数学2.2 基本不等式第2课时学案及答案

这是一份数学2.2 基本不等式第2课时学案及答案，共7页。


授课提示：对应学生用书第22页
[教材提炼]
知识点 基本不等式求最大值、最小值
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
(1)当x＞0，y＝x＋eq \f(1,x)的最小值是几？
(2)当x＞0，y＞0，x＋y＝1，xy的最大值是几？
知识梳理 (1)用基本不等式求最值．
①设x，y为正实数，若x＋y＝s(s为定值)，则当x＝y＝eq \f(s,2)时，积xy有最大值为eq \f(s2,4).
②设x，y为正实数，若xy＝p(p为定值)，则当x＝y＝eq \r(p)时，和x＋y有最小值为2eq \r(p).
(2)基本不等式求最值的条件
①x，y必须是正数．
②求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．
③等号成立的条件是否满足．
[自主检测]
1．x2＋y2＝4，则xy的最大值是( )
A.eq \f(1,2) B．1
C．2 D．4
答案：C
2．已知－1≤x≤1，则1－x2的最大值为________．
答案：1
3．当x＞1时，x＋eq \f(1,x－1)的最小值为________．
答案：3
授课提示：对应学生用书第22页
探究一 用基本不等式求最值
[例1] [教材P45例1探究拓展]
(1)若x＞0，求函数y＝x＋eq \f(4,x)的最小值，并求此时x的值；
[解析] ∵x＞0.
∴x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(x·\f(4,x))＝4
当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x2＝4，x＝2时取等号．
∴函数y＝x＋eq \f(4,x)(x＞0)在x＝2时取得最小值4.
(2)设0＜x＜eq \f(3,2)，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；
[解析] ∵0＜x＜eq \f(3,2)，∴3－2x＞0，
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2x＋3－2x,2)))2＝eq \f(9,2).
当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq \f(3,4)时，等号成立．
∵eq \f(3,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))，
∴函数y＝4x(3－2x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜x＜\f(3,2)))的最大值为eq \f(9,2).
(3)已知x＞2，求x＋eq \f(4,x－2)的最小值；
[解析] ∵x＞2，∴x－2＞0，
∴x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2
≥2eq \r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6，
当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)，
即x＝4时，等号成立．∴x＋eq \f(4,x－2)的最小值为6.
(4)已知x＞0，y＞0，且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．
[解析] ∵x＞0，y＞0，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，
∴x＋y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)＋10≥2eq \r(\f(y,x)·\f(9x,y))＋10＝6＋10＝16，
当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
应用基本不等式的常用技巧
(1)常值代替
这种方法常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均为正数)，求eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值”和“已知eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)＝1(a，b，x，y均为正数)，求x＋y的最小值”两类题型．
(2)构造不等式
当和与积同时出现在同一个等式中时，可利用基本不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围．
(3)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．
设x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，求eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值．
解析： ∵x＞0，y＞0,2x＋y＝1，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(2x＋y,x)＋eq \f(2x＋y,y)＝3＋eq \f(y,x)＋eq \f(2x,y)
≥3＋2eq \r(\f(y,x)·\f(2x,y))＝3＋2eq \r(2)，
当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(2x,y)，即y＝eq \r(2)x时，等号成立，
解得x＝1－eq \f(\r(2),2)，y＝eq \r(2)－1，
∴当x＝1－eq \f(\r(2),2)，y＝eq \r(2)－1时，eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)有最小值3＋2eq \r(2).
探究二 基本不等式的实际应用
[例2] 如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距离”．在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式：s＝eq \f(3,40)v2＋eq \f(5,8)v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米．现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”．
(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式；
(2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？
[解析] (1)T＝eq \f(s＋25＋5,v)＝eq \f(\f(3v2,40)＋\f(5v,8)＋30,v)＝eq \f(3v,40)＋eq \f(30,v)＋eq \f(5,8).
(2)经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小．
∵T＝eq \f(3v,40)＋eq \f(30,v)＋eq \f(5,8)≥2eq \r(\f(30,v)·\f(3v,40))＋eq \f(5,8)＝eq \f(29,8)，
当且仅当eq \f(3v,40)＝eq \f(30,v)，即v＝20时取等号．
∴当v＝20米/秒时，经过观测点A的车流量最大．
利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．
某公司一年需要一种计算机元件8 000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货．每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，假设平均库存量为eq \f(1,2)x件，每个元件的库存费为每年2元，如果不计其他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？
解析：设每年购进8 000个元件的总花费为S，一年总库存费用为E，手续费为H，每年分n次进货，
则x＝eq \f(8 000,n)，E＝2×eq \f(1,2)×eq \f(8 000,n)，H＝500 n.
所以S＝E＋H＝2×eq \f(1,2)×eq \f(8 000,n)＋500n＝eq \f(8 000,n)＋500n＝500eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,n)＋n))≥4 000.
当且仅当eq \f(16,n)＝n，即n＝4时总费用最少，故以每年进货4次为宜．
授课提示：对应学生用书第23页
一、用基本不等式求最值的策略eq \x(►逻辑推理、数学运算)
1．配凑
以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标，根据代数式的结构特征，利用系数的变化或对常数的调整进行巧妙变形，注意做到等价变形．一般地，形如f(x) ＝ax＋b＋eq \f(e,cx＋d)的函数求最值时可以考虑配凑法．
[典例] 函数y＝eq \f(x2,x＋1)(x＞－1)的最小值为________．
[解析] 因为y＝eq \f(x2－1＋1,x＋1)＝x－1＋eq \f(1,x＋1)＝x＋1＋eq \f(1,x＋1)－2，因为x＞－1，所以x＋1＞0，
所以y≥2eq \r(1)－2＝0，
当且仅当x＝0时，等号成立．
[答案] 0
2．常值代换
利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如“已知ax＋by(或eq \f(a,x)＋eq \f(b,y))为定值，求cx＋dy(或eq \f(c,x)＋eq \f(d,y))的最值(其中a，b，c，d均为常参数)”时可用常值代换处理．
[典例] 若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 由3x＋y＝5xy，得eq \f(3x＋y,xy)＝eq \f(3,y)＋eq \f(1,x)＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·eq \f(1,5)(eq \f(3,y)＋eq \f(1,x))＝eq \f(1,5)(4＋9＋eq \f(3y,x)＋eq \f(12x,y))≥eq \f(1,5)(4＋9＋2eq \r(36))＝5，当且仅当eq \f(3y,x)＝eq \f(12x,y)，即y＝2x时，等号成立，故4x＋3y的最小值为5.
[答案] D
3．探究
通过换元法使得问题的求解得到简化，从而将复杂问题化为熟悉的最值问题处理，然后利用常值代换及基本不等式求最值．
[典例] 设x，y是正实数，且x＋y＝1，则eq \f(x2,x＋2)＋eq \f(y2,y＋1)的最小值为________．
[解析] 令x＋2＝m，y＋1＝n，则m＋n＝4，且m＞2，n＞1，
所以eq \f(x2,x＋2)＋eq \f(y2,y＋1)＝eq \f(m－22,m)＋eq \f(n－12,n)
＝eq \f(4,m)＋eq \f(1,n)－2＝(eq \f(4,m)＋eq \f(1,n))(eq \f(m,4)＋eq \f(n,4))－2
＝eq \f(m,4n)＋eq \f(n,m)－eq \f(3,4)≥2eq \r(\f(m,4n)·\f(n,m))－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4)，
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m,4n)＝\f(n,m)，,m＋n＝4))即m＝eq \f(8,3)，n＝eq \f(4,3)时取等号．
所以eq \f(x2,x＋2)＋eq \f(y2,y＋1)的最小值为eq \f(1,4).
[答案] eq \f(1,4)
4．减元
当题中出现了三个变元，我们要利用题中所给的条件构建不等关系，并减元，在减元后应注意新元的取值范围．
[典例] 已知x，y，z均为正实数，且x－2y＋3z＝0，则eq \f(y2,xz)的最小值为________．
[解析] 由x－2y＋3z＝0得y＝eq \f(x＋3z,2)，所以eq \f(y2,xz)＝eq \f(x2＋9z2＋6xz,4xz)＝eq \f(x,4z)＋eq \f(9z,4x)＋eq \f(3,2).
又x，z均为正实数，所以eq \f(x,4z)＞0，eq \f(9z,4x)＞0，所以eq \f(y2,xz)＝eq \f(x,4z)＋eq \f(9z,4x)＋eq \f(3,2)≥2eq \r(\f(x,4z)·\f(9z,4x))＋eq \f(3,2)＝3，
当且仅当eq \f(x,4z)＝eq \f(9z,4x)即x＝3z时取等号．
所以eq \f(y2,xz)的最小值为3.
[答案] 3
二、忽视基本不等式的应用条件eq \x(►逻辑推理、数学运算)
[典例] 已知一次函数mx＋ny＝－2过点(－1，－2)(m＞0，n＞0)．则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值为( )
A．3 B．2eq \r(2)
C.eq \f(3＋2\r(2),2) D.eq \f(3－2\r(2),2)
[解析] 由题意得eq \f(m,2)＋n＝1，
所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝(eq \f(1,m)＋eq \f(1,n))(eq \f(m,2)＋n)＝eq \f(3,2)＋eq \f(m,2n)＋eq \f(n,m)≥eq \f(3,2)＋2eq \r(\f(1,2))＝eq \f(3＋2\r(2),2)，当且仅当eq \f(m,2n)＝eq \f(n,m)即m＝eq \r(2)n时取等号．故选C.
[答案] C
纠错心得 应用基本不等式求最值时，必须遵循“一正、二定、三相等”的顺序．本题中求出eq \f(m,2)＋n＝1后，若采用两次基本不等式，有如下错解：
eq \f(m,2)＋n＝1≥2eq \r(\f(mn,2))，所以eq \r(mn)≤eq \f(\r(2),2)，eq \f(1,\r(mn))≥eq \r(2)，①
又eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)≥2eq \r(\f(1,mn))，②
所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)≥2eq \r(2).选B.
此错解中，①式取等号的条件是eq \f(m,2)＝n，②式取等号的条件是eq \f(1,m)＝eq \f(1,n)即m＝n，两式的等号不可能同时取得，所以2eq \r(2)不是eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.熟练掌握基本不等式及变形的应用．
逻辑推理、数学运算、数学建模
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.