人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试同步测试题

22.2二次函数与一元二次方程同步练习人教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知二次函数其中x是自变量的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值为

A.  B. 2 C. 3 D. 4

2. 已知抛物线的图象如图所示，图象与y轴交于，顶点纵坐标为，有四个不相等的实数根，则实数k满足

A.
B.
C.
D.

3. 如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是

A.
B.
C. 且
D. 或
 

4. 若二次函数的图象的对称轴是经过点且平行于y轴的直线，则关于x的方程的解为

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5. 已知抛物线与x轴最多有一个交点有以下四个结论：；该抛物线的对称轴在直线的右侧；关于x的方程无实数根；其中，正确的个数为   ．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 函数的图象过点，则使函数值成立的x的取值范围是

A. 或 B.
C. 或 D.

7. 抛物线与坐标轴的交点个数为     

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8. 二次函数的图象如图所示，下面关于一元二次方程的根的情况，说法正确的是   

A. 方程有两个相等的实数根
B. 方程的两个实数根的积为负数
C. 方程有两个正的实数根
D. 方程没有实数根
 

9. 二次函数a、b、c为常数的图象如图所示，则方程有实数根的条件是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，当函数值时，自变量x的取值范围是

A.
B.
C.
D.

11. 抛物线与x轴交点的个数是

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

12. 抛物线与坐标轴的交点个数为   

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 抛物线经过点、两点，则关于x的一元二次方程的解是______．
14. 抛物线的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则当时，x的取值范围是______．
    
    
     

15. 若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是______．
16. 抛物线经过，两点，则关于x的一元二次方程的解是          ．

三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）

17. 已知二次函数的图象经过点，对称轴是直线，与y轴的交点．
    求抛物线与x轴的另一个交点坐标；
    求抛物线的解析式．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知抛物线，求其顶点、对称轴、与两坐标轴交点．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，抛物线与x轴的正半轴交于点A．
    求点A的坐标和该抛物线的对称轴．
    点P在y轴的正半轴上，轴交抛物线于点B，点B在点C的左侧，设．
    当点B是PC中点时，求m的值．
    连结AC，设与的周长之差为求l关于m的函数关系式．
    
     

四、解答题（本大题共4小题，共32.0分）

20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为．
    
    

写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；

观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．






 

21. 已知函数，点在该函数的图象上，若这样的点P恰好有三个，则k的值为________．
    
    
    
    
    
    
     
22. 画出二次函数的图象．利用图象回答：

方程的解是什么？取什么值时，函数值大于0；

取什么值时，函数值小于0．






 

23. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，即，求二次函数与x轴的交点坐标；
    若二次函数与x轴有一个交点，求a的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：由二次函数的图象与x轴有公共点，
，即，
由抛物线的对称轴，抛物线经过不同两点，，
，即，，
代入得，，即，因此，
，
，
故选：C．
求出抛物线的对称轴，再由抛物线的图象经过不同两点，，也可以得到对称轴为，可得，再根据二次函数的图象与x轴有公共点，得到，进而求出b、c的值．
本题考查二次函数的图象和性质，理解抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关系是解决问题的关键．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：设，
则函数的图象，如右图所示，
抛物线的图象与y轴交于，顶点纵坐标为，
有四个不相等的实数根时，k满足，
故选：C．
根据题意，可以画出函数的图象，然后根据题意和图象即可得到有四个不相等的实数根时，k满足的条件．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质、二次函数与x轴的交点坐标及根据交点坐标写出不等式的解集的有关知识，求出二次函数与x轴的交点坐标是解题的关键．
先根据二次函数的对称性求出二次函数与x轴的交点坐标，再根据交点坐标即可写出不等式的解集．
【解答】

解：由题图知抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点的坐标为，
抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，
利用图象可知的解集即是时对应的x的取值范围，
不等式的解集是或．
故选D．

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系，难度不大．
根据对称轴方程，得，解即可．
【解答】

解由题意知函数图象的对称轴为直线，
根据对称轴方程，得，
代入方程得，
解得，，
故选D．

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于中等题型．
根据抛物线的系数与图象的关系即可求出答案．
【解答】

解：抛物线与x轴最多有一个交点，
抛物线与y轴交于正半轴，
，
．
故正确；
，
，
，
该抛物线的对称轴不在的右侧．
故错误；
由题意可知：对于任意的x，都有，
，即该方程无解，
故正确；
抛物线与x轴最多有一个交点，
当时，，
，
，
，
．
故正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选C．

6.【答案】A
 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
，
抛物线开口向下，
当或时，．
故选：A．
先求出抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，属于中档题．
先计算自变量为0时对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标；再把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，解方程得抛物线与x轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．
【解答】
解：
当时，，则抛物线与y轴的交点坐标为，
当时，，解得，抛物线与x轴的交点坐标为，
所以抛物线与坐标轴有2个交点．
故选C．  

8.【答案】B
 

【解析】略
 

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数与一元二次方程．
利用函数图象，当时，直线与二次函数有公共点，从而可判断方程有实数根的条件．
【解答】
解：抛物线的顶点坐标为，
即时，二次函数有最小值为，
当时，直线与二次函数有公共点，
方程有实数根的条件是．
故选：A．  

10.【答案】C
 

【解析】解：二次函数的图象与x轴交于和两点，函数开口向下，
函数值时，自变量x的取值范围是，
故选：C．
由抛物线与x轴的交点坐标，结合图象即可解决问题．
本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是学会根据图象确定自变量的取值范围，属于中考常考题型．
 

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】

此题考查了抛物线与x轴的交点，以及一元二次方程的解法令，求出对应的x的值，即为抛物线与x轴交点的横坐标．
令抛物线解析式中，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解有两个，可得出抛物线与x轴有两个交点．

【解答】

解：令，得到，即，
分解因式得：，
解得：，，
抛物线与x轴的交点分别为，，
综上，抛物线与x轴的交点个数为2．
故选B．

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线与坐标轴的交点，分别令，，将抛物线转化为方程是解题的关键．

当时，求出与y轴的纵坐标；当时，求出关于x的一元二次方程的根的判别式的符号，从而确定该方程的根的个数，即抛物线与x轴的交点个数． 

【解答】

解：当时，，
则与y轴的交点坐标为．
当时，，
，
所以，该方程有两个相等的实数根，即抛物线与x轴有一个交点．
综上所述，抛物线与坐标轴的交点个数是2个．
故选C．

13.【答案】，
 

【解析】解：，
，
抛物线经过点、，
或1，
的解是1或4，
故答案为：，，
根据变形为，根据抛物线经过点、得到或1，从而确定的解是1或4．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点．根据物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当时，x的取值范围．
【解答】
解：物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，
抛物线与x轴的另一个交点为，
由图象可知，当时，x的取值范围是．
故答案为．  

15.【答案】
 

【解析】解：抛物线与x轴没有交点，
当时，，
，
解得，
故答案为：．
根据抛物线与x轴没有交点，可知当时，，，从而可以求得m的取值范围．
本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

16.【答案】，
 

【解析】解：抛物线经过，两点，
当或时，，
一元二次方程的解是，．
 

17.【答案】解：抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为；
设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
抛物线解析式为，
即．
 

【解析】根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标；
设交点式，然后把代入求出a即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
 

18.【答案】解：，
所以抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，
当时，，解得，，
所以抛物线与x轴的交点坐标为，．
当时，，
所以抛物线与y轴的交点坐标为．
 

【解析】先把一般式配成顶点式，则根据二次函数的性质得到其顶点、对称轴，然后解方程得抛物线与x轴的交点坐标，计算自变量为0时对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

19.【答案】解：抛物线与x轴的正半轴交于点A．
时，，
或，
，
；
即抛物线的对称轴为；
是PC的中点，

，
记BC的中点为D，
则，
．
，
；
记BC的中点为E，

则，
，
，
，
由对称性得：．
．
 

【解析】令，求出A点坐标，由抛物线的对称轴方程可求出答案；
得出，则由题意得，求出；
得出，则，由对称性得：可得出答案．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，坐标与图形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：顶点为，且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为，
点C的坐标为，
设抛物线的解析式为，
把代入，可得
，
解得，
抛物线的解析式为，
即；
由图可得，当函数值为正数时，自变量的取值范围是或．
 

【解析】依据顶点为，且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为，可得点C的坐标为，设抛物线的解析式为，把代入，可得二次函数解析式；
当函数值为正数时，观察x轴上方部分的抛物线，即可得到自变量的取值范围是或．
本题考查了二次函数的解析式的求法、二次函数的性质、二次函数与二次方程的联系等代数问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
 

21.【答案】3
 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是抛物线与x轴交点以及二次函数图象的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度首先根据题意画出图形，根据图象知道当时，对应成立的x有恰好有三个，求得此时的k值，即可得到答案．

【解答】

解：函数的图象如图所示：

根据图象知道当时，对应成立的x有恰好有三个，

此时满足P的纵坐标为横坐标的3倍，
．
故答案为3．

22.【答案】略
 

【解析】略
 

23.【答案】略
 

【解析】略