【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像（第1课时）（课时教学设计）

这是一份【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像（第1课时）（课时教学设计），共9页。教案主要包含了教学内容，教学目标，教学重点及难点，教学过程设计，目标检测设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。

课题：5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像（第一课时）
一、教学内容：
正弦函数、余弦函数的图像
二、教学目标：
（一）、了解正弦函数、余弦函数图象的来历，掌握“五点法”画出正弦函数、 余弦函数的图象的方法．
达成上述目标的标志是：学生能先根据正弦函数的定义绘制一个点，再绘制正弦函数在一个周期［0,2π］内的图象，最后通过平移得到正弦函数的图象；学生能用图象变换的方法，由正弦函数的图象绘制余弦函数的图象，并能就一个具体的点清晰地解释图象的变换方式及原因；能说出正弦函数、余弦函数图象的五个特殊点，并能用五点法绘制正弦函数的图象.
（二）、正、余弦函数图象的区别与联系
达成上述目标的标志是：先选择一个具体的点，进行分析，然后上升到对一般点的分析.得到只要将函数y=sinx图象上的点向左平移 π2 个单位长度，即可得到函数y=cosx的图象.
（三）、正、余弦函数图象的简单应用．
达成上述目标的标志是：会用“五点法”作出与正、余弦函数相关的函数简图．
三、教学重点及难点
（一）重点：正弦函数、余弦函数的图象．
（二）难点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法；探究正、余弦函数图象间的联系．
四、教学过程设计
问题1:三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来应该研究什么问题？怎样研究？
追问：（1）研究指数函数、对数函数图象与性质的思路是怎样的？
（2） 绘制一个新函数图象的基本方法是什么？
（3） 根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗？选择哪一个区间即可？
师生活动：教师提出问题，学生回忆函数研究的路线图，师生共同交流、规划，完善方案. 预设的答案如下.
研究的线路图：函数的定义——函数的图象——函数的性质.
绘制一个新函数图象的基本方法是描点法.
对于三角函数，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，这一特性已经用公式一表示，据此，可以简化对正弦函数、余弦函数图象与性质的研究过程，比如可以先画函数y=sinx，x ∈［0,2π］的图象，再画正弦函数y=sinx，x ∈R的图象．
设计意图：规划研究方案，构建本单元的研究路径，以便从整体上掌握整个内容的学习进程，形成整体观念.
问题2:在［0,2π］上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx0并画出点T（x0，sinx0）？
师生活动:方法1：一起作图探讨，如图5.4.1，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A（１，0）．在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0=sinx0．由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T（x0，sinx0）.


追问：如何科学地将单位圆上每一点对应的图像画出？
师生活动:若把x轴上从0到２π这一段分成12等份，使x0的值分别为0,π6, π3, π2，… ，2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T（x0，sinx0）的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点（图5.4.2）．


方法2：利用信息技术，可使x0在区间［0,2π］上取到足够多的值而画出足够多的点T（x0，sinx0）,将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数y=sinx， x ∈［0,2π］的图象.


设计意图：通过正弦函数的定义，得到点的坐标，通过分析点的坐标的几何意义，准确描点.进一步熟悉，描点连线成图，即点动成线的作图过程.
问题3:根据函数y=sinx， x ∈［0,2π］的图象，你能想象函数y=sinx， x ∈R 的图象吗？
师生活动:由诱导公式一可知，函数y=sinx， x ∈ ［２kπ，２（k＋１）π ］ ，k∈Z且k≠０的图象与y=sinx， x ∈［0,2π］的图象形状完全一致．因此将函数y=sinx， x ∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx， x ∈R的图象（图5.4.4）．

知识梳理：正弦函数的图象叫做正弦曲线（sinecueve），是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
追问：确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
师生活动:观察图5.4.3，在函数y=sinx， x ∈［0,2π］的图象上，以下五个点：
0,0，π2，1，π，0，3π2，-1，（2π，0）
在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数数y=sinx， x ∈［0,2π］的图象形状就基本确定了．
知识梳理：在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．这种作图方法近似地称为“五点（画图）法”，今后作简图是非常实用的．
设计意图：观察函数图象，概括其特征，获得“五点法”画图的简便画法.
问题4:由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数．你能利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象吗？
师生活动:学生先用排除法观察诱导公式，选择简洁的公式，作为正弦函数、余弦函数关系 研究的依据.教师引导学生通过比较进行选择.从数的角度看，对于函数y=cosx， 由诱导公式cosx=sin⁡(x+π2) 得，y=cosx=sinx+π2,x ∈R．
追问1：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
师生活动:函数y=sinx+π2,x ∈R 的图象可以通过正弦函数y=sinx， x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度而得到．将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图5.4.5 所示．
知识梳理：余弦函数y=cosx ， x ∈R的图象叫做余弦曲线（cosinecurve）．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．
追问2：你能在两个函数图象上选择一对具体的点，解释这种平移变换吗？
师生活动：这是教学的难点，教师要首先进行示范.教师可以先选择一个具体的点，进行分析，然后上升到对一般点的分析.得到图象之后还可以再利用图象进行验证.
设(x0,y0）是函数y=cosx图象上任意一点，则有y0=cosx0=sinx0+π2.
令x0+π2 =t0，则y0=sinxt0 ，即在函数y=sinx图象上有对应点（t0，y0）.
比较两个点：（x0，y0）与（t0，y0）.因为x0+π2 =t0 即 x0=t0-π2 .
所以点（x0，y0）可以看做是点（t0，y0）向左平移 π2 个单位得到的，只要将函数y=sinx图象上的点向左平移 π2 个单位长度，即可得到函数y=cosx的图象，如图5.4.5 所示．

知识梳理：余弦函数y=cosx ，x ∈R的图象叫做余弦曲线（cosinecurve）．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．
设计意图：利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象获得余弦函数图象；增强对两 个函数图象之间的联系性的认识.
问题5:类似于用“五点法”画正弦函数的图象，你能找出余弦函数在区间［－π，π］上相应的五个关键点吗？可以画出y=cosx，x ∈［－π，π］的简图吗?
师生活动:画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．
用光滑曲线顺次连接这五个点，得到余弦曲线的简图．
设计意图：观察余弦函数图象，掌握其特征，获得“五点法”．
问题6:例题分析：如何用“五点法”作出下列函数的简图？
(1)y＝1＋sin x，x∈[0,2π]；
(2)y＝-cos x，x∈[0,2π].
师生活动:老师点拨：在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可．
预设学生：在直角坐标系中描出五点，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象．
追问：你能利用函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，通过图象变换得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象吗？同样地，利用函数y＝cosx，x∈[0,2π] 图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y＝-cosx，x∈[0,2π] 的图象？
师生活动：学生先独立完成，然后就解题思路和结果进行展示交流，教师点评并给出规范的解答.
设计意图：巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟练“五点法"画图，掌握画图的基本技能.通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习作好铺垫.
五、 课堂小结
1． 正弦函数和余弦函数的图象．正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线．
2．“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数最高点、最低点与x轴的交点．
3．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点．
六、目标检测设计
（一）课前预习
整理1、正弦曲线和余弦曲线
1．可以利用单位圆中的______线作y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．
2．y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向____、____平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．
3．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象和余弦函数y＝cos x，x∈R的图象分别叫做__________和__________．
整理2、正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图
“五点法”作图的一般步骤是⇒⇒.
设计意图:预习知识，引发思考．
（二）课堂检测
1．用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是(　　)
A．0，，π，，2π　　　B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
2．用“五点法”画出y＝cos（－x），x∈[0,2π]的简图．
设计意图:强化知识目标
3 课后作业：
（1）教科书第200页练习题.
（2）习题5.4/1.
设计意图：巩固知识，提升动手操作能力.
七、教学反思