2021学年5.1.3 数据的直观表示学案及答案

5.1.3　数据的直观表示

2020年某市居民的支出构成情况如下表所示：

问题：(1)要直观、形象地表示这些数据间的数量关系，应作出哪种统计图？

(2)要直观、形象地表示这些数据在全部数据中所占的比例，应作出哪种统计图？

[提示]　(1)柱形圆．(2)扇形图．

知识点1　柱形图、折线图、扇形图

1．柱形图(也称为条形图)

2.折线图

3.扇形图(也称为饼图、饼形图)

1．关于如图所示的统计图中(单位：万元)，下列说法正确的是(　　)

A．第一季度总产值4.5万元

B．第二季度平均产值6万元

C．第二季度比第一季度增加5.8万元

D．第二季度比第一季度增长33.5%

C　[依次分析选项可得：

A．第一季度总产值3＋4＋4.5＝11.5万元，错误；

B．第二季度平均产值为≈5.77万元，错误；

C．第二季度比第一季度增加(4.5＋6＋6.8)－(3＋4＋4.5)＝5.8万元，正确；

D．第二季度比第一季度增长≈50%，错误．故选C．]

知识点2　茎叶图

1．一般情况下，茎叶图中的“茎”“叶”分别指哪些数？

[提示]　“叶”是数据的最后一个数字，其前面的数字作为“茎”．

2.如图是一个班的语文成绩的茎叶图(单位：分)，则优秀率(90分以上)是________，最低分是________．

4%　51　[由茎叶图知，样本容量为25,90分以上的有1人，故优秀率为＝4%，最低分为51分．]

知识点3　频率(或频数)分布直方图(或折线图)

1．画频数分布直方图与频率分布直方图的步骤

(1)找出最值，计算极差；

(2)合理分组，确定区间；

(3)整理数据；

(4)作出有关图示：

2.频数分布折线图和频率分布折线图

把频数分布直方图和频率分布直方图中把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来，且画成与横轴相交．

3.甲、乙两个城市2020年4月中旬，每天的最高气温统计图如图所示，这9天里，气温比较稳定的城市是________．

甲　[从折线统计图中可以很清楚的看到乙城市的气温变化较大，而甲城市气温相对来说较稳定，变化基本不大．]

类型1　条形图、折线图、扇形图的应用

【例1】　现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等，视力日渐减退，某市为了了解学生的视力变化情况，从全市九年级随机抽取了1 500名学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，根据视力在4.9以下的人数变化制成折线统计图，并对视力下降的主要因素进行调查，制成扇形统计图．

解答下列问题：

(1)图中D所在扇形的圆心角度数为________．

(2)若2020年全市共有30 000名九年级学生，请你估计视力在4.9以下的学生约有多少名？

(3)根据扇形统计图信息，你觉得中学生应该如何保护视力？

[思路探究]　(1)由扇形统计图中的数据求出D占的百分比，乘以360°即可得到结果；(2)由样本中视力在4.9以下的人数占的百分比，乘以30 000即可得到结果；(3)根据扇形统计图中影响视力的因素，提出合理化建议即可．

[解]　(1)根据题意得：360°×(1－40%－25%－20%)＝54°.

(2)根据题意得：30 000×＝16 000(名)，则估计视力在4.9以下的学生约有16 000名．

(3)建议中学生应少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力．

扇形统计图、条形统计图、折线统计图的特点

1．扇形统计图的特点

(1)用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．

(2)易于显示每组数据相对于总数的大小．

2．条形统计图的特点

(1)条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目．

(2)易于比较数据之间的差别．

3．折线统计图的特点

(1)能清楚地反映事物的变化情况．

(2)显示数据变化趋势．

1．某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图(如图)，该校七、八、九三个年级共有学生800人，甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高”．乙说：“八年级共有学生264人．”丙说：“九年级的体育达标率最高．”甲、乙、丙三个同学中，说法正确的是(　　)

A．甲和乙　　　 B．乙和丙

C．甲和丙 D．甲、乙和丙

B　[由扇形统计图可以看出：八年级共有学生800×33%＝264人；

七年级的达标率为×100%≈87.8%；

九年级的达标率为×100%≈97.9%；

八年级的达标率为×100%≈94.7%.

则九年级的达标率最高．则乙、丙的说法是正确的，故选B．]

类型2　茎叶图及其应用

【例2】　(对接教材P77练习B T4)某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：

甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107；

乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101．

画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．

[解]　甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示．

从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，叶主要集中在8、9、10的茎上；甲同学的得分情况也是大致对称，叶主要集中在7、8、9的茎上．乙同学的成绩总体情况比甲同学好．

1．绘制茎叶图关键是分清茎和叶．一般地说，当数据是两位数时，十位上的数字为“茎”，个位上的数字为“叶”；如果是小数，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”．解题时要根据数据的特点合理地选择茎和叶．

2．应用茎叶图可以对两组数据进行比较，画图时，要找到两组数据共同的茎，分析时要从数据分布的对称性、中位数、稳定性等方面比较．

3．茎叶图的优点是保留了原始信息，并可以随时记录数据，但当样本容量较大时就不适合了.

2.如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，若乙的平均分是89，则污损的数字是________．

3　[设污损的叶对应的成绩为x，由茎叶图可得，89×5＝83＋83＋87＋x＋90＋99，∴x＝3.故污损的数字是3.]

类型3　频率分布直方图的绘制及应用

1．我们抽取样本的目的是什么？把抽出的样本数据做成频率分布表，需要对数据做什么工作？

[提示]　用样本去估计总体，为决策提供依据．分组、频数累计、计算频数和频率．

2．画频率分布直方图时，如何决定组数与组距？

[提示]　组数与样本容量大小有关，当样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组，组距的选择应力求取整，一般运用“＝组数”．

3．同一组数据，如果组距不同，得到的频率分布直方图相同吗？

[提示]　不相同．对同一组数据，不同的组距与组数对结果有一定的影响．

4．频率分布直方图的纵轴表示频率吗？

[提示]　不．表示.

【例3】　某省为了了解和掌握2019年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩，数据如下：(单位：分)

135  98   102  110  99   121  110  96   100  103

125  97   117  113  110  92   102  109  104  112

105  124  87   131  97   102  123  104  104  128

109  123  111  103  105  92   114  108  104  102

129  126  97   100  115  111  106  117  104  109

111  89   110  121  80   120  121  104  108  118

129  99   90   99   121  123  107  111  91   100

99   101  116  97   102  108  101  95   107  101

102  108  117  99   118  106  119  97   126  108

123  119  98   121  101  113  102  103  104  108

(1)列出频率分布表；

(2)画出频率分布直方图和折线图；

(3)估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例．

[思路探究]　先求极差．根据极差与数据个数确定组距、组数，然后按频率分布直方图的画法绘制图形．

[解]　100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为135－80＝55.取组距为5，则组数为＝11．

(1)频率分布表如下：

(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图，如图所示：

(3)从频率分布表中可知，这100名考生的数学成绩在[100,120)分之间的频率为0.24＋0.15＋0.12＋0.09＝0.60，据此估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例为60%.(0.60＝60%)

1．在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系

(1)若为整数，则＝组数；

(2)若不为整数，则的整数部分＋1＝组数．

2．组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少都会影响了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多．

3．有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：

[－20，－15)，7；[－15，－10)，11；[－10，－5)，15；[－5,0)，40；[0,5)，49；[5,10)，41；[10,15)，20；[15,20]，17.

(1)列出样本的频率分布表；

(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；

(3)求样本数据不足0的频率．

[解]　(1)频率分布表如下：

(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．

(3)样本数据不足0的频率为：

0.035＋0.055＋0.075＋0.200＝0.365.

1．如果想用统计图来反映各数据的变化趋势，比较合适的统计图是(　　)

A．条形图　　　　　　 B．折线图

C．扇形图 D．其他图形

B　[能反映各数据变化趋势的统计图是折线图．]

2．某地农村2005年到2020年间人均居住面积的统计图如图所示，则增长最多的5年为(　　)

A．2005年～2010年 B．2010年～2015年

C．2015年～2020年 D．无法从图中看出

C　[2005年～2010年的增长量为3.1,2010年～2015年的增长量为3.2,2015年～2020年的增长量为3.8.]

3．(多选题)下列关于茎叶图的叙述错误的是(　　)

A．将数组的数按位数进行比较，将数大小基本不变或变化不大的位作为一个主杆(茎)，将变化大的位的数作为分枝(叶)，列在主杆的后面

B．茎叶图只可以分析单组数据，不能对两组数据进行比较

C．茎叶图更不能表示三位数以上的数据

D．画图时茎要按照从小到大的顺序从下向上列出，共茎的叶可随意同行列出

BCD　[由茎叶图的概念知，只有A选项正确，故选BCD．]

4．观察如图所示的统计图，下列结论正确的是(　　)

A．甲校女生比乙校女生多

B．乙校男生比甲校男生少

C．乙校女生比甲校男生少

D．甲、乙两校女生人数无法比较

D　[题图中数据只是百分比，甲、乙两个学校的学生人数不知道，因此男生、女生的具体人数也无法得知．]

5．某市广播电视局欲招聘播音员一名，对A，B两名候选人进行了两项素质测试，两人的两项测试成绩如下表所示．根据实际需要，广播电视局将面试、综合知识测试的得分按3∶2的比例计算两人的总成绩，那么________(填A或B)将被录用．

B　[A的成绩＝(90×3＋85×2)÷5＝88(分)，B的成绩＝(95×3＋80×2)÷5＝89(分)．因此B将被录用．]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．重复的数据在茎叶图中是如何表示的？

[提示]　应用茎叶图进行统计时，注意重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．

2．你认为茎叶图有哪些优点？

[提示]　茎叶图能保留原始数据，并方便随时添加记录数据．

3．频数分布直方图与频率分布直方图有什么不同？

[提示]　频数分布直方图能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各小组数据在所有数据中所占的比例大小的角度来表示数据分布的规律．