人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质教学设计

 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

1.基本三角函数的图像

2. 正弦函数与的图像性质关系

类比于研究y＝sin x的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的ωx＋φ看成y＝sin x中的x，但在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数．研究函数y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的性质的方法与其类似，也是类比、转化．

3.余弦函数与的图像性质关系

例1：函数y=2sin（3x+），x∈R的最小正周期是（　　）

A． B． C． D．π

解：,故选B。

例2：已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f（x）的图象（　　）

A．关于直线x=对称 B．关于直线x=对称  C．关于点（，0）对称  D．关于点（，0）对称

解：由函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，可得求得ω=2，f（x）=sin（2x+）．

由于当时，函数f（x）取得最大值为1，故函数f（x）的图象关于直线对称，故选：B．

例3：设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，﹣的图象关于直线x=对称，它的最小正周期为π，则（　　）

A．f（x）的图象过点 B．f（x）在上是减函数

C．f（x）的一个对称中心是 D．f（x）的一个对称中心是

解：由题意可得，∴ω=2，可得f（x）=Asin（2x+φ）．再由函数关于对称，故，取，故函数f（x）=Asin（2x+）．

根据公式可求得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，B错，由于A不确定，故选项A不正确．对称中心为，即 （，0），时，选项C正确．选项D不正确．

例4：（2015•安徽）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（　　）

A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）      B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）

C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2）      D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）

解：依题意得，函数f（x）的周期为π，∵ω＞0，∴，∴ω=2，

又∵当时，函数f（x）取得最小值，

∴f（x）=Asin（2x+2kπ+）=Asin（2x+）．∴f（﹣2）=f（﹣2+2π），f（2）=f（π+2）=Asin（4+）＜0，f（0）=f（）＞0，根据公式可求得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，

又∵＞π+2＞﹣2+2π＞，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）故选：A．

例5：函数f（x）=2sin（2x+）在[﹣，]上对称轴的条数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．0

解：，∵﹣≤x≤，∴函数的对称轴为：，

故选B。

例6：函数y=2sin（3x﹣）的图象中两条相邻对称轴之间的距离是　　　　　　．

解：两条相邻对称轴之间有半个周期，即。

例7：同时具有性质①最小正周期是π；②图象关于直线x=对称；③在[﹣，]上是增函数的一个函数是（　　）

A．y=sin（+） B．y=cos（2x+） C．y=sin（2x﹣） D．y=cos（﹣）

解：求得ω=2，排除A、D，在B选项中，对称轴为直线，单调增区间为不能满足题意，C选项中对称轴为直线，单调增区间为故选C。

例8：函数y=sin（﹣2x+）的单调递增区间是（　　）

A．[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z） B．

C．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z） D．

解：，根据题意，只需求出的单调减区间即可，

，故答案选D。

例9：设函数f（x）=sinωπx（ω＞0）的图象在区间[0，]上有两个最高点和一个最低点，则（　　）

A．3≤ω＜5 B．4≤ω＜6 C．5≤ω＜7 D．6≤ω＜8

解：由题意，结合函数图像可知，故选C。

例10:已知函数（）的一段图象如下图所示，求函数的解析式．

解：由图像可知，最大值为2，最小值为-2，故

     图中已知的两点为，故可联立方程组

例11: 已知函数在同一周期内，当时，取得最大值，

当时，取得最小值，则该函数的解析式是          （      ）

A. B. C. D.

解：由题意可知，最大值为，最小值为，故，已知的两点为，故可联立方程组        选B。

例12： 若函数，求在上的最大值和最小值．

解：，则区间包含最大值为2，在单调递增，在单调递减，由于递减区间宽度大于递增区间宽度，故最小值为（如图）。

例13：如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，已知x1，x2∈（，π），且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（　　）

A．﹣1 B． C． D．

解： ，x1，x2∈（，π），且f（x1）=f（x2），故，。

例14：若函数，且f（α）=﹣2，f（β）=0，|α﹣β|的最小值是，则f（x）的单调递增区间是（　　）

A． B．

C． D．

解：由题意可知，最大值为2，最小值为，已知的两点为，故可联立方程组 故单调增区间为 选D。

例15：如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有，则φ的值为（　　）

A． B． C． D．

解：由图像可知：A=2，

又，选D。

例16：（1）若函数对任意的，则等于（    ）

A．        B．       C．        D．

（2）若，对任意实数都有，且，则实数的值等于(    )  

 A.±1         B.±3       C.－3或1       D.－1或3

定理：关于直线对称；

关于点对称；

解：（1）由题意可得：关于直线对称；故

（2）由题意可得：关于直线对称；故

例17：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω，φ是常数，ω＞0）．若f（x）在区间[，1]上具有单调性，且f（0）=f（）=﹣f（1），则下列有关f（x）的每题正确的有　　　　　　（请填上所有正确命题的序号）．①f（x）的最小周期为2；②x=是 f（x）的对称轴；③f（x）在[1，]上具有单调性；④y=f（x+）为奇函数．

故②正确，表示将向左移个单位，即关于原点对称，故④正确，由于在区间[，1]上具有单调性，故根据对称原理可得③正确；故①正确；答案为①②③④。