初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程巩固练习

21.3实际问题与一元二次方程

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

2. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为

A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人

3. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为

A.
B.
C.
D.

4. 某银行经过最近两次降息，使一年期存款的年利率由降至，设平均每次降息的百分率为x，则可列方程为  

A.  B.
C.  D.

5. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是

A.  B.
C.  D.

6. 为提高人民生活幸福指数，某药厂决定降低药品的价格，已知某药品2019年的售价是100元，2021年的售价是81元，若年平均降价率相同，则年平均降价率是   

A.  B.  C.  D.

7. 甲、乙两人同驾一辆车出游，各匀速驾驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为   

A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 2小时

8. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

9. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

10. 电影我和我的祖国讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x，则可以列方程为

A.  B.
C.  D.

11. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，则

A.  B.
C.  D.

12. 某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为应列方程是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当时，则______．
    
     

14. 某村种的水稻前年平均每公顷产7 200kg，今年平均每公顷产8 设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为______．
15. 一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是______．
16. 中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为______用百分数表示

三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）

17. “读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
    求进馆人次的月平均增长率；
    因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
18. 重庆人民在秋冬季节都爱吃黄橙橙香喷喷的脐橙，游老大看大商机，用5400元购进600斤“福本”脐橙和500斤“纽维尔”脐橙在自家水果店销售．已知“福本”脐橙比“纽维尔”脐橙每斤贵元．
    “福本”脐橙和“纽维尔”脐橙的进价分别为多少元？
    脐橙销售火爆，游老大继续进货，他到价格更合理的东华水果批发店进货，“福本”脐橙数量与上次数量一样多，进价比上次每斤减少了，“纽维尔”脐橙比上次数量多，进价比上次每斤减少了，若这两次的进货总金额不变，则a的值为多少？
    
    
    
    
    
    
     
19. 2010年在广州举行的亚运会前夕，某商场在销售中发现：亚运会吉祥物“乐洋洋”平均每天可售出20套，每套盈利40元．为了迎接亚运会，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每套降价5元，那么平均每天就可多售出10套．
    如果每套降价5元，商场每天在销售吉祥物上盈利多少元？
    若要想平均每天在销售吉祥物上盈利1200元，那么每套应降价多少元？
    
    
    
    
    
    
     
20. 某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
    求A社区居民人口至少有多少万人？
    街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为，B社区的知晓人数第一个月增长了，第二个月增长了，两个月后，街道居民的知晓率达到，求m的值．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共3小题，共24.0分）

21. 某地区2018年投入教育经费2500万元，2020年投入教育经费3025万元．
    求2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率；
    根据所得的年平均增长率，预计2021年该地区将投入教育经费多少万元．
    
    
    
    
    
    
     
22. 列方程组解应用题
    某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35 m，另外三面用69 m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m宽的门不包括篱笆求这个茶园的长和宽．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，某小区有一块长为18m，宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为，宽为，
根据题意得：．
故选D．

2.【答案】C
 

【解析】解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：参加酒会的人数为11人．
故选：C．
设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：，
故选：C．
根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量增长率年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
 

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键在于找准等量关系，等量关系：经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降低至，由此可列方程．

【解答】

解：设平均每次降息的百分率为x，由题意得

．

故选D．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

此题考查一元二次方程的应用，设每盆应该多植x株，利用每株钱数株数总钱数列方程解答即可．

【解答】

解：设每盆应该多植x株，由题意得，

故选A．

6.【答案】A
 

【解析】略
 

7.【答案】C
 

【解析】略
 

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】
解：设这种植物每个支干长出x个小分支，
依题意得：，
解得：舍去，．
故选C．  

9.【答案】C
 

【解析】略
 

10.【答案】D
 

【解析】【试题解析】

解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：．
故选：D．
设平均每天票房的增长率为x，根据三天后累计票房收入达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次方程的应用．关键是利用幂的运算表示八、九月生产的零件．由七月份生产零件50万个，每月的增长率x相同，则八月生产的零件数为个，九月生产的零件数为个，然后根据第三季度共生产零件七月生产的零件数八月生产的零件数九月生产的零件数为等量关系列出方程即可得．

【解答】

解：由题意八月生产的零件数为个，九月生产的零件数为个，根据题意得

．

故选C．

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设这两年的年利润平均增长率为x，根据2018年初及2020年初的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：设这两年的年利润平均增长率为x，
根据题意得：．
故选：B．  

13.【答案】11
 

【解析】解：根据题意得：，
化简得：，
解得：，舍去．
故答案为：11．
由等差数列的求和公式结合，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意得：
，
故答案为：．
由题意得：第一年水稻产量，第二年水稻产量：，进而可得方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
 

15.【答案】98
 

【解析】解：设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：不合题意，舍去，，
．
故答案为：98．
设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，根据个位数字与十位数字的乘积等于72，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值代入中即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x，
，
解得，，舍去，
该地区居民年人均收入平均增长率为，
故答案为：．
根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决．
本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出相应的增长率．
 

17.【答案】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：

化简得：
，
或舍
答：进馆人次的月平均增长率为．
进馆人次的月平均增长率为，
第四个月的进馆人次为：，
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
 

【解析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；
根据所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．
本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
 

18.【答案】解：设“福本”脐橙的进价是x元，则“纽维尔”脐橙的进价为元，
，
解得，，
，
答：“福本”脐橙和“纽维尔”脐橙的进价分别为5元、元；
由题意可得，
，
解得，或舍去，
即a的值为40．
 

【解析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题；
根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得a的值．
本题考查一元一次方程的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的思想解答．
 

19.【答案】解：商场每天在销售吉祥物上盈利是：元 
设每套应降价x元，
依题意得： 
整理得：
解得：，
尽快减少库存， 
答：若要想平均每天在销售吉祥物上盈利1200元，那么每套应降价20元．
 

【解析】根据利润售价进价，且每套降价5元，那么平均每天就可多售出10套，可列式求解．
设每套应降价x元，果每套降价5元，那么平均每天就可多售出10套，若要想平均每天在销售吉祥物上盈利1200元，可列方程求解．
本题考查理解题意的能力，关键是能够找到每套降价5元，那么平均每天就可多售出10套，找到它们的关系，根据题目所给的条件列方程求解．
 

20.【答案】解：设A社区居民人口有x万人，则B社区有万人，
依题意得：，
解得．
即A社区居民人口至少有万人；
依题意得：
设，方程可化为：

化简得：
解得或舍

答：m的值为50．
 

【解析】设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；
社区的知晓人数社区的知晓人数，据此列出关于m的方程并解答．
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．
 

21.【答案】解：设2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意2019年为万元，2020年为万元．
则，
解得，不合题意舍去．
答：2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为．
万元．
故2021年该地区将投入教育经费万元．
 

【解析】一般用增长后的量增长前的量增长率，2019年要投入教育经费是万元，在2020年的基础上再增长x，就是2020年的教育经费数额，即可列出方程求解．
利用中求得的增长率来求2021年该地区将投入教育经费．
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量年平均增长率增长后的量．
 

22.【答案】解：设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为，根据题意，得
，
整理，得
，
解得，，
当时，，不符合题意舍去；
当时，，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．
 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为，根据茶园的面积为，列出方程并解答．
 

23.【答案】解：设人行通道的宽度是xm，
列方程得，解得，舍去．
答：人行通道的宽度是1m．
 

【解析】见答案