝a，lg37＝b，用a，b表示lg4256.
解 ∵lg23＝a，则eq \f(1,a)＝lg32，又∵lg37＝b，
∴lg4256＝eq \f(lg356,lg342)＝eq \f(lg37＋3lg32,lg37＋lg32＋1)＝eq \f(b＋3·\f(1,a),b＋\f(1,a)＋1)＝eq \f(ab＋3,ab＋a＋1).
[对应学生用书P62]
1．使用对数恒等式应注意的三点
对于对数恒等式algaN＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．
2．对数的运算性质及应用
(1)能用语言准确叙述对数的运算性质．
lga(M·N)＝lgaM＋lgaN→积的对数等于对数的和．
lga eq \f(M,N)＝lgaM－lgaN→商的对数等于对数的差．
lgaMn＝nlgaM(n∈R)→真数的n次幂的对数等于对数的n倍．
(2)利用对数的运算性质可以把乘、除、乘方的运算转化为对数的加、减、乘运算，反之亦然．
(3)对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
3．利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．
课时作业(二十四) 对数的运算
[见课时作业(二十四)P166]
1． eq lg\s\d8(eq \r(2)) 4等于( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4)
C．2 D．4
D [ eq lg\s\d8(eq \r(2)) 4＝ eq lg\s\d8(eq \r(2)) (eq \r(2))4＝4.]
2．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A．lgab·lgcb＝lgca
B．lgab·lgca＝lgcb
C．lga(bc)＝lgab·lgac
D．lga(b＋c)＝lgab＋lgac
B [由lgab·lgcb＝eq \f(lg b,lg a)·eq \f(lg b,lg c)≠lgca，故A错；由lgab·lgca＝eq \f(lg b,lg a)·eq \f(lg a,lg c)＝eq \f(lg b,lg c)＝lgcb. ]
3．21＋lg25等于( )
A．7 B．10
C．6 D．eq \f(9,2)
B [21＋lg25＝2×2lg25＝2×5＝10.]
4．求值：eq \f(lg 3＋2lg 2－1,lg 1.2)＝________.
解析 eq \f(lg 3＋2lg 2－1,lg 1.2)＝eq \f(lg 3＋lg 22－1,lg 1.2)＝eq \f(lg 12－1,lg 1.2)＝eq \f(lg\f(12,10),lg 1.2)
＝eq \f(lg 1.2,lg 1.2)＝1.
答案 1
5．计算：lg225·lg32eq \r(2)·lg59的结果为________．
解析 原式＝eq \f(lg 25,lg 2)·eq \f(lg 2\r(2),lg 3)·eq \f(lg 9,lg 5)＝eq \f(2lg 5,lg 2)·eq \f(\f(3,2)lg 2,lg 3)·eq \f(2lg 3,lg 5)＝6.
答案 6
6．已知lga2＝m，lga3＝n.
(1)求a2m－n的值；
(2)求lga18.
解 (1)因为lga2＝m，lga3＝n，所以am＝2，an＝3.
所以a2m－n＝a2m÷an＝22÷3＝eq \f(4,3).
(2)lga18＝lga(2×32)＝lga2＋lga32＝lga2＋2lga3＝m＋2n.
1．化简： eq \r(lg232－4lg23＋4)＋lg2eq \f(1,3)＝( )
A．2 B．2－2lg23
C．－2 D．2lg23－2
B [因为eq \r(lg232－4lg23＋4)＝eq \r(lg23－22)＝2－lg23，所以原式＝2－lg23＋lg23－1＝2－2lg23.]
2．已知2x＝72y＝A，且eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝2，则A的值是( )
A．7 B．7eq \r(2)
C．±7eq \r(2) D．98
B [因为2x＝72y＝A，所以x＝lg2A,2y＝lg7A，eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(1,lg2A)＋eq \f(2,lg7A)＝lgA2＋2lgA7＝lgA(2×72)＝lgA98＝2，所以A2＝98，又A>0，所以A＝7eq \r(2).]
3．已知f(x)＝kx＋eq \f(6,x)－4(k∈R)，f(lg 2)＝0，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg\f(1,2)))＝________.
解析 f(lg 2)＝klg 2＋eq \f(6,lg 2)－4＝0，
∴k＝eq \f(4－\f(6,lg 2),lg 2)＝eq \f(4lg 2－6,lg 2·lg 2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg\f(1,2)))＝eq \f(4lg 2－6,lg 2·lg 2)·(－lg 2)－eq \f(6,lg 2)－4＝－8.
答案 －8
4．计算eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,8)))－ eq \s\up7(\f(2,3)) ＋eq \f(lg827,lg23)＋(eq \r(2)－eq \r(3))0－lg31＋2lg 5＋lg 4－5lg52＝________.
解析 ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,8)))－ eq \s\up7(\f(2,3)) ＝eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,8))) eq \s\up7(\f(2,3)) )＝eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))3× eq \s\up7(\f(2,3)) )＝eq \f(4,9)，
eq \f(lg827,lg23)＝eq \f(lg227,lg28·lg23)＝eq \f(3lg23,3lg23)＝1，
(eq \r(2)－eq \r(3))0＝1，
lg31＝0，
2lg 5＋lg 4＝lg(52×4)＝lg 102＝2，
5lg52＝2，
∴原式＝eq \f(4,9)＋1＋1－0＋2－2＝eq \f(22,9).
答案 eq \f(22,9)
5．(多空题)若实数a＞b＞1，且lgab＋lgba＝eq \f(5,2)，则lgab＝________；eq \f(a,b2)＝________.
解析 lgab＋lgba＝eq \f(5,2)⇒lgab＋eq \f(1,lgab)＝eq \f(5,2)⇒lgab＝2或eq \f(1,2)，因为a＞b＞1，所以lgab＜1，所以lgab＝eq \f(1,2)⇒b＝a eq \s\up7(\f(1,2)) ⇒b2＝a，所以eq \f(b2,a)＝1.
答案 eq \f(1,2) 1
6．(拓广探索)若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(lgab＋lgba)的值．
解 原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0，
设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
所以t1＋t2＝2，t1·t2＝eq \f(1,2).
又因为a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，
所以t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝eq \f(1,2).
所以lg(ab)·(lgab＋lgba)＝(lg a＋lg b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg b,lg a)＋\f(lg a,lg b)))
＝(lg a＋lg b)·eq \f(lg2b＋lg2a,lg a·lg b)
＝(lg a＋lg b)·eq \f(lg a＋lg b2－2lg alg b,lg alg b)
＝2×eq \f(22－2×\f(1,2),\f(1,2))
＝12，
即lg(ab)·(lgab＋lgba)＝12.