高中数学人教A版必修第一册5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时作业含解析，
[对应学生用书P109]
知识点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
[微体验]
1．思考辨析
(1)sin 2α＝2sin α.( )
(2)2sin215°－1＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).( )
(3)要使T2α有意义，需要α≠±eq \f(π,4)＋kπ且α≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)．( )
答案 (1)× (2)× (3)√
2．若sin α＝eq \f(3,5)，则cs 2α＝________.
解析 cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \f(9,25)＝eq \f(7,25).
答案 eq \f(7,25)
3．计算：sin 22°30′cs 22°30′＝________.
解析 sin 22°30′cs 22°30′＝eq \f(1,2)sin 45°＝eq \f(\r(2),4).
答案 eq \f(\r(2),4)
4．若tan 2α＝eq \f(4,3)，则tan α＝________.
解析 tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(4,3)，∴tan α＝eq \f(1,2)或tan α＝－2.
答案 eq \f(1,2)或－2
[对应学生用书P110]
探究一 给角求值(化简)问题
(1)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))＝eq \f(3,5)，则cs 2θ＝________.
(2)化简：eq \r(1＋sin 10°)－eq \r(1－sin 10°)＝________.
解析 (1)∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))＝eq \f(3,5)，∴cs θ＝eq \f(3,5).
∴cs 2θ＝2cs2θ－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2－1＝－eq \f(7,25).
(2)原式＝ eq \r(sin 5°＋cs 5°2)－eq \r(sin 5°－cs 5°2)
＝sin 5°＋cs 5°－(cs 5°－sin 5°)＝2sin 5°.
答案 (1)－eq \f(7,25) (2)2sin 5°
[方法总结]
应用二倍角公式化简求值的三个关注点
(1)当单角为非特殊角，而倍角为特殊角时，常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值．
(2)当式子中涉及的角较多，要先变角，化异角为同角．
(3)对根式形式的化简，以去根号为目的，化简时注意角的范围．
[跟踪训练] 下列各式中，值为eq \f(\r(3),2)的有( )
A．2sin 15°－cs 15° B．cs215°－sin215°
C．2sin230°－1 D．cs215°＋sin215°
B [A中，2sin 15°－cs 15°≠eq \f(\r(3),2).B中，cs215°－sin215°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).C中，2sin230°－1＝－cs 60°＝－eq \f(1,2).D中，cs215°＋sin215°＝1.]
探究二 二倍角公式的灵活运用问题
求下列各式的值：
(1)－eq \f(2,3)＋eq \f(4,3)cs2 15°＝________.
(2)taneq \f(π,12)－eq \f(1,tan\f(π,12))＝________.
(3)cs 20°cs 40°cs 80°＝________.
解析 (1)原式＝eq \f(2,3)(2cs215°－1)＝eq \f(2,3)cs 30°＝eq \f(\r(3),3).
(2)原式＝eq \f(tan2\f(π,12)－1,tan\f(π,12))＝eq \f(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－tan2\f(π,12))),2tan\f(π,12))
＝(－2)×eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12))))＝eq \f(－2,tan\f(π,6))＝－2eq \r(3).
(3)原式＝eq \f(sin 20°cs 20°cs 40°cs 80°,sin 20°)
＝eq \f(\f(1,2)sin 40°cs 40°cs 80°,sin 20°)＝eq \f(\f(1,4)sin 80°cs 80°,sin 20°)＝eq \f(\f(1,8)sin 160°,sin 20°)＝eq \f(1,8).
答案 (1)eq \f(\r(3),3) (2)－2eq \r(3) (3)eq \f(1,8)
[变式探究] 将本例(3)变为sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°，如何求值？
解析 原式＝sin 6°cs 48°cs 24°cs 12°
＝eq \f(sin 6°cs 6°cs 48°cs 24°cs 12°,cs 6°)
＝eq \f(sin 96°,16cs 6°)
＝eq \f(cs 6°,16cs 6°)＝eq \f(1,16).
答案 eq \f(1,16)
[方法总结]
二倍角公式的灵活运用
(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：
2sin αcs α＝sin 2α，sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α，
cs α＝eq \f(sin 2α,2sin α)，cs2α－sin2α＝cs 2α，
eq \f(2tan α,1－tan2 α)＝tan 2α.
(2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin2α＋cs2α±2sin αcs α＝(sin α±cs α)2,1＋cs 2α＝2cs2α，cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
[对应学生用书P110]
1．对“二倍角”应该有广义的理解
运用二倍角公式，首先要准确把握“二倍角”这个概念，明确“倍角”的相对性，它指的是两个角的一个“倍数”关系，不仅仅指2α是α的二倍角，还可以指eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍角等．
2．二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：
①1＋cs 2α＝2cs2α，②cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，③1－cs 2α＝2sin2α，④sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
课时作业(四十五) 二倍角的正弦、余弦、正切公式
[见课时作业(四十五)P189]
1．函数y＝1－2cs2x的最小正周期是( )
A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,2)
C．π D．2π
C [y＝1－2cs2x＝－cs 2x，其最小正周期是T＝eq \f(2π,2)＝π.]
2．若sin α－cs α＝eq \r(2)，则sin 2α等于( )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．1 D．－1
D [∵sin α－cs α＝eq \r(2)，∴－2sin αcs α＝1，即sin 2α＝－1.]
3．eq \r(2－sin22＋cs 4)的值是( )
A．sin 2 B．－cs 2
C．eq \r(3)cs 2 D．－eq \r(3)cs 2
D [原式＝ eq \r(1＋cs22＋2cs22－1)＝ eq \r(3cs22)＝－eq \r(3)cs 2.]
4．若tan α＝eq \f(3,4)，则cs2α＋2sin 2α等于( )
A．eq \f(64,25) B．eq \f(48,25)
C．1 D．eq \f(16,25)
A [cs2α＋2sin 2α＝eq \f(cs2α＋4sin αcs α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(1＋4tan α,1＋tan2α).
把tan α＝eq \f(3,4)代入得，原式＝eq \f(1＋4×\f(3,4),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2)＝eq \f(4,\f(25,16))＝eq \f(64,25).]
5．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))的值等于( )
A．eq \f(7,9) B．eq \f(1,3)
C．－eq \f(7,9) D．－eq \f(1,3)
C [因为cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(1,3)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2－1＝－eq \f(7,9).]
6．计算：sin4eq \f(π,12)－cs4eq \f(π,12)＝________.
解析 原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(π,12)＋cs2\f(π,12)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(π,12)－cs2\f(π,12)))
＝sin2eq \f(π,12)－cs2eq \f(π,12)＝－cseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2).
答案 －eq \f(\r(3),2)
7．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(3,5)，则sin 2x的值为________．
解析 sin 2x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))
＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(7,25).
答案 eq \f(7,25)
8．α为第三象限角，则eq \f(\r(1＋cs 2α),cs α)－eq \f(\r(1－cs 2α),sin α)＝________.
解析 ∵α为第三象限角，∴cs α